基于復合映射法及B樣條的翼型參數化方法

張珅榕，蔡衛軍，楊春武，崔鑫山

（1. 中國船舶重工集團公司 第705研究所， 陜西 西安， 710075； 2. 水下信息與控制重點實驗室， 陜西 西安，710075）

基于復合映射法及B樣條的翼型參數化方法

張珅榕1，2，蔡衛軍1，楊春武1，崔鑫山1，2

（1. 中國船舶重工集團公司 第705研究所， 陜西 西安， 710075； 2. 水下信息與控制重點實驗室， 陜西 西安，710075）

為提高翼型氣動優化設計的計算效率， 可通過限制幾何設計變量個數的方法來實現。為保證設計可行性，提出了一種對B樣條擬合形狀函數進行復合映射以獲得實用翼型的參數化方法。以幾類低速翼型為例， 研究了該參數化方法的收斂性， 可以看出， 擬合翼型與原始翼型的型線逼近度高， 氣動特性吻合度高。初步分析了形狀函數控制點分布對翼型幾何特征的影響， 實現了型線的局部控制。研究結果表明， 該方法能實現已知翼型的參數化表達以及局部修型， 可應用于翼型優化。

翼型設計； 參數化方法； B樣條； 復合映射； 收斂性

0　引言

翼型影響著飛行器所有飛行階段的空氣動力效率， 翼型選擇與設計是進行飛行器設計前必須進行的一項重要工作［1］。不少飛行器已不全采用已有翼型， 而以合適的翼型為基礎翼型， 通過氣動優化方法， 獲得滿足性能要求的專用翼型。在氣動優化過程中， 翼型參數化方法對優化算法的選取、計算效率、翼型設計空間范圍等方面有重要影響［2］。

目前常用的翼型參數化方法包括型函數線性擾動法、特征參數描述法、正交基函數法、CST（“shape function/class function”transformation）方法、樣條參數化法以及復合映射法等［2-3］。其中，基于保角變換原理的復合映射法具有物理意義明確、設計空間覆蓋廣、幾何收斂性及氣動收斂性好等特點， 已應用于風力機翼型設計。復合映射法的相關研究［3］中， 通常采用簡單高階多項式對翼型形狀函數進行表達。在氣動優化過程中， 作為設計變量的高階多項式系數范圍不易確定， 作為約束條件的形狀函數控制方程難以滿足。

針對上述問題， 文章提出一種基于B樣條曲線及復合映射法的翼型參數化方法。以常用低速翼型為研究對象， 對擬合翼型進行幾何收斂性、氣動收斂性分析； 初步分析了形狀函數控制點分布對翼型幾何特征的影響。

1　翼型參數化方法

1.1復合映射法

采用保角映射方法， 希望給定變換函數ζ=f（ z）將z平面中一個圓變換到ζ平面中一個頭圓尾尖、具有彎度、符合航空要求的翼型， 取變換函數

即茹柯夫斯基變換， 可將z平面中圓心位于點O通過破壞點（a，0）的圓變換到ζ平面一個通過點（c，0）的翼型， 其中a為1/4 弦長， c為1/2弦長。基于茹柯夫斯基變換生成的翼型存在制造困難、穩定性差等缺點， 且嚴格的坐標關系與實用翼型對應不上， 因而并未獲得廣泛運用。

西奧道生提出一種計算已有實際翼型的方法［4］，其基本思想： 通過茹柯夫斯基變換式將一個已有翼型變換回去， 可以得到一個近似圓的圖形， 即擬圓， 再將擬圓映射為真圓?；谖鲓W道生方法，使用如下擬圓表達式

式中： θ為幅角； a為1/4弦長； aρ（ θ）為擬圓矢徑。將ρ（ θ）命名為形狀函數［5］。通過選取不同的形狀函數ρ（ θ）結合茹柯夫斯基變換可以獲得具有不同幾何參數的翼型。

1.2B樣條曲線最小二乘擬合

一條k次B樣條曲線可以表示為

約定0/0=0。式中k表示B樣條的冪次， ti為節點。每一個基函數）是由非遞減的節點向量所決定的k次分段多項式。對于開放均勻的B樣條曲線， 其節點T為準均勻的， 計算公式為

假定給定N+1個2D數據點di∈R2，i=0，1，2，…，n ， 想找到一條已知曲線C（ u）去逼近給定數據點。假定數據點di∈R2對應的參數值wi，則 B 樣條曲線數據擬合方程可以表示為

其中，iε為數據點di的擬合誤差。最小二乘法是通過最小化誤差的平方和尋求數據的最佳函數匹配。逼近誤差iε在平方意義下可以表示為

引進表達式

B樣條曲線最小二乘擬合， 即通過反求控制點使得誤差平方和f 達到最小， 來無限接近數據點di， 方法詳見文獻［6］。

若已知翼型坐標參數（x， y）， 即可求解形狀函數ρ與幅角θ的關系為［3］式中，。將得到的2D形狀函數離散點作為被擬合數據di進行B樣條曲線最小二乘擬合； 對擬合形狀函數進行茹柯夫斯基變換， 即可獲得擬合翼型。因此， 利用反求獲得的有限個形狀函數控制點可實現翼型參數化表達。

2　參數化方法收斂性檢驗

在以上研究基礎上， 對幾類低速翼型進行參數化表達， 并考察參數化方法的幾何收斂性和氣動收斂性。其中包括應用于滑翔機機翼設計的HQ17/14.38翼型（封閉）， 應用于低速客機的NACA23015翼型（非封閉）， 以及應用于無人機的Clark Y翼型（非封閉）。

2.1幾何收斂性

為檢驗翼型參數化方法的幾何收斂性， 將上述翼型進行歸一化處理后， 利用3次B樣條分別對上下翼面形狀函數進行最小二乘擬合。為保證擬合曲線通過形狀函數起止點， 采用開放均勻的B樣條曲線節點向量分布。由于原始型值點、擬合型值點均為離散點， 故采用豪斯多夫距離衡量兩組數據的最大偏差。豪斯多夫距離定義為式中： D為豪斯多夫距離；為點集P第i個點與點集Q第j個點的距離。豪斯多夫距離越小， 兩組離散點集的逼近程度越高。

圖1　最大相對偏差隨控制點個數變化曲線Fig. 1　Curves of maximum relative error versus number of control points

最大相對偏差隨控制點個數變化關系如圖1所示?？赏ㄟ^改變B樣條曲線控制點的數量來改善翼型擬合精度。研究發現， 當控制點個數為20時， 3個擬合翼型均有較好的逼近效果， 其中NACA23015擬合翼型與原始翼型逼近效果最好（見圖2）。

2.2氣動收斂性

為檢驗翼型參數化方法的氣動收斂性， 以 NACA23015翼型為例， 采用數值求解器Xfoil進行升阻力特性分析， 計算結果如圖3所示。從計算結果可以看出， 當攻角較小時， 各擬合翼型升阻力特性與原始翼型吻合度高； 隨攻角增加， 升阻力特性偏差增加， 但基本變化趨勢一致。通過與試驗結果相比較［7］， 在計算攻角范圍內， Xfoil能夠較準確地預報翼型氣動性能。

圖2　NACA23015參數化效果Fig. 2　Parameterization results of NACA23015

圖3　NACA23015氣動收斂性Fig. 3　Aerodynamic convergence property of NACA 23015

經研究可知， 當擬合形狀函數與原始形狀函數的最大相對偏差在0.3%左右時， 所獲得的擬合翼型與原始翼型氣動特性差別很?。?而且理論翼型與真實翼型也存在一定差別， 無需進一步提升翼型擬合精度。因而， 可以使用擬合翼型代替原始翼型進行氣動優化。

3　翼型幾何特征調整

形狀函數不同區域影響著翼型不同位置幾何特征。圖4為形狀函數與翼型型線對應關系示意圖， 形狀函數起點（終點）及起點（終點）附近形狀影響翼型尾緣， 中部附近形狀影響翼型前緣， 其余位置影響翼型厚度、彎度分布。調整形狀函數控制點分布位置可以改變翼型形狀函數， 進而改變翼型型線及氣動特性。

圖4　NACA23015型線及形狀函數Fig. 4　Profile of NACA23015 and shape function

3.1前緣修型

以NACA23015翼型為基礎， 進行翼型幾何特征調整。改變與翼型前緣形狀相關的形狀函數控制點， 形狀函數調整結果如圖5（a）所示， 對翼型前緣修型結果如圖5（b）所示。并利用Xfoil計算了來流攻角為4°時， 擬合翼型及修型后翼型的表面壓力系數分布如圖5（c）所示?？梢钥闯?， 表面壓力系數分布具有光滑連續特性， 側面說明擬合、修型型線的光滑連續。

3.2厚度修型

改變與翼型厚度分布相關的形狀函數控制點如圖6（a）所示， 可以實現翼型厚度修型如圖6（b）所示。利用Xfoil計算了來流攻角為4°時， 擬合翼型及修型后翼型的表面壓力系數分布， 如圖6（c）所示。

經研究可知， 參數化方法可以實現翼型局部幾何特征調整， 且所獲得的型線具有光滑連續性。相較于文獻［3］中提出的方法， 文中所提方法中的設計變量取值范圍更易確定， 而設計變量取值范圍對設計空間的影響還有待于進一步研究。

圖5　NACA23015前緣形狀修型結果Fig. 5　Modified leading edge of NACA23015

4　結束語

文章提出了一種基于復合映射法及B樣條的翼型參數化方法， 可以實現工程實用翼型的參數化表達。進一步研究了參數化方法的幾何收斂性、氣動收斂性， 結果表明擬合翼型型線、氣動特性與原始翼型吻合度高。初步分析了形狀函數控制點分布對翼型幾何特征的影響， 參數化方法可以實現對原始翼型的局部修型。此外， 擬合翼型氣動分析結果表明擬合型線具備光滑連續性。

［1］方寶瑞. 飛機氣動布局設計［M］. 北京： 航空工業出版社， 1997： 1326.

圖6　NACA23015厚度分布修型結果Fig. 6　Modified thickness distribution of NACA23015

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（責任編輯： 陳曦）

A Parameterization Method for Airfoil Based on Composite Mapping Method and B-Spline

ZHANG Shen-rong1，2，CAI Wei-jun1，YANG Chun-wu1，CUI Xin-shan1，2
（1. The 705 Research Institute， China Shipbuilding Industry Corporation， Xi′an 710075， China； 2. Science and Technology on Underwater Information and Control Laboratory， Xi′an 710075， China）

Reducing geometric design variables can improve the computational efficiency of aerodynamic optimization of airfoil. For design feasibility， a parameterization method is proposed， in which a B-spline fitted shape function is transformed into practical airfoil with composite mapping method. The convergence property of this parameterization method is analyzed via some low-speed airfoils. The fitted airfoil profiles are highly approximate to the original ones， and their aerodynamic characteristics show remarkable consistency. In addition， the influence of the shape function control points on the geometric characteristics of airfoil is analyzed， and local control of airfoil profile is achieved. Results indicate that this parametric method can represent known airfoils and modify local airfoil profiles， and can be applied to airfoil optimization. Keywords： airfoil design； parameterization method； B-spline； composite mapping； convergence property

TJ630.2

A

1673-1948（2015）03-0161-05

2015-02-12；

2015-03-18.

張珅榕（1989-）， 男， 在讀碩士， 主要研究方向為水下航行體總體技術.