金融投資問題

劉炳銳 蔣俊豪 張妍珺 徐 瓊 孫鈺峰

（河海大學，江蘇 南京210098）

1 問題提出

某公司在金融投資中，需要考慮如下兩個問題：

1）準備用數額為1000萬元的資金投資某種金融資產（如股票，外匯等）。它必須根據歷史數據估計在下一個周期（如1天）內的損失的數額超過10萬元的可能性有多大，以及能以95%的置信度保證損失的數額不會超過多少。

2）如果要求在一個周期內的損失超過10萬元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多應為多少。

2 問題分析

2.1 對于問題一，本問題中給出了255個交易日的日收益額（萬元）的統計數據，則可以以255個交易日的統計數據作為樣本。首先做出兩個轉化：將日收益轉化為日收益率，將出現特定日收益的頻數轉化為頻率。

2.2 對于問題二，周期T=2天時的收益額等于連續兩天日收益額的加和值。利用問題一中的連續型隨機變量模型，可得到所有可能的收益率及其出現頻率，用直方圖描述頻率的分布情況，對頻率的分布情況進行擬合，可以得到周期T=2天時的所有可能收益率的分布函數，解決問題二。

3 解決方法

通過對周期T=1天、T=2天時的金融投資問題的討論，求得了收益額分布規律，歸納總結出一般形式（即初始投資額為M,限定損失額為L,置信度為1-α,T個周期），求解出損失數額超過L萬元的可能性、以1-α的置信度能保證損失的數額和令損失超過L萬元的可能性不大于α的初始投資額M的最大值

針對問題一，建立了模型I與模型II。模型I的離散型隨機變量模型的結果是：在T=1時的離散型隨機變量模型解得損失數額超過10萬元的可能性為3.1373%，以95%的置信度能保證損失的數額不會超過9萬元；若一個周期內的損失超過10萬元的可能性不大于5%，初始投資額M的最大值為1111.11萬元。模型II的連續型隨機變量模型的結果是：周期T=1天時損失數額超過10萬元的可能性為3.7960%，當置信度為95%時，能保證損失數額不超過8.7191萬元；若一個周期內的損失超過10萬元的可能性不大于5%，初始投資額M的最大值為1146.91萬元。通過兩個模型的比較，認為模型II的連續型隨機變量模型能夠充分利用數據，更符合實際情況。

針對問題二，我們給出了模型III、模型IV、模型V，它們分別是：周期T=2時，利用相對收益率及其出現概率建立模型；周期T=2時，利用相對收益率的對應頻率直接相加建立模型；周期T=2時，理論推導正態分布情況。三個模型的數值結果相同，是：周期T=2時，損失數額超過10萬元的可能性為3.6541%，當置信度為95%時，能保證損失數額不超過7.9455萬元；若兩個周期內的損失超過10萬元的可能性不大于5%，初始投資額M的最大值為1258.58萬元。通過模型之間的比較，認為模型III、模型IV的數據模擬效果相同，都能夠充分利用數據，能比較直觀的對數據分布作出判斷。模型V對第一問、第二問的數據分布擬合規律做出了理論推導，并為第三問一般形式的問題解決提供了初步方法。

4 結論

針對問題一，建立了模型I與模型II。模型I的離散型隨機變量模型的結果是：在T=1時的離散型隨機變量模型解得損失數額超過10萬元的可能性為3.1373%，以95%的置信度能保證損失的數額不會超過9萬元；若一個周期內的損失超過10萬元的可能性不大于5%，初始投資額M的最大值為1111.11萬元。模型II的連續型隨機變量模型的結果是：周期T=1天時損失數額超過10萬元的可能性為3.7960%，當置信度為95%時，能保證損失數額不超過8.7191萬元；若一個周期內的損失超過10萬元的可能性不大于5%，初始投資額M的最大值為1146.91萬元。通過兩個模型的比較，認為模型II的連續型隨機變量模型能夠充分利用數據，更符合實際情況。

針對問題二，我們給出了模型III、模型IV、模型V，它們分別是：周期T=2時，利用相對收益率及其出現概率建立模型；周期T=2時，利用相對收益率的對應頻率直接相加建立模型；周期T=2時，理論推導正態分布情況。三個模型的數值結果相同，是：周期T=2時，損失數額超過10萬元的可能性為3.6541%，當置信度為95%時，能保證損失數額不超過7.9455萬元；若兩個周期內的損失超過10萬元的可能性不大于5%，初始投資額M的最大值為1258.58萬元。通過模型之間的比較，認為模型III、模型IV的數據模擬效果相同，都能夠充分利用數據，能比較直觀的對數據分布作出判斷。模型V對第一問、第二問的數據分布擬合規律做出了理論推導。

［1］夏樂天,等.概率論與數理統計[M].河海大學出版社,2010,7:132

［2］周仁郁.SPSS13.0統計軟件[M].西南交通大學出版社,2005,4:9.