圓柱坐標系下非穩態導熱問題改進數值求解方法

任玉鴻

摘 要：針對圓柱坐標系下的非穩態導熱問題，通常采用集總參數法和格林函數法，但其具有一定的局限性。為提高求解精度和廣度，將圓柱坐標系下的導熱方程轉化為類直角坐標系下的導熱方程，采用有限容積法（FVM）求解計算區域內的溫度場，通過加密網格確定網格無關解，并與兩種坐標系下求出的溫度對比。計算結果表明，類直角坐標系下得出的溫度分布更符合實際情況。

關 鍵 詞：有限容積法；非穩態導熱；類直角坐標；網格無關解

中圖分類號：TK 123 文獻標識碼： A 文章編號： 1671-0460（2015）07-1634-04

Improved Numerical Solving Method of Unsteady

Heat Conduction Problem Under Cylindrical Coordinate System

REN Yu-hong

（China University of Petroleum， Beijing 102249，China）

Abstract： In view of the unsteady heat conduction problem under cylindrical coordinate system， the lumped parameter method and green function method are usually used， but they have some limitations. In this paper，to improve the precision and width， the heat conduction equation under cylindrical coordinate system was turned to that under the approximate rectangular coordinate system， the finite volume method （FVM） was used to solve the temperature field in computing area， grid independent solution was determined by subdividing the mesh， and it was compared with the temperature obtained under two coordinates. The results show that the temperature distribution under the approximate rectangular coordinate system is more in line with the actual situation.

Key words： Finite volume method；Unsteady heat conduction；Approximate rectangular coordinates；Grid independent solution

流動與熱現象大量地存在于自然界及各個工程領域中，通過大量閱讀近年來流體力學和傳熱學方面的文獻，不難發現，針對描述非穩態導熱問題的偏微分方程求解，可分為求解解析解和數值解兩種，求解解析解的方法主要有集總參數法、分離變量法、格林函數法和拉普拉斯變換法，求解數值解的方法主要是有限差分法、有限容積法和有限元方法[1，2]。有限容積法是比較新的一種數值計算方法，具有有限差分法的簡捷性和有限元法的高精度、靈活性特點[3]，此外其在流體計算中也取得了巨大成就[4，5]。鑒于圓柱坐標在工程應用中的普遍性，如輸油輸氣管道[6-8]、城市燃氣供暖系統的導熱問題，有必要對圓柱坐標下的導熱問題進行研究。

目前，有關應用有限容積法求解圓柱坐標系下非穩態導熱問題的研究取到了一些成績，但其求解精度并不高。為此，本文將圓柱坐標系下的導熱方程轉化為類直角坐標系下的導熱方程，采用有限容積法求解兩種坐標系下的溫度場，并對不同坐標系下導熱方程的求解方法進行對比研究。

1 圓柱坐標與類直角坐標系下導熱方程轉換

圓柱坐標系下二維非穩態導熱控制方程：

考慮 ，方程可改寫為：

此方程即為圓柱坐標系下lnr型導熱方程，也稱類直角坐標下二維導熱方程[9]。

2 圓柱坐標與類直角坐標系下導熱方程離散

圖1 圓柱坐標系下的控制容積示意圖

Fig.1 Cubage control sketch under cylindrical coordinate system

2.1 圓柱坐標下非穩態導熱方程的離散

離散后方程可化為：

對于與邊界點相鄰的內點，與某一邊界相鄰，則該邊界對應的系數a值發生變化，其他邊界對應的系數值不變，具體的取值如下所示，其中aE、aW、aS、aN分別表示與東、西、南、北四個邊界相鄰的內點所取的系數a值。

2.2 類直角坐標系下非穩態導熱方程的離散

離散后方程可化為：

對于與邊界點相鄰的內點，同樣的方法可得

本文采用基于Visual Studio 2010的MFC編程解決不同坐標系下的非穩態導熱問題，求解溫度的程序流程圖如圖2所示。

圖2 溫度求解的程序流程圖

Fig.2 Flow chart to solve the temperature

3 算例分析

計算區域如圖3所示，已知寬度為1.0 m，外徑為1.0 m，內外徑比k為0.01，選用四種算例。其中算例1無內熱源，算例2加入內熱源，算例3給出了第二類邊界條件，算例4給出了第三類邊界條件。