社會擴(kuò)大再生產(chǎn)的“納什討價還價解”

陶為群

摘要：馬克思社會再生產(chǎn)公式是一個宏觀經(jīng)濟(jì)模型，其解的一種模式表示社會擴(kuò)大再生產(chǎn)的具體安排。在市場經(jīng)濟(jì)條件下，可以基于市場經(jīng)濟(jì)中兩大部類具有平等的主體地位，以及每個部類使預(yù)付資本不斷地增殖的內(nèi)在要求，構(gòu)建擴(kuò)大再生產(chǎn)中兩個部類的合作博弈機(jī)制。在這個機(jī)制和資本積累均衡條件約束下，兩大部類作為“局中人”可以各自為了實(shí)現(xiàn)本部類利益進(jìn)行合作博弈，形成“兩人討價還價”過程，最終產(chǎn)生全社會資本積累均衡的“納什討價還價解”，實(shí)現(xiàn)社會擴(kuò)大再生產(chǎn)。

關(guān)鍵詞：擴(kuò)大再生產(chǎn)；求解；實(shí)現(xiàn)機(jī)制；合作博弈；“納什討價還價解”

中圖分類號：F014.4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1005-2674（2015）05-021-06

一、社會擴(kuò)大再生產(chǎn)的求解與實(shí)現(xiàn)機(jī)制的關(guān)系

馬克思社會再生產(chǎn)理論在兩大部類社會再生產(chǎn)公式中得到集中體現(xiàn)。社會再生產(chǎn)公式是一個宏觀經(jīng)濟(jì)模型，對于國民經(jīng)濟(jì)運(yùn)行有重要的理論指導(dǎo)意義。長期以來，盡管有很多研究都涉及到社會再生產(chǎn)模型，但這些文獻(xiàn)并沒有給出其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉?gòu)建和求解方法。馬克思《資本論》也只是以舉例形式給出擴(kuò)大再生產(chǎn)公式形式及其個別解，這種辦法被普遍使用。《資本論》中的數(shù)例是以一個部類的積累為主導(dǎo)的，即是先確定一個部類的資本積累，再根據(jù)擴(kuò)大再生產(chǎn)均衡條件的要求，相應(yīng)確定另一個部類的資本積累。筆者對這種以一個部類的資本積累為主導(dǎo)的模型進(jìn)行了重構(gòu)，并嚴(yán)格地給出了馬克思擴(kuò)大再生產(chǎn)公式有解的充分必要條件和一般求解方法。但是，在市場經(jīng)濟(jì)條件下，兩個部類具有平等的主體地位，因此，這種以一個部類的資本積累為主導(dǎo)的社會擴(kuò)大再生產(chǎn)公式在理論上仍存在缺陷。

正如《資本論》中的數(shù)例所示，擴(kuò)大再生產(chǎn)公式的一種解的模式，表示著社會擴(kuò)大再生產(chǎn)的一種具體安排。那么，社會擴(kuò)大再生產(chǎn)公式的一般解的模式表示著社會擴(kuò)大再生產(chǎn)的一般實(shí)現(xiàn)方法。在一般實(shí)現(xiàn)方法的背后，還有深層次的實(shí)現(xiàn)機(jī)制問題。那么，以一個部類的資本積累為主導(dǎo)的擴(kuò)大再生產(chǎn)是基于什么樣的實(shí)現(xiàn)機(jī)制？在計(jì)劃經(jīng)濟(jì)的體制下，這個問題比較容易回答：可以由計(jì)劃機(jī)制來決定哪一個部類的資本積累為主導(dǎo)。在擴(kuò)大再生產(chǎn)公式有解的充分必要條件下，可以通過兩個部類都服從全社會的計(jì)劃安排，先確定一個部類的資本積累為主導(dǎo)，再根據(jù)擴(kuò)大再生產(chǎn)均衡條件的要求，相應(yīng)確定另一個部類的資本積累，從而獲得擴(kuò)大再生產(chǎn)的一種解的模式。但是，在市場經(jīng)濟(jì)的體制下，兩個部類都是平等的市場主體，不存在某種權(quán)威安排來決定一個部類的資本積累為主導(dǎo)。因此，以一個部類的資本積累為主導(dǎo)的社會擴(kuò)大再生產(chǎn)，就缺少了深層次的實(shí)現(xiàn)機(jī)制的支撐，嚴(yán)格地講不大適用于市場經(jīng)濟(jì)條件下的擴(kuò)大再生產(chǎn)問題。所以，必須基于市場經(jīng)濟(jì)條件，提出一種新的擴(kuò)大再生產(chǎn)實(shí)現(xiàn)機(jī)制，并且以這個實(shí)現(xiàn)機(jī)制作為支撐，獲得新的實(shí)現(xiàn)模式，即一般解形式。

二、兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)的資本積累均衡方程

馬克思再生產(chǎn)理論中，由于有生產(chǎn)資料、消費(fèi)資料兩個部類，因而擴(kuò)大再生產(chǎn)需要兩個部類的資本積累保持均衡。已有文獻(xiàn)的社會擴(kuò)大再生產(chǎn)模式，大多是基于兩個部類的資本積累均衡方程，確定兩個部類資本積累之間的相互依賴、相互匹配關(guān)系，進(jìn)而通過優(yōu)先確定一個部類（一般是生產(chǎn)資料部類）的資本積累，相應(yīng)再確定另一個部類產(chǎn)的資本積累，實(shí)現(xiàn)資本積累均衡。然而，這類文獻(xiàn)沒有考慮到兩部類平等的主體地位關(guān)系。但是，無論以什么樣的機(jī)制實(shí)現(xiàn)擴(kuò)大再生產(chǎn)，其模式都必須滿足兩個部類的資本積累均衡方程。

兩個部類的資本積累均衡方程，是從馬克思再生產(chǎn)公式導(dǎo)出的。社會生產(chǎn)部門劃分成生產(chǎn)生產(chǎn)資料和生產(chǎn)消費(fèi)資料的兩個部類，分別記為第1、Ⅱ部類。第j部類（j=I，Ⅱ，下同）在年初時點(diǎn)的總資本分解成用于購買生產(chǎn)資料的不變資本、購買勞動力的可變資本兩個部分，分別記為 。遵照經(jīng)典的馬克思再生產(chǎn)公式，即假定： 和 都是每年周轉(zhuǎn)一次；當(dāng)年 作為中間消耗轉(zhuǎn)移到產(chǎn)品當(dāng)中， 在產(chǎn)品當(dāng)中新創(chuàng)造出來，并帶來它的剩余價值 ；以第j部類產(chǎn)品中消耗的不變資本對于可變資本的固定不變倍數(shù) 來表示該部類的資本有機(jī)構(gòu)成；剩余價值 與可變資本 之間保持固定不變的比率（即不變的剩余價值率），該比率記為 ；以 分別表示第 部類新創(chuàng)造價值、總產(chǎn)值。那么按照經(jīng)典的馬克思再生產(chǎn)公式，在每個部類內(nèi)部，不變資本、可變資本、剩余產(chǎn)品、新創(chuàng)造價值（產(chǎn)品）、總產(chǎn)值（產(chǎn)品）之間的關(guān)系由下面的定義方程來確定。

式（1） -式（5）合在一起，就是完整的再生產(chǎn)公式。其中，式（l）是定義方程；式（2）、式（3）是行為方程；式（4）、式（5）是均衡條件，就是政治經(jīng)濟(jì)學(xué)教科書中指出的社會再生產(chǎn)的實(shí)現(xiàn)條件。 實(shí)現(xiàn)社會再生產(chǎn)就是從再生產(chǎn)公式中獲得一組待定變量 的解。把行為方程式（2）代入式（4）或和式（5），可得到一個相同的結(jié)果，即：

這說明，由于再生產(chǎn)公式中存在著行為方程式（2），因而均衡條件式（4）和式（5）只有一個是獨(dú)立的。式（6）是社會再生產(chǎn)的兩大部類不變資本積累均衡條件，而變資本積累均衡條件對應(yīng)著全部資本積累均衡條件。所以，式（6）是社會再生產(chǎn)的兩大部類資本積累均衡方程。

根據(jù)式（2）、式（3）和 ，得到待定變量 和 的約束條件：

擴(kuò)大再生產(chǎn)是指在至少每個部類的資本都不減少的前提下，社會總資本的擴(kuò)大。根據(jù)式（1）表明的每個部類的不變資本與總資本的固定關(guān)系，有：

和

已有研究根據(jù)擴(kuò)大再生產(chǎn)資本積累的約束條件式（7）、式（8）、式（9）以及資本積累均衡方程式（6），證明了兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)的充分必要條件是：

已有的社會擴(kuò)大再生產(chǎn)公式的一般求解方法，是以資本積累均衡方程式（6）中兩個待定變量 中的一個作為自變量，另一個作為這個自變量的函數(shù)，并給出自變量的定義域，從而獲得資本積累均衡方程式（6）的解，也就是兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)的解。當(dāng)選擇以 作為自變量，從式（6）將ACn解出作為△C l的函數(shù)，擴(kuò)大再生產(chǎn)的解是：

其中自變量 的定義域是： 當(dāng)選擇以ACn作為自變量，從式（6）將 解出作為 的函數(shù)，擴(kuò)大再生產(chǎn)的解是：

其中自變量ACn的定義域是：

式（11）與式（12）以及式（13）與式（14）都是資本積累均衡方程式（6）的解函數(shù)，并且互為反函數(shù)。事實(shí)上直至目前，政治經(jīng)濟(jì)學(xué)教科書以及有關(guān)的研究文獻(xiàn)中，都是依照這樣的函數(shù)關(guān)系，確定擴(kuò)大再生產(chǎn)的不變資本積累 與 之間的一個匹配。譬如《資本論》第二卷第二十一章中關(guān)于擴(kuò)大再生產(chǎn)的兩個舉例， 都是先確定 再確定 。可以驗(yàn)證，這些文獻(xiàn)中不變資本的積累都滿足式（11）與式（12）給出的解函數(shù)。式（12）和式（14）中，自變量 的定義域的左端點(diǎn)是自變量的最小值，分別以min（ ）和min（ ）表示。

三、社會擴(kuò)大再生產(chǎn)的兩大部類合作博弈機(jī)制和“討價還價”

社會擴(kuò)大再生產(chǎn)是有資本積累的再生產(chǎn)。在市場經(jīng)濟(jì)中，每個部類都期望本部類的預(yù)付資本不斷地增殖，不可能舍棄本部類的資本積累去成全另一個部類的資本積累。所以，實(shí)現(xiàn)社會擴(kuò)大再生產(chǎn)必然是兩個部類都形成資本積累。那么.這里就存在著每個部類都形成資本積累的數(shù)量多少怎樣確定的問題。很自然，每個部類都期望本部類的盡可能多一些。而根據(jù)資本積累均衡方程式（6），兩個部類的不變資本積累是此長彼消的，因此，兩個部類對于不變資本積累形成博弈關(guān)系。根據(jù)式（1）和式（3），每個部類的不變資本、全部資本積累具有固定比例關(guān)系，所以，兩個部類對于全部資本積累形成博弈關(guān)系。同時，由于兩個部類的不變資本積累必須滿足資本積累均衡方程式（6），才能夠?qū)崿F(xiàn)本部類的資本積累，這意味著一個部類的資本積累必須獲得另一個部類的認(rèn)可才能夠得到實(shí)現(xiàn)，所以，作為博弈雙方的兩個部類又必須合作才能夠?qū)崿F(xiàn)自身利益。于是，兩個部類關(guān)于資本積累形成合作博弈機(jī)制。

利益分配是博弈中的一個基本概念。按照馬克思再生產(chǎn)理論，資本積累均衡方程式（6）表明了，（

）是能夠被兩個部類作為不變資本積累 的全部生產(chǎn)資料資源。每個部類從中獲得的數(shù)量越多，本部類的不變資本積累和全部資本積累就越多，從再生產(chǎn)中可以獲得的利益也越大。所以，由資本積累均衡方程式（6）直接確定了（ ）成為利益分配的具體對象。同時，由于兩個部類的積累必須滿足資本積累均衡方程式（6）才能夠?qū)崿F(xiàn)，這意味著一個部類的積累率必須獲得另一個部類的認(rèn)可才能夠得到實(shí)現(xiàn)。所以，當(dāng)一個部類向另一個部類提出自身的期望的不變資本積累，實(shí)質(zhì)上是就本部類根據(jù)可分配利益（ ）中所占數(shù)量，而向另一個部類所提出的“要價”。如果另一個部類認(rèn)可這一“要價”，就得按照資本積累均衡方程式（6），將（ ）扣除對方的期望的不變資本積累后作為自身的不變資本積累，于是一方的“要價”經(jīng)過認(rèn)可也成為對方的“出價”，兩個部類關(guān)于（ ）的利益分配最終成交。如果另一個部類不認(rèn)可這一“要價”，就得反過來提出本部類的期望不變資本積累，實(shí)質(zhì)上是就可分配利益（ ）又向?qū)Ψ教岢觥耙獌r”。如此過程進(jìn)行下去，兩個部類成為合作博弈中的兩個“局中人”，合作博弈形成“兩人討價還價問題”。

“兩人討價還價問題”中有一個重要的概念是談判破裂點(diǎn)。一方的談判破裂點(diǎn)指本方即使放棄談判和爭取利益也應(yīng)當(dāng)獲得的利益分配。由于兩個部類利益分配的具體對象（YI -CⅡ）數(shù)量在當(dāng)年是既定的，根據(jù)資本積累均衡方程式（6），需要被兩個部類作為不變資本積累 全部分配掉，才能夠?qū)崿F(xiàn)社會再生產(chǎn)。而每個部類的不變資本積累受到剩余價值數(shù)量的限制，所以，在（ ）數(shù)量較多的情形下，就需要另一個部類的不變資本積累達(dá)到最低數(shù)量，才可能使資本積累均衡方程式（6）得到滿足。而在（ ）數(shù)量較少的情形下，即使另一個部類不形成不變資本積累（不變資本積累為零），也能夠使資本積累均衡方程式（6）得到滿足。這里，把（ ）數(shù)量較多、較少兩種不同情形下，資本積累均衡方程式（6）需要每個部類達(dá)到的不變資本積累的最低數(shù)量，統(tǒng)一以min（ACl）和min（ACⅡ）表示。那么，min（ ）和min（ ）分別是第1、Ⅱ部類作為局中人，在關(guān)于（ ）的利益分配合作博弈中必須獲得的最低數(shù)量，也就是談判破裂點(diǎn)。而假如分別優(yōu)先考慮第1、Ⅱ部類的不變資本積累，那么min（ ）和min（ ）就分別是第1、Ⅱ部類的不變資本積累自變量 的定義域下限。所以，不等式（12）、（14）所表明的變量 、 取值區(qū)間的左端點(diǎn)分別就是min（ ）和min（ ），它們是由每個部類資本積累的約束條件式（7）和式（8）以及資本積累均衡方程式（6）共同決定的。當(dāng)然，也可以根據(jù)式（12）和式（14）寫出min（ ）和min（ ）的具體表達(dá)式，這里從略。

在“討價還價問題”中，一方的效用是與利益分配有聯(lián)系又有區(qū)別的概念，通常效用是利益分配的函數(shù)。這里以第j部類新增的新創(chuàng)造產(chǎn)品（價值） 一般地代表該部類的效用；由于每個部類內(nèi)部各部分的相互關(guān)系固定不變，效用最大化與利潤最大化具有等價性。第j部類的期望效用 與新增不變資本 間的關(guān)系與式（1）表明的 與 的關(guān)系相同。所以，第j部類的效用是：

四、社會擴(kuò)大再生產(chǎn)的“納什討價還價解”

對于合作博弈的“兩人討價還價問題”，早已有著名的“納什討價還價解”。這就是對于一個“兩人討價還價問題”，在由個體理性、帕累托強(qiáng)有效性、對稱性、等價盈利描述的不變性、無關(guān)選擇的獨(dú)立性五個公理組成的“納什公理”下，存在滿足“納什公理”的唯一討價還價解，它是使“納什積”達(dá)到最大的解。對于兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)的“兩人討價還價問題”，“納什積”是：

因此，這個“兩人討價還價問題”的目標(biāo)函數(shù)是：

無論怎樣討價還價，式（17）中的待定變量 必須滿足約束條件式（7）、式（8）和式（9）。所以，待定變量 的取值區(qū)間分別由不等式（12）和不等式（14）確定；（ ）的取值區(qū)間仍然被必要條件式（10）確定。這個約束最優(yōu)化問題的唯一解 就是兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)的“納什討價還價解”。

用拉格朗日乘數(shù)法求解含有資本積累均衡約束條件式（6）的目標(biāo)函數(shù)式（17）最大值問題，獲得最優(yōu)解：

式（18）就是兩大部類社會擴(kuò)大再生產(chǎn)的“納什討價還價解”。

將已有研究結(jié)果給出的min（ ）和min（ ）的具體表達(dá)式代人式（18），可以進(jìn)一步寫明這個“納什討價還價解”的具體表達(dá)式。

五、社會擴(kuò)大再生產(chǎn)的“納什討價還價解”的經(jīng)濟(jì)含義

擴(kuò)大再生產(chǎn)的“納什討價還價解”式（18）表明，實(shí)現(xiàn)納什均衡，首先要保證每個部類的不變資本積累分別達(dá)到最小值min（ ）和min（ ），然后，將為全社會不變資本積累提供全部生產(chǎn)資料來源的（ Cu），扣除另一個部類的最小不變資本積累之后剩余數(shù)量的一半，與一個部類的最小不變資本積累的一半相加，最終作為該部類的不變資本積累。這個結(jié)果充分體現(xiàn)了兩大部類不變資本積累的公平性、對稱性。因?yàn)椋瑢?shí)現(xiàn)納什均衡時，每個部類的不變資本積累與全部資本積累的比例保持固定不變，所以，這個結(jié)果同時充分體現(xiàn)了兩大部類全部資本積累的公平性、對稱性。

在以一個部類的資本積累為主導(dǎo)的社會擴(kuò)大再生產(chǎn)的解式（13）與式（14），或者式（15）與式（16）當(dāng)中，將起主導(dǎo)作用的那個部類的不變資本積累作為自變量，設(shè)自變量可以在一定范圍內(nèi)取不同的數(shù)值，但這類模式缺乏說明存在著某種機(jī)制來決定自變量取哪一個具體數(shù)值。除非在計(jì)劃經(jīng)濟(jì)體制下，可以由計(jì)劃機(jī)制來決定自變量的具體數(shù)值。如果在式（13）中將自變量ACi按照“納什討價還價解”式（18）當(dāng)中的 來取值，那么因變量 得到的具體數(shù)值就與式（18）中的 完全相同。或者在式（13）中將自變量 按照“納什討價還價解”式（18）中的 來取值，那么因變量 得到的具體數(shù)值就與式（18）中的 完全相同。這就說明了，社會擴(kuò)大再生產(chǎn)的“納什討價還價解”，是對于一個部類的資本積累為主導(dǎo)的解的一種改進(jìn)，這種改進(jìn)使獲得的解能符合市場經(jīng)濟(jì)的體制。

社會擴(kuò)大再生產(chǎn)優(yōu)化問題的最優(yōu)解，可以以全社會新增的新創(chuàng)造產(chǎn)品最大化作為社會擴(kuò)大再生產(chǎn)的目標(biāo)函數(shù)而得到，每個部類的利益都服從于全社會的利益，是“公平服從效率”原則下的最優(yōu)解。 社會擴(kuò)大再生產(chǎn)的“納什討價還價解”也是一種最優(yōu)解，是以“納什積”達(dá)到最大作為目標(biāo)函數(shù)而得到的，是由“納什公理”保證了擴(kuò)大再生產(chǎn)對于每個部類的公平性、對稱性，因而可以說是“效率服從公平”原則下的最優(yōu)解。

本文基于市場經(jīng)濟(jì)條件下兩大部類的平等地位關(guān)系，提出了在擴(kuò)大再生產(chǎn)的兩個部類合作博弈機(jī)制。在合作博弈機(jī)制和資本積累均衡條件約束下，兩個部類作為“局中人”為了各自實(shí)現(xiàn)本部類利益，形成“兩人討價還價”過程，最終獲得資本積累均衡的“納什討價還價解”，實(shí)現(xiàn)社會擴(kuò)大再生產(chǎn)。這是對已有文獻(xiàn)從一個部類的資本積累為主導(dǎo)來構(gòu)建擴(kuò)大再生產(chǎn)模式方法的一個改進(jìn)。