數(shù)列教學(xué)中的四個(gè)探索性問(wèn)題探討

蔣鑫

【摘 要】探討數(shù)列所涉及的幾個(gè)探索性問(wèn)題，闡述學(xué)習(xí)數(shù)列的幾種策略：夯實(shí)基礎(chǔ)，掌握基礎(chǔ)概念;熟練掌握通項(xiàng)公式和方法;利用數(shù)列求和，拓展思維;結(jié)合函數(shù)，提高數(shù)列問(wèn)題的解題能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)列 ?通項(xiàng)公式 ?拓展思維

【中圖分類(lèi)號(hào)】G ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2015）12B-0065-02

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，數(shù)列的知識(shí)在必修五整本中雖然所占比重不多，但是它卻具有重要的作用，具有實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值。不管是現(xiàn)階段高中生期中、期末的考試，還是公務(wù)員考試、事業(yè)編考試，數(shù)列這一題型都常常出現(xiàn)。所以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)列教學(xué)成了我們必不可少的重要內(nèi)容，數(shù)列教學(xué)中所涉及的問(wèn)題也成為我們要研究的對(duì)象。

一、夯實(shí)基礎(chǔ)，掌握基礎(chǔ)概念

在數(shù)列學(xué)習(xí)中，首先應(yīng)該把基本概念理解并記住，然后才能掌握其核心內(nèi)容。只有把基本的知識(shí)把握好，才能進(jìn)行更深入的學(xué)習(xí)，打好基礎(chǔ)才能走得更遠(yuǎn)。對(duì)于數(shù)列學(xué)習(xí)也是這樣，那么如何把握數(shù)列的基本概念呢？數(shù)列的基本概念就是它的定義，它的核心是通項(xiàng)與求和公式及其運(yùn)用。接下來(lái)我們通過(guò)幾個(gè)實(shí)例來(lái)探究數(shù)列教學(xué)中基礎(chǔ)概念的學(xué)習(xí)。

比如在蘇教版高中數(shù)學(xué)《數(shù)列》第一節(jié)等差數(shù)列的學(xué)習(xí)中，課本上已經(jīng)把等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式明確告訴我們了，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+（n-1）×d，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為，所以遇到求通項(xiàng)公式或求和的題目時(shí)，我們直接套用公式即可。比如：

例1 ?已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)的和，（n∈ N+），若a3=6，S20=20，那么S10=（ ?）。

這是一個(gè)基礎(chǔ)的題目，根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)帶入上面的兩個(gè)公式，很快就能算出a1=20，d=-2，最后求出S10=110。又比如：

例2 ?等差數(shù)列{an}中，S10=120，那么a1+a10=（ ?）。

這也是一道基礎(chǔ)的題目，根據(jù)公式，數(shù)列和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2，即，把題目所提供的數(shù)字帶入上式，直接可以求出a1+a10=24。這種類(lèi)型的題目只要把公式記牢，然后直接套用就可以了。

所以學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)一定要把公式、基本概念弄明白，這樣才能迅速地求出答案。萬(wàn)變不離其宗，只要掌握好基本概念，打好基礎(chǔ)，就能解決更深?yuàn)W的問(wèn)題，提高知識(shí)能力。

二、熟練掌握通項(xiàng)公式和方法

有很多題目類(lèi)型是求數(shù)列的通項(xiàng)公式的，這種類(lèi)型就需要我們把握解題方法，正確使用解題方法，才能解決問(wèn)題。在數(shù)列這一系列問(wèn)題中，采用比較多的方法就是累加法或累乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式，根據(jù)Sn和an之間的數(shù)量關(guān)系或者遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式。下面通過(guò)兩個(gè)例題來(lái)觀察解題方法。

在蘇教版高中數(shù)學(xué)《數(shù)列》的等差數(shù)列學(xué)習(xí)中，我們可以運(yùn)用累加法來(lái)進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)累加法會(huì)使數(shù)列問(wèn)題變得容易。比如：

例3 ?數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+n×d（d是常數(shù)，n為1，2，3…），且a1，a2，a3成公比不為1的等比數(shù)列。求d的值以及{an}的通項(xiàng)公式。

根據(jù)題意，我們不難求出d的值為2，但是{an}的通項(xiàng)公式就需要運(yùn)用累加的方法來(lái)進(jìn)行計(jì)算。在n≥2的情況下，有

a2-a1=d，a3-a2=2d，a4-a3=3d

以此類(lèi)推得

an-an-1=（n-1）d

在等式的左邊相加得到

an-a1=[1+2+3+…+（n-1）]d=n（n-1）÷2×d

即an=n2-n+2

當(dāng)n=1的時(shí)，a1=2也適用于上式，那它的通項(xiàng)公式就是an=n2-n+2。這就是運(yùn)用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式。值得注意的一點(diǎn)是，在求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式時(shí)，別忘了驗(yàn)證當(dāng)n=1的情況，有時(shí)候n=1不適合通項(xiàng)公式，這就需要我們把兩種情況分別列出來(lái)，保證答案的準(zhǔn)確性。對(duì)于等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，則需要借助累乘法，不能用累加法。但基本原理與累加法大同小異，學(xué)會(huì)用累乘法解決等比數(shù)列的問(wèn)題，會(huì)降低解題難度。

所以在解決一些比較復(fù)雜的等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題時(shí)，我們一定要把握好方法，合理運(yùn)用累加法或累乘法，這樣做能取得事半功倍的效果，讓難懂的數(shù)列知識(shí)變得簡(jiǎn)單，避免學(xué)生對(duì)數(shù)列題產(chǎn)生枯燥厭煩的心理。

三、利用數(shù)列求和，拓展思維

學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)時(shí)，進(jìn)行數(shù)列求和過(guò)程就是我們拓展思路、活躍思維、提高數(shù)學(xué)能力的過(guò)程，因?yàn)橄啾扔谄渌麛?shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，數(shù)列的難度還是較大的。要解決數(shù)列問(wèn)題，不僅需要熟練掌握基本概念，而且還需要掌握合理的方法。解決數(shù)列問(wèn)題也是考驗(yàn)?zāi)芰Φ囊环N方法，在解題的過(guò)程中提高了能力、增強(qiáng)了數(shù)學(xué)思維。下面筆者通過(guò)實(shí)例來(lái)研究在解決數(shù)列求和的過(guò)程中培養(yǎng)的數(shù)學(xué)能力的方法。

比如在蘇教版高中數(shù)學(xué)《數(shù)列》這一章的學(xué)習(xí)中，出現(xiàn)一類(lèi)既有等差數(shù)列，又有等比數(shù)列，而且是“等差乘以等比”類(lèi)型的題目，對(duì)于這種有深度的問(wèn)題，我們單單采用套用公式的做法是不能解決的。為了順利便捷地解決這類(lèi)問(wèn)題，我們探索出了一種“錯(cuò)位相減”的方法。比如：

例4 ?已知{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和是Sn，{bn}是等比數(shù)列，且a1=b2=2，a4+b4=27，S4-b4=10。

（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;

（2）記Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn（n∈ N+），證明Tn+12=-2an+10bn（n∈ N+）。

第一問(wèn)很簡(jiǎn)單，只需要根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)就可以求出。第二問(wèn)比較復(fù)雜，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，要求Tn，其實(shí)也就是求等差乘以等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。對(duì)這種類(lèi)型，我們可以采取錯(cuò)位相減法。先把等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和列出來(lái)，然后在式子的兩邊分別乘以等比數(shù)列的公比，最后錯(cuò)一位，兩個(gè)式子相減就可以得出答案。當(dāng)然這種錯(cuò)位相減法需要大量的運(yùn)算，對(duì)于一些沒(méi)有耐性的同學(xué)來(lái)說(shuō)，會(huì)有一定的難度。對(duì)于這一部分同學(xué)來(lái)說(shuō)，可以選擇另一種方法，用裂項(xiàng)相消的方法求和。所以在解決數(shù)列求和這一類(lèi)型的數(shù)學(xué)題目時(shí)，有多種解題方法，同學(xué)們應(yīng)該選擇適合自己的一種方法來(lái)做，并熟練掌握，這樣才能不斷提高學(xué)習(xí)和解決問(wèn)題的能力。

在數(shù)列求和這一問(wèn)題的探索中，同學(xué)們可以在學(xué)習(xí)中多做一些有關(guān)數(shù)列求和的問(wèn)題的題目，這樣做既能活躍思維，又能提高學(xué)習(xí)能力。

四、結(jié)合函數(shù)，提高數(shù)列問(wèn)題的解題能力

我們知道，其實(shí)數(shù)列也是一種函數(shù)，只不過(guò)它的定義域是在正整數(shù)集，是一種特殊性質(zhì)的函數(shù)。既然數(shù)列是一種函數(shù)，那么它就具有函數(shù)的性質(zhì)。這給命題者一種方向，就是把數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合來(lái)命題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。下面主要通過(guò)具體的事例來(lái)探索如何利用數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合的關(guān)系來(lái)求解相關(guān)問(wèn)題。

比如在高中數(shù)學(xué)蘇教版《數(shù)列》這一章的學(xué)習(xí)中，我們遇到這樣的習(xí)題。

例5 ?設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n，（n∈ N+）。

（1）當(dāng)bn=Sn-3n，求數(shù)列{bn}通項(xiàng)公式;

（2）若an+1≥an，（n∈ N+），求a的取值范圍。

在這一題中，第一問(wèn)很簡(jiǎn)單，把a(bǔ)n+1=Sn+3n帶入bn=Sn-3n，很快就能求出答案?，F(xiàn)在觀察第二題，從題意我們可以看出，an+1≥an，所以這是一個(gè)單調(diào)遞增的數(shù)列，那我們可以列關(guān)系式an+1-an≥0是恒成立的，因此從這個(gè)等式中得出a的取值范圍。從這一題型看出，把數(shù)列與函數(shù)的單調(diào)性相結(jié)合，就可求出取值范圍。這就要求同學(xué)們學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用公式。當(dāng)遇到這種類(lèi)型題時(shí)，要想到函數(shù)的單調(diào)性，而不是運(yùn)用什么“錯(cuò)位相減法”“裂項(xiàng)相消法”等來(lái)解題。又比如在練習(xí)時(shí)，同學(xué)們會(huì)遇到數(shù)列的最值問(wèn)題，其實(shí)要解決這種題，我們也可以運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)來(lái)解決。我們可以把等差數(shù)列當(dāng)作未知數(shù)是n的一次函數(shù)，把等比數(shù)列當(dāng)作未知數(shù)是n的指數(shù)函數(shù)，這樣我們?cè)谇髽O大值或極小值時(shí)，運(yùn)用函數(shù)圖象就容易得到答案。

所以在運(yùn)用函數(shù)進(jìn)行解答數(shù)列問(wèn)題時(shí)，需要同學(xué)們靈活運(yùn)用，拓展思路，在不斷訓(xùn)練中，提高學(xué)生們的解題能力，拓展同學(xué)們數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生們的推理、計(jì)算的邏輯能力，同時(shí)不斷提高學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)成績(jī)。

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)知識(shí)中非常重要的知識(shí)點(diǎn)，它還可以與三角函數(shù)、曲線方程等相交叉。命題者很喜歡把它們放在一起來(lái)考查學(xué)生們的綜合能力，所以數(shù)列知識(shí)的學(xué)習(xí)對(duì)每一位同學(xué)都有重要的意義。因此探索數(shù)列問(wèn)題是必不可少的，它的研究有著極大的教學(xué)價(jià)值。教師要積極探索，盡可能詳細(xì)、簡(jiǎn)單的地把數(shù)列知識(shí)點(diǎn)傳授給學(xué)生。

【參考文獻(xiàn)】

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