歐氏空間標準正交基的求解方法的再探

【摘要】本文總結了求解幾種標準正交基的方法，它們分別是施密特正交化方法、初等變換法、合同變換法和Givens 變換法等方法。

【關鍵詞】標準正交基 施密特正交化方法 初等變換 合同變換 Givens 變換法

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）10-0155-02

標準正交基是歐氏空間的重要內容，在正交變換、二次型的正交線性替換等教學內容中占據著重要地位。因此，探究標準正交基的求解方法對理解標準正交基內涵至關重要。眾所周知，在《線性代數》課程教學中，一般采用施密特正交化方法來求解標準正交基，其最大特點就是逐步擴充得到正交基，再標準化得到標準正交基。構造過程層次分明、結論直觀，但計算量大，而且也不能清晰體現所求標準正交基與原基間的關系。本文在討論施密特正交化方法的同時總結了另外3種求解標準正交基的方法，這些方法較前者具有計算簡單的特點，同時也有利于更好地理解標準正交基與原基之間的關系。

設ε1，ε2，…εn為n維歐氏空間v中的一向量組，如果有（εi，εj）=δij，則稱ε1，ε2，…εn為V的一組標準正交基。下面，我們探討標準正交基的求解方法。

一、施密特正交化方法

Givens 變換法相對其他三種方法來講不容易理解和掌握。這是由于該方法需要學生對初等旋轉矩陣和旋轉變換有一定的了解，而這些知識點一般在《矩陣論》課程中才涉及到，而在《線性代數》課程教學中一般不涉及。Givens 變換法的核心理論基礎還是矩陣的初等變換，只不過是更特殊的初等變換而已。需要指出的是，本文總結的方法都是已有的方法，它們的理論基礎也是眾所周知的。我們所做的工作就是對這些方法進行了更深入地分析與比較，這或許有助于學生對這個知識點的理解與掌握。

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作者簡介：

朱鳳娟（1972-），女，漢族， 寧夏中寧縣人，碩士，副教授，研究方向：代數學。