淺談條件概率的教學(xué)

【摘要】目的： 使學(xué)生更好地掌握條件概率 方法： 利用實(shí)例從正反兩方面加以講解 結(jié)論： 條件概率兩事件中必有一已經(jīng)發(fā)生事件為核心讓學(xué)生牢記。

【關(guān)鍵詞】條件概率 已經(jīng)發(fā)生的事件 隨機(jī)事件

【中圖分類號(hào)】O21 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）10-0145-01

條件概率是概率論的重要內(nèi)容之一，這部分內(nèi)容抽象不易理解，學(xué)生做起來(lái)容易出錯(cuò)。為了解決這一問題，結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐談一下對(duì)條件概率教學(xué)的一些方法。

一、結(jié)合實(shí)例讓學(xué)生理解條件概率的概念、滿足條件并且形成對(duì)條件概率的初步認(rèn)識(shí)

定義：設(shè)A、B是同一概率空間的兩個(gè)隨機(jī)事件，在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率稱為B關(guān)于A的條件概率記作p（B|A），其中三要素A、B兩事件還有一個(gè)是條件關(guān)系即A是已經(jīng)發(fā)生的事件，B是在A發(fā)生前提下的隨機(jī)事件，條件關(guān)系很多情況下采取如“已知……的條件下求……”的形式給出，有時(shí)也用另外不明顯的形式給出，同學(xué)要自己分析。

（一） 明顯條件關(guān)系的條件概率

（1）事件A∩B≠？準(zhǔn)且A∩B≠A或B

例1已知某家庭有三個(gè)小孩且至少有一個(gè)是女孩，求該家庭至少有一個(gè)是男孩的概率？

分析：兩個(gè)隨機(jī)件A={三個(gè)小孩至少有一個(gè)是女孩}B={三個(gè)小孩至少有一個(gè)是男孩}且事件A已經(jīng)發(fā)生，符合條件概率的三要素。

（2）事件A∩B= A或B

例2 甲乙兩人獨(dú)立的對(duì)同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，求它被甲擊中的概率？

分析：事件A={目標(biāo)被甲擊中}B={目標(biāo)被擊中}事件B已經(jīng)發(fā)生，符合條件概率的三要素。

解：由已知得 p（B）=0.6+0.5-0.6×0.5=0.8

（二）不明顯條件關(guān)系的條件概率

例3某動(dòng)物活到25歲的概率為0.56，求現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物活到25歲這一事件的概率？

分析：因?yàn)樵搫?dòng)物現(xiàn)在20歲，可見該動(dòng)物活到20歲這個(gè)事件為已經(jīng)發(fā)生的事件，又這種動(dòng)物活到25歲的前提必須先活到20歲，所以所求概率為條件概率。

解：設(shè)事件A={該動(dòng)物活到20歲}B={該動(dòng)物活到25歲}則 p（A）=0.7 p（B）=0.56

二、結(jié)合非條件概率的例題使學(xué)生對(duì)疑似條件概率加以認(rèn)識(shí)，對(duì)條件概率的定義、計(jì)算有更深層次的理解

（一）形式上的條件關(guān)系與實(shí)質(zhì)上的條件關(guān)系的區(qū)別

例4 甲、乙、丙三人只有一張電影票，他們決定按甲、乙、丙的順序抽簽，決定誰(shuí)擁有這張電影票，已知乙擁有了這張電影票，求甲擁有這張電影票的概率？

分析：此題中雖有“已知…，求…”明顯的條件關(guān)系，但由題中已知抽簽是按甲、乙、丙的順序，所以已知乙抽得電影票的事件的發(fā)生與否不可能在真正意義上影響到甲的抽簽結(jié)果，所以這種條件關(guān)系是形式上的條件關(guān)系，而非實(shí)質(zhì)上的條件關(guān)系。

解： p（甲）=0

（二）消除早一點(diǎn)發(fā)生的事件就是條件事件的誤區(qū)，使學(xué)生掌握條件概率與積事件概率的區(qū)別

例5 在一個(gè)袋子里有形狀完全相同的20個(gè)球，其中有10個(gè)白球10個(gè)紅球，某人不放回地依次從袋中摸出2個(gè)球，求第一次摸出白球后第二次摸出紅球的概率？

分析：題中出現(xiàn)“……后……”頗像條件概率的結(jié)構(gòu)形式，但仔細(xì)考慮后發(fā)現(xiàn)，這里“后”只表示兩事件發(fā)生的先后順序，兩事件發(fā)生與否均是隨機(jī)事件而不是摸白球這一事件在第一次摸中一定會(huì)發(fā)生的必然事件。

（三） 消除附加條件的概率就是條件概率的誤區(qū)

例6 甲乙兩人一起加工零件100個(gè)，甲加工60個(gè)有55個(gè)正品，乙加工40個(gè)有30個(gè)正品，求取到的是甲加工的正品的概率？

分析：“已經(jīng)發(fā)生的事件”和“隨機(jī)事件”的區(qū)別在于在題中明確指明這一事件已經(jīng)發(fā)生，而此題中“取到的是甲生產(chǎn)的正品”中甲生產(chǎn)的產(chǎn)品不是已經(jīng)發(fā)生的事件，雖然在前面加了甲生產(chǎn)的條件掩人耳目，一定要注意。

（四）P（AB）與P（A|B）的區(qū)別講解時(shí)應(yīng)加以重視，這也是學(xué)生在理解上的一個(gè)難點(diǎn)。

1.P（AB）中A、B都是隨機(jī)事件，在P（B|A）中事件A是隨機(jī)事件，事件B是已經(jīng)發(fā)生的事件。2.P（AB）表示在樣本空間Ω中計(jì)算AB發(fā)生的概率，而P（A|B）表示在縮小的樣本空間ΩB中計(jì)算AB發(fā)生的概率，一般來(lái)說(shuō)，P（A|B）比P（AB）大，條件概率意味著對(duì)原有樣本空間的壓縮。

在條件概率的教學(xué)中，兩事件必有一事件是已經(jīng)發(fā)生的事件是一定要讓學(xué)生明確并牢記的，只有掌握了這一核心要素，才能更好的學(xué)習(xí)并解決好條件概率的相關(guān)知識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]金天壽.《試談條件概率的教學(xué)》，《數(shù)學(xué)通報(bào)》，2012，6

作者簡(jiǎn)介：

劉穎（1969.01.24-），女，遼寧省鐵嶺市人，副教授，大學(xué)本科，研究方向：數(shù)學(xué)，衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)。