把握命題規律 重視復習效度

桂芳

2015年高考是廣西進入新課程改革以來的首屆高考，相比去年所使用的全國大綱版考卷，今年所使用的新課標全國Ⅱ卷數學試題在結構、內容、立意方面都有不同程度的改變和創新.

一、2015年高考新課標全國Ⅱ卷數學試題分析

2015年高考新課標全國Ⅱ卷數學試題沿襲了2007年以來高考新課標全國Ⅱ卷的結構，對教材不同板塊的考察特點明顯.

（一）試卷結構及試題特點

2015年的新課標全國Ⅱ卷數學試卷分為第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分.第Ⅰ卷有12道選擇題（每題5分），全部為必考內容.第Ⅱ卷為非選擇題，含必考和選考兩部分：必考部分有4道填空題（每題5分）和5道解答題（每題12分）；選考部分從選修系列4的“幾何證明選講”“坐標系與參數方程”與“不等式選講”中各命制1道解答題（每題10分），考生任選1題作答，多做則按所做的第一題給分.

下表為2014年、2015年高考部分全國卷數學（理科）試題分析對照表.

由上表可以看出，從對基礎知識的考查來看，今年高考數學學科的考點主要分布在函導數與方程、數列與不等式、平面向量、解析幾何、立體幾何和概率統計等高中數學知識體系中的六大知識板塊，分值達125分，凸顯了函數、數列、幾何與概率統計三大主干課程，體現了《2015年普通高等學校招生全國統一考試大綱（理科·數學）》（以下簡稱數學考綱）關于“既要全面又要突出重點，對于支撐學科知識體系的重點內容，要占有較大的比例，構成數學試卷的主體，注重學科的內在聯系和知識的綜合性，不刻意追求知識的覆蓋面”的要求.與2014年我區所使用的全國大綱卷相比，今年的新課標卷突出了新課程的內容，增加了三視圖、算法、莖葉圖等內容的考查.整卷試題以考查高中數學基礎知識為主線：理科前8題是考查基本概念和公式的課本變式題；填空題前三題是難度較低的常規題；解答題前三題分別考查三角、概率統計和立體幾何知識，雖然難度不大，但因所需使用的解題方法不是常用方法，所以屬于中檔題.

從對數學思想方法的考查來看，考綱的要求是“從學科整體意義和思想價值立意，要有明確的目的，加強針對性，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測考生對中學數學知識中所蘊涵的數學思想和方法的掌握程度”.2015年的考卷充分體現了這一點，如理科卷第12、16、21題考查了轉化與化歸的思想方法，第10、12、21、24題考查了分類討論的思想，第7、11、12、14、23題用到了數形結合的思想，而函數與方程的思想在本卷中更是考查頻繁.

從對數學能力的考查來看，考綱強調：“對能力的考查，以思維能力為核心.全面考查各種能力，強調綜合性、應用性，切合學生實際.”這里的“各種能力”，包括空間想象能力（立體幾何、導數題）、抽象概括能力（概率、導數題）、推理論證能力（立體幾何、函數圖像題）、運算求解能力（函數與導數題）、數據處理能力（概率統計題）以及應用意識（立體幾何、解析幾何題）和創新意識（函數題）等.另外，“知能并舉”是今年高考的命題核心.我們以理科（文科）卷第19題為例加以說明.

如圖1，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點E，F分別在A1B1，C1D1上，A1E=D1F=4.過點E，F的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形.

（Ⅰ）在圖中畫出這個正方形（不必說出畫法和理由）；

（Ⅱ）求直線AF與平面α所成角的正弦值.

【試題解析】（Ⅰ）由線面平行和面面平行的性質畫平面α與長方體的面的交線，交線圍成的正方形EHGF如圖2；（Ⅱ）由交線圍成的正方形EHGF，計算相關數據.以D為坐標原點，的方向為x軸的正方向，建立如圖2所示的空間直角坐標系D-xyz，并求平面α的法向量和直線AF的方向向量，利用sinθ=|cos<，>|=，求直線AF與平面α所成角的正弦值.

今年高考剛結束，就有學生發帖“吐槽”：“做了三年立體幾何，第一次遇到第一問不用證明平行垂直的.”我們的高考備考，做得最多的就是證明線面、面面平行或垂直.本題第一問立足于長方體中，以“空間想象能力”為核心，綜合線面平行和面面平行的性質，考查考生的應用意識，體現了高考“強調應用性”的宗旨.“知能并舉”將是今后命題的核心方向.

（二）試題的三大亮點

1.體現在對統計的考查上.《普通高中數學課程標準（實驗）》（以下簡稱數學新課標）指出：“現代社會是信息化的社會，人們常常需要收集數據，根據所獲得的數據提取有價值的信息，并做出合理的決策.”根據這一思想，新課標高考命題也十分注重對統計的考查.如今年理科（文科）卷第3題.

根據下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量（單位：萬噸）柱形圖（如圖3）.以下結論不正確的是（ ）.

A.逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現

C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢

D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關

【試題解析】本題以二氧化硫排放量為題材，考查考生對條形圖的理解，以及對數據的分析和處理能力.值柴靜《穹頂之下》播出引起熱議之后，該選材從正面宣傳了我國政府治理二氧化硫排放的決心和效果，背景新穎，切合實際.而且，本題所涉及的兩個變量的相關關系是高考的冷點，突破了以往對概念的記憶和對散點圖的繪圖考查，注重中學教學實際，體現了統計學的基本思想和數學新課標的要求.由柱形圖可知，從2006年以來，我國二氧化硫排放量呈下降趨勢，年排放量與年份負相關，故選D.

以往的大綱卷每年必有一道概率解答題，并且其第一問一定是個體個數或計算概率.而數學新課標更注重學生的數據分析和處理能力，要求學生“會收集、整理、分析數據，能從大量數據中抽取對研究問題有用的信息，并做出判斷……解決給定的實際問題”.如今年理科卷第18題第一問，考查了莖葉圖、從數據中提取平均值與分散程度等問題.

某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從A，B兩地區分別隨機調查了20個用戶，得到用戶對產品的滿意度評分如下：

A地區：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地區：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根據兩組數據完成兩地區用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，得出結論即可）.

【試題解析】（Ⅰ）兩地區用戶滿意度評分的莖葉圖如圖4：

通過莖葉圖可以看出，A地區用戶的滿意度評分的平均值高于B地區用戶的滿意度評分的平均值；A地區用戶的滿意度評分比較集中，B地區用戶的滿意度評分比較分散.

2.體現在對算法和程序框圖（流程圖）的考查上.算法與程序框圖是新課程增加的內容，從2007年第一套新課標全國卷問世以來，程序框圖每年必考.今年的程序框圖試題考查了三種基本邏輯結構，而且背景新穎，源自我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”，它將古老的數學文化以考題的形式呈現出來，展示了中國古代數學在算法上的成就.縱觀近8年來的新課標全國卷，算法與程序框圖的命題呈現為兩個階段兩種模式.

（1）第一階段：只考查考生對流程圖三種基本邏輯結構的掌握.這類考題通常是已知輸入的變量值，求輸出的值.解題的關鍵是將輸入值代入流程圖.如2011年新課標全國Ⅱ卷數學（理）第3題.

執行圖5的程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是（ ）.

A.120 B.720 C.1440 D.5040

【答案】B.

（2）第二階段：不但考查考生對流程圖的三種基本邏輯結構的掌握，還考查考生對數學思想方法的理解.如2012年新課標全國Ⅱ卷數學（理）第6題.

如果執行圖6的程序框圖，輸入正整數N（N≥2）和實數a1，a2，…，an，輸出A，B，則（ ）.

A.A+B為a1，a2，…，an的和

B.為a1，a2，…，an的算術平均數

C.A和B分別是a1，a2，…，an中最大的數和最小的數

D.A和B分別是a1，a2，…，an中最小的數和最大的數

【答案】C.

又如今年理科（文科）卷第8題.

圖7程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”.執行該程序框圖，若輸入a，b分別為14，18，則輸出的a=（ ）.

A.0 B.2 C.4 D.14

【答案】B.

程序框圖（流程圖）題展示了數學的思想方法，體現了新課程教材編寫者將算法融入高中數學的初衷：“應該在其他有關內容中注意滲透算法思想，鼓勵學生盡可能地運用算法解決相關問題.”

3.體現在對解析幾何的考查上.今年理科、文科卷的解答題第20題都是對解析幾何的考查.只是理科卷的第（Ⅰ）題沒有遵循求標準方程或離心率的常規套路，而是轉向了弦的中點坐標問題，考生可采取“點差法”或“韋達定理”兩種方法求解.該題入口寬，起點低，獨具匠心.第（Ⅱ）題的設置與平面幾何相結合，突出了解析法的本質.本題采用數形結合、轉化與化歸以及函數與方程的思想，考查了考生的思維能力、運算能力、圖形分析和處理能力.

二、2016年高考備考建議

很多學校在高中教學和高考備考時存在以下問題：高一、高二不注重教材，高三徹底拋開教材；復習注重進度、不注重效度，多輪復習、輪輪夾生；不重視學習過程，只關注解題的方法模式；做題多，但不重視解題后反思.這樣教育出來的學生，容易成為解題的機器，而且是解簡單題的機器，遇中高檔題目將束手無策.那么，我們究竟應該如何科學備考呢？筆者試就本人帶班的實踐經驗談談體會，供讀者參考.

（一）立足教材，重視基礎

從近幾年的高考試題來看，基礎題居多，并且很多是課本原題的變形，所以抓住課本，就能抓住至少90分.如今年理科（文科）卷第6題.

一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖8，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（ ）.

【試題解析】由三視圖得，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，截去四面體A-A1B1D1，如圖9所示，設正方體棱長為a，則VA-A1B1D1=×a3=a3，故剩余幾何體體積為a3-a3=a3，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為，故選D.

這道題是人教版必修2習題1.3第3題的變式延伸.可見只有注重課本、夯實基礎，才能真正提高學生的數學能力.因此，教師要特別引導學生掌握好新課程中的內容.需要注意的是，對于舊教材中有而新教材已經刪去的內容，教師沒有必要補充，如兩直線夾角公式、圓錐曲線第二定義及文科數學中有關空間向量的計算等.對于新教材正文中沒有給出定義或者未曾涉及卻出現在課后習題中的舊教材知識，教師要注意挖掘，及時補充給學生，如：新教材授課內容中沒有給出正四棱錐的定義，但是在必修2第37頁復習參考題B組第4題中卻給出了正四棱錐的定義；新教材空間向量授課內容中沒有距離的定義，但在選修2-1習題3.2A組第5題第2問要求求點O到平面ABC的距離，第9題要求求兩異面直線的公垂線的長；等等.

（二）注重思想，重視能力

數學是一門思維的科學，學數學就是在做思維體操，這項“體操運動”的“魂”便是數學思想.新課程加強了與“圖”有關的內容，如三視圖、統計圖、程序框圖（流程圖）、函數的圖像與性質，以及直線與圓錐曲線的位置關系等，這些都是數形結合思想的體現和運用。運用導數研究函數的性質，涉及的是函數與方程的思想方法。在統計和概率、線性規劃等應用問題中，數據處理能力則是決定性的.在教學中，教師不僅應教會學生“解題”，還應帶領學生“悟題”，引導學生悟出數學的思想，數學的魂.

（三）關注反思，重視習得

數學家哈爾莫斯告訴我們：“問題是數學的心臟.”學習數學的過程與解題緊密相關，數學能力的提高在于解題的質量而不是數量，因此教師要注重研究解題的方法和策略.備考的功夫不僅要下在解題上，而且要下在反思上.解題反思能夠有效提高學生的解題能力，加深學生對數學思想的理解，在復習時我們可以引導學生就審題、解題思維過程、一題多解、一解多題、解法規律、題型變式等進行深度反思.解題后的思考不僅是知識的同化和順應過程，而且是解題與復習的強化、提升過程.

（四）集體備課，成功利器

集體備課可以激發備課教師的智慧.教師們在集體備課過程中通過交流研討取長補短，獲得理性提升，進而指導各自的教學實踐.集體備課不受時間和內容限制，課間10分鐘、晚自習，一道題的解法、一個知識點的教法，都可以拿來集體研討.

（五）四輪復習，分層推進

高三的復習通常分為四個階段，統稱“四輪復習法”.

1.第一輪復習：夯實基礎，全面回顧，構建知識網絡.第一輪復習是四輪中最細致、最詳盡也是歷時最長的一輪復習.數學知識如一張大網，每一個知識點就是這張大網上的一個節點，它們互相聯系，彼此“照應”.在第一輪復習中，我們不但要帶領學生重溫這些知識點，還要幫他們“織”好這張網，讓他們知曉知識的來龍去脈，努力做到融會貫通，對整個高中數學知識體系有一個全面的認識和把握，以便于在備考應考時順利實現知識的存儲、提取和應用，同時提高思維品質.這是數學復習的重要環節.例如《立體幾何》一章定理繁多，很多學生對證明點、線、面的平行垂直關系不知如何下手，如果在教學中把立體幾何的定理體系這張小網“織”好了，解題就可以水到渠成了.《立體幾何》定理體系如圖10（見下頁）所示.

俗語說：“萬變不離其宗.”物質的表現形式是千變萬化的，但是隱藏在其中的本質卻是不會改變的，只要我們能夠透過物質的外表找到不變的內在，我們就能做到以不變應萬變，決勝高考.在每一章的教學中，教師自己應找到支柱概念，引導學生掌握重點公式、提煉解題方法.例如針對“平面向量”一章教學，教師須突出以下幾點。（1）支柱概念：向量的加法（平行四邊形法則）和數量積的運算；（2）解題方法：數形結合法和坐標法；（3）重要公式：角的計算公式cosθ=和求模公式||2=·.此外，深化“平面向量”一章的學習，揭示其思維方法，亦有利于空間向量一章的知識擴展.

美國著名教育家、心理學家布魯納（J.S.Bruner）認為，整體把握知識的基本結構有如下好處：（1）掌握結構有助于解釋許多特殊現象，使學科更容易理解；（2）有助于促進知識技能的遷移，達到舉一反三、觸類旁通的目的；（3）有助于縮小高級知識與初級知識的差距.

高考試題有它的基本原則，也有熱點和冷點，但是誰也不能肯定哪個點一定考或不考，如今年理科第3題考查柱形圖、正相關，第8題考查“更相減損術”，都是以往比較少見的，因此不能只關注熱點.第一輪復習以“全面、細致、基礎”為要點.在這一階段，要特別注意培養和提高學生解答選擇填空題的能力.

2.第二輪復習：主攻專項，專題整理，螺旋式上升.布魯納認為，數學的基本觀念，必須通過反復地學習，通過在越來越復雜的形式中加以運用，才能不斷加深理解，進而逐漸掌握并有效地加以運用.根據螺旋式上升理論，第一輪復習不宜過深過難，以建構知識網絡為目的；第二輪復習則不再重視知識結構的先后順序，而是專題強化訓練，目的是提高學生解答高考大題的能力，同時加強學生對數學思想方法的理解和掌握.第二輪復習要關注高考解答題考查的八大熱點：①數列；②三角與平面向量；③不等式（解與證，奧賽班上）；④解析幾何；⑤立體幾何；⑥概率、統計；⑦導數及應用；⑧極坐標與參數方程.此階段以典型例題為載體，以數學思想方法的靈活運用為線索，講求解題策略，在第一輪復習的基礎上進行鞏固、完善、綜合、提高，并特別加強對思維品質和綜合能力的培養，著眼于知識的重組，建立完整的知識能力結構，包括學科的方法能力、思維能力、表達能力，但這都必須建立在識記能力基礎之上，理解知識的來源及其所蘊含的數學思想、數學方法，把握知識的縱橫聯系，培養探索研究問題的能力.這輪開始要兩手抓，一手抓綜合性選擇填空題訓練，一手抓解答題訓練.

3.第三輪復習：綜合訓練，以考促教，提高綜合能力.這一階段以套題為主，教師的講評圍繞上輪的高考熱點知識，并兼顧解題策略，教給學生一些解題的特殊方法與技巧，以提高學生的解題速度和應試能力.此時，應要求學生做題后積極反思，優化解題過程，完善解題表達.同時教師自己要注意研究近三年的高考題，落實到每一個考點，將考點分成熱門考點、冷門考點、高頻考點、低頻考點等，研究考點的考查難度，以此預測下年度高考命題趨勢，為停課階段的命題訓練提供思路.

4.第四輪復習：回歸課本，沖刺保溫，調整競技心態.高考前半個月，復習主動權交回給學生，教師僅作方向性的指導，學生回歸課本，再次夯實基礎，進一步提煉數學思想方法，同時回顧前三輪復習的內容，提升解題正確率.在這一階段，教師要指導學生識別陷阱，以及高中數學的易錯點，提醒學生要“見坑跳”不要“見坑鉆”.（注：本文所用高考真題的配圖系按本文用圖順序排序）