時域采樣定理MATLAB實現

吳順喜 李坤 趙聰 黃文晉 鄧文博 嚴東

【摘 要】取樣定理是把模擬信號變成數字信號取樣頻率選取的一條重要準則。對連續信號進行等間隔采樣形成采樣信號，采樣信號的頻譜是原連續信號的頻譜以采樣頻率為周期進行周期性延拓形成的。本文選取一模擬信號， 在 Matlab平臺上用不同的取樣頻率對其采樣，利用MATLAB實現連續信號采樣、頻譜分析和采樣信號恢復，計算在臨界采樣、過采樣、欠采樣三種不同條件下恢復信號的誤差，從而驗證時域采樣定理。

【關鍵詞】時域采樣定理 連續信號 頻譜分析儀 MATLAB

從模擬信號到數字信號，即從連續信號到離散信號的轉換都是通過離散采樣完成的，采樣頻率就是每秒鐘采樣的個數。根據香農采樣定理，要保證信號不失真，采樣頻率要大于信號最高頻率的兩倍。

1 采樣定理介紹

假設離散時間信號 是通過對連續時間信號 取樣獲得

取樣定理的敘述為： 如果 在 > 時 ， = 0， 則連續時間信號 完全可以由離散時間信號重建恢復 ， 其充要條件是：取樣頻率 ≥2 ； = 2被稱為連續時間信 號的奈奎斯特 （Nyquist） 頻率。當 <2時 ， 則會在進行 頻譜復制時產生重疊 ， 通常稱為混疊 （Aliasing）， 則連續時間信

號不能由它的取樣信號重建恢復。

2 運用MATLAB舉例分析

下面選定一個連續信號，計算在臨界采樣、過采樣、欠采樣三種不同條件下恢復信號的誤差，從而驗證時域采樣定理。

f1 = 'sin（2*pi*60*t）'

fs0 = caiyang（f1，40）； %頻率fs<2fmax，欠采樣

fr0 = huifu（fs0，40）；

Fs1 = caiyang（f1，120）； %頻率 fs=2fmax， 臨界采樣

fr1 = huifu（fs1，120）；

fs2 = caiyang（f1，160）； %頻率 fs>2fmax， 過采樣

fr2 = huifu（fs2，160）；

2.1創建一個caiyang.m文件

function fz = caiyang（fy，fs）

fs0 = 10000； tp = 0.1；

t = [-tp：1/fs0：tp]；

k1 = 0：999； k2 = -999：-1；

m1 = length（k1）； m2 = length（k2）；

f = [fs0*k2/m2，fs0*k1/m1]；

w = [-2*pi*k2/m2，2*pi*k1/m1]；

fx1=eval（fy）；

FX1 = fx1*exp（-j*[1：length（fx1）]'*w）；

figure

subplot（2，2，1），plot（t，fx1，'r'）

title（'原信號'），xlabel（'時間t（s）'）

axis（[min（t），max（t），min（fx1），max（fx1）]）

subplot（2，2，2），plot（f，abs（FX1），'r'）

title（'原信號幅度頻譜'），xlabel（' 頻率f（Hz）'）

axis（[-100，100，0，max（abs（FX1））+5]）

Ts = 1/fs；

t1 = -tp：Ts：tp；

f1 = [fs*k2/m2，fs*k1/m1]；

t = t1；

fz = eval（fy）；

FZ = fz*exp（-j*[1：length（fz）]'*w）；

subplot（2，2，3），stem（t，fz，'.'），

title（'取樣信號'），xlabel（'時間t（s）'）

line（[min（t），max（t）]，[0，0]）

subplot（2，2，4），plot（f1，abs（FZ），'m'）

title（'取樣信號幅度頻譜'），xlabel（'頻率f（Hz）'）

2.2創建一個huifu.m文件

function fh = huifu（fz，fs）

T = 1/fs； dt = T/10； tp = 0.1；

t = -tp：dt：tp； n = -tp/T：tp/T；

TMN = ones（length（n），1）*t-n'*T*ones（1，length（t））；

fh = fz*sinc（fs*TMN）；

k1 = 0：999； k2 = -999：-1；

m1 = length（k1）； m2 = length（k2）；

w = [-2*pi*k2/m2，2*pi*k1/m1]；

FH = fh*exp（-j*[1：length（fh）]'*w）；

figure

subplot（2，1，1），plot（t，fh，'g'），

st1 = sprintf（'由取樣頻率fs = %d'，fs）；

st2 = '恢復后的信號'；

st = [st1，st2]；title（st），xlabel（'時間 t（s）'）

axis（[min（t），max（t），min（fh），max（fh）]）

line（[min（t），max（t）]，[0，0]）

f = [10*fs*k2/m2，10*fs*k1/m1]；

subplot（2，1，2），plot（f，abs（FH），'g'）

title（'恢復后信號的頻譜'），xlabel（'頻率f（Hz）'）

axis（[-100，100，0，max（abs（FH））+2]）；

下面是利用MATLAB分析的圖1-圖6：

從圖1、圖3、圖5的連續傅里葉變換可以看出，信號f1的頻率為60Hz、，如果采樣頻率f≥120Hz就可滿足時域采樣定理。圖2、圖4、圖6分別為當采樣頻率為40Hz、120Hz、160Hz時采樣恢復后的信號頻譜，當f≥120Hz時，信號無明顯失真；而f<120Hz時，不滿足取樣定理，恢復后的信號頻譜失真。

3 結語

取樣定理表明，在一定條件下，一個連續時間信號完全可以用該信號在等時間間隔上的采樣值來表示，并且可以用這些采樣值把信號完全恢復過來。這樣，采樣定理為連續時間信號與離散時間信號的相互提供了理論依據。在數字信號處理技術廣泛應用的今天，連續時間信號的離散處理顯得日益重要。

參考文獻：

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