關于四元二次型表整數個數的均值估計

王丹，勞會學

（山東師范大學數學科學學院，山東濟南250014）

關于四元二次型表整數個數的均值估計

王丹，勞會學

（山東師范大學數學科學學院，山東濟南250014）

利用數論函數的可乘性和狄里克雷卷積方法，研究了用四元二次型表整數個數的均值估計，并且得到了相應的漸近公式，推廣了相關結果.

漸近公式；可乘函數；卷積方法

1　引言

設rk（n）表示一個整數n分解成k個整數的平方的個數，文獻［1］考慮了有關整點在圓錐體

上的分布，得到了如下漸近公式

其中，c=c（k）＞0是一個確定的常數.當k=4時，Fomenko進一步改進結果為：

設f是一個定義在環O上的二元Hermitian形式，其中這個環是虛二次域（判別式D＜0）的整環，而g是相應的整數集Z上的四元二次型.文獻［2］用

來表示整數n的表示個數.

本文研究了f（c，d）=2|c|2+|d|2，g（x，y，u，v）=2（x2+xy+3y2）+u2+uv+3v2時，整數n的表示個數

具體地得到了下面的漸近公式.

定理1.1當x≥2時，

其中A是一個常數.

2　引理

為了證明定理1.1，需要下面的四個引理：

引理2.1［2］

引理2.2［3］當時，有

引理2.3［4］當x≥2時，有

其中w（m）表示m的不同素因子的個數.

引理2.4［4］

3　定理1.1的證明

［1］Fomenko O M.On the distribution of integral points on cones［J］.Journal of Mathematical Sciences，2011，178：227-233.

［2］Elstrodt J，Grunewald F，Mennicke J.Zeta-functions of binary Hermitian forms and special values of Eisenstein series on three-dimensional hyperbolic space［J］.Math.Ann.，1987，277：655-708.

［3］Titchmarsh E C.The Theory of the Riemann Zeta-Function［M］.New York：Clarendon Press，1986.

［4］Ramaiah V Sita，Suryanarayana D.An order result involving the σ-function［J］.Indian J.pure appl.Math.，1981，12（10）：1192-1200.

［5］潘承洞.數論基礎［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［6］卡拉楚巴.解析數論基礎［M］.2版.潘承洞，張南岳，譯.哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2014.

The mean value on numbers of representation of integers by quaternary quadratic forms

Wang Dan，Lao Huixue
（School of Mathematical Sciences，Shandong Normal University，Jinan250014，China）

Using the multiplicative property of number theory function and Dirichlet's convolution method，this paper studies the mean value of the number of representations of integers by quaternary quadratic forms，and establishes an asymptotic formula，which generalizes the related result.

asymptotic formula，multiplicative function，convolution method

O156.4

A

1008-5513（2015）05-0525-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.013

2015-04-24.

國家自然科學基金（11111049）.

王丹（1989-），碩士生，研究方向：解析數論.

2010 MSC:11P21，11E25