基于MATLAB的IIR數字濾波器的設計與仿真分析

劉 興，張 鶴

（中國艦船研究設計中心，武漢 430064）

基于MATLAB的IIR數字濾波器的設計與仿真分析

劉 興，張 鶴

（中國艦船研究設計中心，武漢 430064）

隨著數字信號處理技術和計算機控制技術的發(fā)展，數字濾波器在信號處理中得到廣泛的應用。本文在MATLAB環(huán)境下，編程設計了巴特沃斯低通濾波器，濾除了給定信號的3次及以上的諧波。文中對4階、6階、8階巴特沃斯低通濾波器的效果進行了對比分析，對濾波前后的信號進行了FFT分析，仿真結果表明，本文的設計滿足要求。

MATLAB仿真；數字濾波器；巴特沃斯低通濾波器

0 引言

隨著分布式發(fā)電與智能電網的發(fā)展，電力電子裝置將被廣泛應用于現代電力系統(tǒng)中，由于其非線性特性，電力電子裝置的諧波電流和諧波電壓將對公用電網造成污染。因此，分析電網中的諧波分布就顯得尤為重要。諧波分析實質上就是將信號分解為一系列頻率的信號的疊加，在分析設計中，總是希望濾除無用的頻率分量，保留所需的頻率分量，這個過程即是濾除諧波。濾除諧波需要使用濾波器，隨著數字信號處理技術、計算機技術等技術的發(fā)展，數字濾波器已在信號處理上得到廣泛應用。

數字濾波器具有傳輸選擇特性的數字信號處理方式，輸人和輸出信號均為數字信號，其實質是一個利用有限精度算法實現線性時不變的離散系統(tǒng)。數字濾波器基本原理是利用離散系統(tǒng)的特性對輸入信號進行加工或變換，從而改變輸入信號的頻譜或波形，讓所需頻率信號分量通過，并抑制無用信號分量輸出。數字濾波器與模擬濾波器具有相同的濾波特質，基于頻率響應特性，其可分為低通、高通、帶通、帶阻等不同類型。此外，除了具有數字信號處理的優(yōu)點外，數字濾波器還具有濾波精度高、穩(wěn)定性好、靈活性強等優(yōu)點。其按照單位脈沖響應特性，可分為無限長單位脈沖響應濾波器(IIR)以及有限長單位脈沖響應濾波器(FIR)。本文利用MATLAB，設計了滿足設計要求的低通IIR數字濾波器。

1 數字濾波器設計

1.1 數字濾波器的技術指標

要設計出合理的數字濾波器，必須了解數字濾波器的各項指標。

1）數字濾波器的傳輸函數H(ejw)

式中，|H(ejw)|為系統(tǒng)幅頻響應特性，反映信號通過濾波器后不同頻率分量的衰減情況；Q(ω)為系統(tǒng)相頻響應特性，反映信號通過濾波器后不同頻率分量在時間上的延時情況。

2）幅頻特性|H(ejw)|的指標

數字濾波器性能指標如圖1所示。圖中，ωp為通帶截止頻率，頻率范圍為0≤ω≤ωp；ωs為阻帶截止頻率，頻率范圍為ωs≤ω≤π；ωC為截止頻率；αP為通帶最大衰減量；αS為阻帶最小衰減量；δ1為通帶頻率范圍內幅頻響應的誤差范圍；δ2為阻帶頻率范圍內幅頻響應的誤差范圍。

圖1 數字濾波器性能指標

通帶和阻帶頻率范圍內允許的衰減一般用dB數表示，αP和αS分別定義為：

如將|H(ej0)|歸一化為1，式（2）、式（3）則表示成：

1.2 IIR數字濾波器設計

IIR數字濾波器設計方法一般可分為兩大類：

1）設計出滿足要求的模擬濾波器(AF)傳遞函數Ha(s)，并將Ha(s)轉換成數字濾波器(DF)的傳遞函數H(z)，見圖2。

2）直接借助計算機輔助設計來求取滿足要求的數字濾波器的傳遞函數。

其中將傳輸函數由模擬域變到數字域通常有兩種方法：脈沖響應不變法和雙線性變換法。

圖2 數字濾波器的設計

1.2.1 脈沖響應不變法的基本思想

將h(n)模擬為ha(t)，并使得h(n)等于ha(t)的采樣值。對ha(t)進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：

對上式進行Z變換，得到數字濾波器的系統(tǒng)函數為：脈沖響應不變法具有以下優(yōu)點：

1）頻率變換為線性關系，即ω=ΩT，數字濾波器能很好地重現模擬濾波器的頻率響應特性；

2）數字濾波器的單位脈沖響應特性完全模擬模擬濾波器的單位脈沖響應特性，時域特性近似性好。

同時，脈沖響應不變法也有以下缺點：

1）可能出現頻譜混迭失真，即S平面到?Z平面有多值映射關系；

2）因為頻譜混迭的情況，其應用受到限制，即使隨著T的減小，失真相應減小，但運算量和資源的要求大大提高，其實現變得困難。

1.2.2 雙線性變換法的基本思想

雙線性變換法用正切變換實現非線性頻率壓縮，將S平面變換到S1平面(π±/T之間)，再將S1平面映射到Z平面上。其中正切變換式為：

S1平面映射到Z平面的變換式為：

雙線性變換法的優(yōu)點：可以消除頻譜混迭失真。由于此時S平面與Z平面是單值映射關系，從而避免了脈沖響應不變法可能出現的頻譜“混迭”現象。

雙線性變換法的缺點：由于犧牲了頻率變換線性性，此時模擬域和數字域是非線性映射，其瞬時響應特性不如脈沖響應不變法來得好。

基于以上分析，根據實際實際要求，本文采用雙線性變換法來實現IIR數字濾波器設計。

2 巴特沃斯低通濾波器設計

本文將先設計巴特沃斯低通濾波器，再通過雙線性變換得到滿足要求的數字濾波器。

設計一個模擬濾波器，實質上就是尋求一個滿足設計要求的傳遞函數Ha(s)。

巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數|Ha(j?)|2用下式表示：

式中，Ωc為截止頻率；N為濾波器階數。

當Ω=0時，|H(jΩ)|=1；當Ω=Ωc時，|H(jΩ)|=1/2；當Ω>Ωc時，幅值迅速下降，同時N越大，幅值下降地越快，過渡帶將越窄。

巴特沃斯濾波器設計步驟如下所示：

1）基于給出的技術指標αs、ωp、αP、ωs，求出濾波器階數N。

由(10)和(11)兩式可以得到：

由于式（16）求得的N可能有小數部分，故需取大于等于所得解的最小整數。

2）求歸一化后的極點pk，確定歸一化后的傳輸函數Ha(p)。基于極點公式：

再代入下式：

當然，也可根據階數N，利用查表法直接得到極點及歸一化傳輸函數。

3）求截止頻率Ωc。由式(12)可解得：

4）基于得到的Ha(p)，求取實際所需濾波器的傳輸函數Ha(s)。把p=s/Ωc代入Ha(p)中，可得：

綜合上面的分析即設計滿足要求的巴特沃斯濾波器。本文根據階數N，查表得到4、6、8階巴特沃斯濾波器的傳輸函數，濾波器的Bode圖見后文的仿真分析。

3 仿真分析

本設計在 MATLAB環(huán)境下編程實現。MATLAB含有強大的數字信號處理工具箱，借助MATLAB快捷方便的實現IIR數字濾波器的設計。

根據前面的分析，本文在MATLAB中編寫程序實現了4階、6階、8階巴特沃斯低通濾波器，程序中將每一種濾波器以Bode圖的形式表現出來，并對濾波前后信號的波形做了對比分析。本設計中每一頻段的信號的幅值按照要求設計，相位均設置為0度。

圖3為待處理的信號，可以看出，信號中含有豐富的諧波成分，本設計中，信號的幅值是按照標幺值給出，諧波信號的相位為0度。圖4為理想的濾波后信號的波形，可以看出信號的波形質量大大改善，設計的濾波器應該盡量逼近理想的濾波器。

圖3 濾波前信號的波形

圖4 理想的濾波后信號波形

圖5給出設計的三種濾波器的幅頻特性和相頻特性的Bode圖。可以看出，濾波器階次越低，速度越快，但濾波效果越差。

圖6給出三種濾波器的濾波特性比較，可以清晰的看出8階濾波器的濾波效果最好，但是造成的延時也最大，4階濾波器延時較短，但濾波效果相對較差。

圖7與圖8給出濾波前后信號的FFT分析，以8階濾波器為例。可以看出。濾波后，信號的諧波明顯減少，可見濾波器的設計達到了要求。

圖5 設計濾波器系統(tǒng)的Bode圖

圖6 實際的濾波效果圖

圖7 濾波前信號FFT分析

圖8 濾波后信號FFT分析

4 總結

數字濾波是數字信號處理的重要內容，數字濾波器可分為IIR和FIR兩大類。對于IIR數字濾波器的設計，需要借助模擬濾波器，再將模擬濾波器轉化為數字濾波器，本文比較了脈沖響應不變法和雙線性變換法的優(yōu)劣，最終選擇雙線性變化法設計。根據IIR濾波器的特點，在MATLAB壞境下采用雙線性變換法、設計了IIR數字濾波器。

從仿真波形上可以看出，濾波器階數越高，濾波效果越好，但是造成的延時也越大，而且濾波器的階數越高，設計越復雜，系統(tǒng)的成本越高。因此，工程實際中如何做到降低濾波器階次，但同時保證濾波效果還需要進一步研究。

[1]鄒云屏.數字信號處理[M].武漢:華中科技大學出版社,2002.

[2]程佩青.數字信號處理教程[M].北京:清華大學出版社,2003.

[3]羅軍輝,羅勇江,等.MATLAB7.0在數字信號處理中的應用[M].北京:機械工業(yè)出版社,2005.

[4]余成波,楊菁,等.數字信號處理及MATLAB實現[M].北京:清華大學出版社,2005.

[5]劉樹棠譯.《信號與系統(tǒng)》（第二版）[M].西安:西安交大出版社,1998.

Design and Simulating Analysis of MATLAB Based IIR Digital Filter

LIU Xing,ZHANG He
(Ship Research and Design Center of China,Wuhan 430064,China)

With the development of digital signal processing and control technology,digital filter has been widely used in signal processing.In this paper,a Butterworth low-pass filter,which can filter out high-order harmonic of the given signal,is designed based on MATLAB.The filtering result of 4 order,6 order and 8 order Butterworth low-pass filter is compared and analyzed with FFT analysis on the signal before and after being filtered.The design method is validated by simulation.

MATLAB simulation; digital filter; Butterworth low-pass filter

TN713

A

10.16443/j.cnki.31-1420.2015.05.016

劉興（1980-），男，工程師。研究方向：船舶電氣自動化。