用麥克斯韋速度分布律探討粒子的速度分布函數(shù)

陳麗珠+謝愛根

摘 要 本文敘述了麥克斯韋速度分布律的適用范圍，用麥克斯韋速度分布律分別探討了氣體分子的三維、二維和一維運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度分布函數(shù)，并討論了等離子體的帶電粒子在均勻磁場(chǎng)中的速度分布函數(shù)。文章拓展了學(xué)生對(duì)麥克斯韋速度分布律的理解，有利于培養(yǎng)學(xué)生用課本知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

關(guān)鍵詞 麥克斯韋速度分布律 氣體分子 帶電粒子

中圖分類號(hào)：O552.3 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.09.016

The Discussion of particle's Velocity Distribution Function

by the Law of the Maxwell's Velocity Distribution

CHEN Lizhu， XIE Aigen

（School of Physics and Optoelectronic Engineering， Nanjing University

of Information Science and Technology， Nanjing， Jiangsu， 210044）

Abstract This article introduces the scope of the law of the Maxwell's velocity distribution. The law of Maxwell's velocity distribution is used to discuss the velocity distribution function of gas molecules in one dimension， two dimensions， and three dimensions， respectively. The velocity distribution function of charged particles of plasma in uniform magnetic field is also demonstrated. The students can further understand the law of the Maxwell's velocity distribution. Thus， it can help the development of resolving the actual problem based on the learned knowledge.

Key words the law of the Maxwell's velocity distribution; gas molecules; charged particles

很多大學(xué)物理或者熱學(xué)教材一般都先介紹講理想氣體的壓強(qiáng)和內(nèi)能，然后再講分子速度（或速率）分布，所以常指明或被讀者誤解為所講的麥克斯韋速度分布是理想氣體分子的速度或速率分布。實(shí)際上并不這樣。本文先介紹了麥克斯韋速度分布律的適用范圍，針對(duì)氣體分子或帶電粒子的具體情況，用麥克斯韋速度分布律給出了氣體分子的三維、二維和一維運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度分布函數(shù)，并討論了等離子體中的帶電粒子在磁場(chǎng)中的速度分布函數(shù)，拓展了學(xué)生對(duì)麥克斯韋速度分布律的理解和應(yīng)用，有利于教會(huì)學(xué)生將課本學(xué)會(huì)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為自身的思維能力和創(chuàng)新能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生用課本知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

1麥克斯韋速度分布律的適用范圍

很多大學(xué)物理或者熱學(xué)教材常指明或被讀者誤解為所討論的麥克斯韋分布僅限于理想氣體。實(shí)際上，麥克斯韋速度分布律的適用范圍非常廣泛。大學(xué)物理1982年第9期顧世洧老師的文章證明了麥克斯韋速度分布適用于非理想氣體及多元?dú)怏w。①對(duì)等離子體而言，麥克斯韋速度分布適用于等離子體的每一組元。②此外，麥克斯韋速度分布不僅適用于單原子分子氣體，而且適用于多原子分子氣體。

后來，卜德政同志的文章證明了麥克斯韋速度分布適用于恒定外場(chǎng)（如穩(wěn)定電場(chǎng)或重力場(chǎng)）中的氣體。文章指出，麥克斯韋速度分布的適用范圍可以擴(kuò)大到液體或固體，或任何經(jīng)典粒子系統(tǒng)。③仝天魁及陳德坤老師的文章則分別說明了麥克斯韋速度分布適用于重力場(chǎng)中的氣體④及穩(wěn)恒電場(chǎng)中的電子氣體。⑤

除了傳統(tǒng)的經(jīng)典粒子系統(tǒng)外，《大學(xué)物理》1989年第1期陳忠勝老師還探討了相對(duì)論情況下的麥克斯韋分布。⑥吳敢老師的文章討論了麥克斯韋分布對(duì)應(yīng)于量子統(tǒng)計(jì)方法的結(jié)果。⑦

在平衡態(tài)下，假如氣體分子在二維空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則速度只有兩個(gè)分量和，設(shè)這兩個(gè)分量都服從麥克斯韋速度分布律。根據(jù)麥克斯韋的假定，速度的兩個(gè)分量的分布是彼此獨(dú)立的，因此，二維情形下的速度分布函數(shù)為：

根據(jù)（1）式和（2）式，可求出二維情形下的速度分布函數(shù)：

同理，平衡態(tài)的氣體分子作一維運(yùn)動(dòng)時(shí)，分子速度只有一個(gè)分量，設(shè)這個(gè)分量都服從麥克斯韋速度分布律。因此，根據(jù)（3）式，可求出一維情形下的速度分布函數(shù)為：

3帶電粒子的速度分布

當(dāng)?shù)入x子體處于均勻磁場(chǎng)中時(shí)，平行于磁場(chǎng)方向的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不會(huì)被改變，但垂直于磁場(chǎng)方向的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)被影響。由于這兩個(gè)方向運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的不同，等離子體在磁場(chǎng)中呈現(xiàn)出各向異性的特性。帶電粒子的平行速度分布和垂直速度分布可能不一樣，這導(dǎo)致我們必須分別探討相應(yīng)的平行溫度和垂直溫度。帶電粒子沿著磁場(chǎng)方向作一維運(yùn)動(dòng)時(shí)，其速度分布服從麥克斯韋速度分布律，根據(jù)（8）式，帶電粒子在平行于磁場(chǎng)方向的速度分布函數(shù)為：

在垂直磁場(chǎng)方向，帶電粒子的速度應(yīng)服從麥克斯韋速度分布律。根據(jù)（7）式，帶電粒子在垂直于磁場(chǎng)方向的速度分布函數(shù)為：

一般情況下，帶電粒子在磁場(chǎng)中既作平行于磁場(chǎng)方向的運(yùn)動(dòng)，又作垂直于磁場(chǎng)方向的運(yùn)動(dòng)，而且這兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)是彼此獨(dú)立互不干涉的;帶電粒子在平行于磁場(chǎng)方向的速度分布函數(shù)與帶電粒子在垂直于磁場(chǎng)方向的速度分布函數(shù)是彼此獨(dú)立的。因此，根據(jù)（9）式和（10）式，等離子體的帶電粒子在均勻磁場(chǎng)中的速度分布函數(shù)為：

當(dāng)然，由于等離子體的中性粒子不受磁場(chǎng)的作用，等離子體的中性粒子的速度分布還是可以用（5）式表達(dá)。

總之，麥克斯韋速度分布的應(yīng)用非常廣泛。它適用于氣體分子及帶電粒子，也適用于有恒定外場(chǎng)的情況。我們要根據(jù)實(shí)際情況具體討論對(duì)應(yīng)的分布表達(dá)式。希望通過詳細(xì)討論麥克斯韋分布的應(yīng)用，可以促進(jìn)學(xué)生邏輯思維的發(fā)展，幫助學(xué)生將課本學(xué)會(huì)的知識(shí)融會(huì)貫通，以提升自身的思維能力和創(chuàng)新能力。

注釋

① 顧世洧.麥克斯韋分布律適用的范圍[J].大學(xué)物理，1982（9）.

② 李定，陳銀華，馬錦秀等.等離子體物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006：2-5.

③ 卜德政.也談麥克斯韋分布適用的范圍[J].大學(xué)物理，1984（3）.

④ 仝天魁.麥克斯韋速度分布律應(yīng)與重力場(chǎng)無關(guān)[J].大學(xué)物理，1985（4）.

⑤ 陳德坤.通電導(dǎo)體中電子的速度分布規(guī)律[J].武漢科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2006（6）.

⑥ 陳忠勝.相對(duì)論條件下的麥克斯韋分布[J].大學(xué)物理，1989（8）.

⑦ 吳敢.麥克斯韋速度分布律幾種證明方法的比較[J].大學(xué)物理，1989（8）.

⑧ 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程[M].北京：高等教育出版社，1998：132.