SVM在解偏微分方程邊值中的應用

陳杰

摘 要：SVM是一種基于統計學習理論為基礎的模式識別方法，其出色的學習和推廣性能，使其在很多方面得到了應用，本文主要討論其在解偏微分方程邊值中的應用.

關鍵詞：SVM；二次規劃問題；偏微分方程

SVM是一種基于統計學習理論為基礎的模式識別方法，它是由Boser，Guyon，Vapnik在COLT-92上首次提出，從此迅速地發展起來，現在已經在許多領域得到成功應用.SVM的主要思想是通過構造一個非線性的核函數來降低維的不可分的輸入空間數據映射到高維可分的屬性空間，然后再尋找一個滿足分類要求的最優化分割超平面，并使其在保證分類精度的同時最大化超平面兩側的空白區域，所以，這種方法是全局最優的，不存在過學習問題[1].

1 邊值問題

物理現象的規律大多是通過（偏）微分方程來描述的，形如：

但僅有方程是不能完全確定具體物理現象的，還需要給出適當的附加條件，一般把一個單獨的方程稱為“泛定方程”，而把完全確定具體物理現象規律的附加條件稱為“定解條件”. 定解條件中最常見的是初始條件和邊界條件兩類，文中把相應的（偏）微分方程簡稱為邊值問題，常見的邊值條件如下：

第一類邊界條件，也叫Dirichlet條件，是指函數在邊界上為已知函數，即

第二類邊界條件，也叫Neumann條件，即函數在邊界是哪個滿足

第三類邊界條件，混合邊界條件：在邊界的一部分上滿足一類邊界條件，而其余部分滿足第二類邊界條件.

2 SVM解題步驟

在求解待定參數和微分方程邊值問題中，只要事先假設出所求函數的表達式，然后根據已知的微分關系和邊界條件對待求函數進行約束將原問題轉化為二次規劃問題，再采用支持向量機回歸算法[2]對樣本進行學習，即可確定待求函數的關系式. 求解步驟為：

（1）假設待定函數的表達式；

（2）根據已知函數關系對函數表達式進行處理；

（3）根據處理后的表達式處理數據，為SVM準備；

（4）采用SVM訓練算法進行訓練，求得待定參數，從而確定所求函數.

3 舉例

求解下面偏微分方程邊值問題：

4 結論

從結果看用支持向量機估計所得的函數與原函數解析解的值非常接近，誤差范圍一般在10-5～10-3之間.可以說，采用支持向量解回歸解決邊值問題在技術上完全可行.

參考文獻

[1] 彭彬彬，等.基于SVM增量學習的用戶適應性研究[J].計算機科學2013（3）.

[2] 周利萍，楊家紅，黃務蘭；基于SVM的回歸學習算法及其在網頁分類中的應用[J]；計算機時代；2004年11期.