求解分數階微分方程的一種新矩陣算子

劉麗靜

摘 要：近年來，分數階微積分在建立物理模型和工程計算中得到廣泛應用，由于大多數分數階微分方程式不存在解析解的，對于分數階微分方程的求解數值解就顯得尤為重要。本文在Caputo分數階微分定義下，利用切比雪夫多項式給出了求解一類分數階微分方程的矩陣算子，將求解分數階微分方程初值問題化為代數方程求解，并將新矩陣算子應用在線性分數階微分方程中，數值算例說明了本矩陣算子的有效性和可行性。

關鍵詞：分數階微分方程；矩陣算子；切比雪夫多項式；Caputo導數

1 引言

分數階微積分與整數階微積分有著同樣悠久的歷史，它的建立至今已有300多年的歷史。近幾年，許多研究者發現：非整數階的微積分也可以在眾多現實領域中得以應用，而且它們比整數階微積分能更精確地體現物體的性質，例如：沾滯系統、介質極化、電極-電解液極化、管道邊界層效應、有色噪聲和電磁波等，從而使得分數階微分方程擁有了實際的應用背景，并且人們也發現在分析各類物質材料的記憶遺傳性、經濟學中，分數階微分都成為一種有效的工具，發揮了無法比擬的作用，從而分數階算子理論和應用研究在國際上才得到迅速發展[1]，因此，開展分數階微分方程數值方法的研究具有重要的理論意義和實用價值。

2 預備知識

2.1 Caputo的分數導數的定義

2.2微分方程的切比雪夫矩陣算子

2.2.1 整數階微分方程的切比雪夫矩陣算子

該方法得到的解與精確解相同，說明此法可應用于求解線性微分方程。

4 結論

由于分數階微分方程對所描述問題具有的記憶性，使得對分數階微分方程研究成為研究的熱點問題。本文正是在這種背景之下，給出了一種普遍適用的切比雪夫分數階微分的矩陣算子，數值算例表明了該矩陣算子對求解線性分數階微分方程是可行且有效的。另外值得一提的是本文提出的矩陣算子有利于計算機實現，為編寫工程計算軟件提供了理論支持。

參考文獻

[1] 譚粞智， 林曉然， 周尚波. 幾種分數階微分數值解法的比較研究[J]. 計算機仿真，2011， 28（5）.

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[3] 劉建. 分數階微分方程的基本理論及應用[D]. 上海： 東華大學， 2010.

[4] 馬曉丹. 分數階微分方程的數值解[D]. 上海：中國石油大學， 2008.