借助函數(shù)形態(tài)作圖之淺見

張美花

摘 要：作圖在數(shù)學(xué)中尤為重要，函數(shù)的圖象和性質(zhì)關(guān)系密切。借助圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，給人以直觀的啟示，可讓理論性強(qiáng)的文章圖文并茂，有助于理解定義，說明定理和解釋公式等。主要講述如何利用函數(shù)的形態(tài)作出較為復(fù)雜的函數(shù)圖象。

關(guān)鍵詞：函數(shù)形態(tài)；作圖；方法步驟

一、函數(shù)現(xiàn)代概念

若對(duì)集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=f（x）。元素x稱為自變量，元素y稱為因變量。

二、函數(shù)的形態(tài)

1.單調(diào)性

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，區(qū)間I包含于D。如果對(duì)于區(qū)間上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)遞減的。單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。

2.奇偶性

設(shè)f（x）為一個(gè)實(shí)變量實(shí)值函數(shù)，若下列的方程對(duì)所有實(shí)數(shù)x都成立：f（x）=-f（-x）則f（x）為奇函數(shù)。幾何上，一個(gè)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

設(shè)f（x）為一實(shí)變量實(shí)值函數(shù)，則f（x）為偶函數(shù)，若下列的方程對(duì)所有實(shí)數(shù)x都成立：f（x）=f（-x）。幾何上，一個(gè)偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱。

3.周期性

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈。如果存在一個(gè)正數(shù)T，使得對(duì)于任意x∈D有（x±T）∈D，且f（x+T）=f（x）恒成立，則稱f（x）為周期函數(shù)，T稱為f（x）的周期，通常我們說周期函數(shù)的周期是指最小正周期。周期函數(shù)的定義域D為至少一邊的無界區(qū)間，若D為有界的，則該函數(shù)不具周期性。并非每個(gè)周期函數(shù)都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函數(shù)。

4.有界性

設(shè)I為函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)的某一區(qū)間，若存在正數(shù)M，使得對(duì)一切x∈I，都有f（x）≤M，則稱f（x）為區(qū)間I上有界，否則稱f（x）為區(qū)間I上無界。

5.連續(xù)性

在數(shù)學(xué)中，連續(xù)是函數(shù)的一種屬性。直觀圖象上說，連續(xù)的函數(shù)是連綿不斷的一條線，也就是一筆可以畫完無需間斷的曲線。

不用極限的概念，也可以這樣表達(dá)：對(duì)任意給定的ε>0，總存在δ>0，當(dāng)x-x0<δ時(shí)有f（x）-f（x0）<ε

6.凹凸性

三、函數(shù)的基本作圖方法

討論了函數(shù)的各種形態(tài)，綜合討論就可以做出函數(shù)圖象的一般步驟如下：

（1）確定函數(shù)的定義域，找出間斷點(diǎn)。

（2）求出曲線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。

（3）確定曲線關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱性。

（4）令一階導(dǎo)數(shù)等于0，求出函數(shù)的駐點(diǎn)，并算出各駐點(diǎn)的函數(shù)值。判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并求出極值。

（5）確定函數(shù)的凹向區(qū)間和拐點(diǎn)。

（6）求出曲線的漸近線。

（8）根據(jù)關(guān)系圖和函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，描繪函數(shù)大致圖象。

四、實(shí)例解析

解：（1）定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）。

（2）函數(shù)不具有奇偶性，因此曲線無對(duì)稱性。

（4）令y′=0得x=-2

y″（-2）>0所以x=-2為極小值點(diǎn)，f（-2）=3為極小值。

（5）令y″=0，得x=-3，在x=-3的左側(cè)有y″<0，在x=-3的右側(cè)有y″>0，而f（-3）=-2，所以，（-3，-2）是拐點(diǎn)。

（6）漸近線x=0。

（7）將上面的結(jié)果列表如下：

（8）描繪圖象如下：

根據(jù)作圖的步驟可以作出函數(shù)的大致圖象，如果已知函數(shù)的圖象，不但可以從函數(shù)得到精確的性質(zhì)，也可以從函數(shù)的圖象得出函數(shù)的大致性質(zhì)。

例2：已知函數(shù)y=3x2-x3的圖象如下，描述該函數(shù)性態(tài)。

解：（1）定義域?yàn)椋?∞，+∞）。

（2）函數(shù)不具有奇偶性，曲線無對(duì)稱性。

（3）f（x）=0曲線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)是x=0，一個(gè)是x=3。

（4）函數(shù)有兩個(gè)駐點(diǎn)x=0，x=2

x=0為極小值點(diǎn)，f（0）=0為極小值。

x=3為極大值點(diǎn)，f（2）=4為極大值。

（5）（1，2）是拐點(diǎn)。

（6）無漸近線。

五、總結(jié)

函數(shù)的形態(tài)對(duì)作圖起到很大的指導(dǎo)作用，而函數(shù)的圖形也能一目了然地反映該函數(shù)的各種形態(tài)。學(xué)好函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，靈活解題，方法至關(guān)重要，準(zhǔn)確畫出函數(shù)的圖形可以使我們進(jìn)一步提高解題興趣，激活思維，開拓思路，提高綜合運(yùn)用多種方法解題的能力，從而提高分析、判斷、猜想、推理、決策的能力，真正提高數(shù)學(xué)素質(zhì)、創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力。平時(shí)應(yīng)注重培養(yǎng)這種思想意識(shí)，爭取見數(shù)想形，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，發(fā)揮數(shù)與形兩種信息的轉(zhuǎn)換及其優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)與整合。

參考文獻(xiàn)：

[1]邱曙熙.高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)篇.廈門大學(xué)出版社，2008-07.

[2]潘凱.高等數(shù)學(xué).中國科技大學(xué)，2004（09）.

編輯 李建軍