基于分圓法的一類素數平方周期跳頻序列族

徐善頂曹喜望許廣魁

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基于分圓法的一類素數平方周期跳頻序列族

徐善頂*①②曹喜望②③許廣魁②④

①(南京工程學院數理部 南京 211167)②(南京航空航天大學數學系 南京 211106)③(中國科學院信息工程研究所信息安全國家重點實驗室 北京 100093)④(淮南師范學院數學與計算科學系 淮南 232038)

最大漢明相關與平均漢明相關是評價跳頻序列族性能的兩個重要參數。該文首先給出了源于Fermat商的廣義分圓類的性質；其次，基于此廣義分圓法構造了一類上的長度為，序列族的大小為的跳頻序列族；最后證明了該跳頻序列族關于最大漢明相關界與平均漢明相關界都是最優的。

跳頻序列；Fermat商；分圓；最大漢明相關界；平均漢明相關界

1 引言

跳頻技術被廣泛應用于現代通信系統，比如超寬頻、藍牙、軍事及雷達等。其中，用于控制載波頻率跳變的地址碼序列稱為跳頻序列(Frequency- Hopping Sequence, FHS)，它的性能對跳頻系統有重大影響。在實際應用中，我們盡可能使用非平凡漢明自相關值和漢明互相關值較小的跳頻序列以減少信號之間的彼此干擾，同時還要求序列的數目比較多以容納盡可能多用戶。但是，跳頻序列族的參數受限于一些理論界，因此構造關于這些界的最優跳頻序列族成了設計的熱點。目前關于跳頻序列族的漢明相關最優性的評價指標主要有如下兩種：一種是最大漢明相關[1,2](MHC)，代表的是跳頻系統的最壞情形，目前大多數跳頻序列的設計主要是針對它的最優構造。另一種是平均漢明相關[3](AHC)，代表的是跳頻系統的平均干擾狀況，所以設計出達到平均漢明相關界的跳頻序列族也意義重大。然而，公開發表的能同時達到最大漢明相關界與平均漢明相關界的跳頻序列族[1,13,14]卻比較少，這也成了序列設計中的一個重要課題。

分圓是一個很古老的數論問題，分圓數和廣義分圓數被廣泛應用于數論問題、組合數學、序列設計、編碼理論以及密碼學等。近年來，許多編碼學者陸續利用Gauss經典分圓、Whiteman廣義分圓、Ding-Helleseth廣義分圓及其推廣構造了一系列性能良好的序列。本文基于Fermat商[15]導出的廣義分圓法[16]構造了一類長度為的跳頻序列族，同時給出了各類漢明相關值的計算公式輔以驗證其最優性。隨后證明所構造的序列族不僅關于最大漢明相關界與平均漢明相關界都是最優的，而且序列族中的每個序列關于L-G界(見引理1)也是最優的。

2 基本概念

Lempel和Greenberger[1]于1974年給出了跳頻序列的最大漢明自相關的一個下界：

引理1 (L-G 界[1]) 設是大小為的字符集上的長度為的任意跳頻序列，則

引理2[2]設是大小為的字符集上的長度為的個跳頻序列構成的序列族，則

關于跳頻序列族的另外兩個重要參數：平均漢明自相關和平均漢明互相關，分別定義如下。

定義1[17]設是上的長度為的個跳頻序列的集合且=，則分別稱為

2008年，Peng等人[18]給出了跳頻序列族的和的如下理論界：

引理3[18]設是上的長度為的個跳頻序列的集合且=，則

今后我們將使用以下定義:

注1：上面定義的關于環的階廣義分圓既不同于Whiteman廣義分圓，又不同于Ding- Helleseth廣義分圓中環的二階廣義分圓，是一種全新的分圓形式。

如上定義的廣義分圓類與廣義分圓數有以下性質：

性質1[16]若,，那么=,。

(3)易證。 證畢

綜合(1)與(2)得結論。 證畢

由性質4可得結論。

4 新的跳頻序列族的構造

本節將構造一類新的跳頻序列族，并利用上節的性質給出該跳頻序列族的漢明相關值的分布，隨后證明了所構造的序列族不僅具有最優MHC與最優AHC，而且序列族中的每個序列關于L-G界也是最優的。

證明 (1) 顯然成立；

由性質5，性質6，性質7可得結論。

再由平均漢明自相關和平均漢明互相關的定義可得式(30)。把式(30)代入式(8)可得：

注2：本節與文獻[13]構造的相似與不同之處：

(1)相似：與文獻[13]所構造的跳頻序列族相比，本節構造的序列族不僅具有與其相同的序列周期、序列個數和字符集大小，而且具有相同的最優漢明相關特性，即：所構造的序列族具有最優MHC和最優AHC，其中每個序列關于L-G界也是最優的(見表1)。

(2)不同：首先，本文與文獻[13]所構造的跳頻序列形式完全不同；其次，文獻[13]中的構造主要利用廣義bent函數，其序列族定義形式和最優性證明過程相對復雜。而本節中的構造主要采用的是廣義分圓法，不僅定義字符集更加簡潔，而且序列族構造方法簡單可行，從而具有更強的應用背景。

表1幾類相關跳頻序列族的比較(其中為奇素數)

跳頻序列族L|U|L-G界MHCAHC 文獻[9]最優非最優最優 文獻[13]最優最優最優 文獻[14]最優最優最優 本文最優最優最優

5 結束語

[1] Lempel A and Greenberger H. Families of sequences with optimal Hamming correlation properties[J]., 1974, 20(1): 90-94.

[2] Peng D Y and Fan P Z. Lower bounds on the Hamming auto-and cross-correlations of frequency-hopping sequences[J]., 2004, 50(9): 2149-2154.

[3] Peng D Y, Niu X H, Tang X H,.. The average Hamming correlation for the cubic polynomial hopping sequences[C]. International Conference on Wireless Communications and Mobile Computing, Crete, Greece, 2008: 464-469.

[4] Ding C S and Yin J X. Sets of optimal frequency-hopping sequences[J]., 2008, 54(8): 3741-3745.

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[7] Zeng X Y, Cai H, Tang X H,.. Optimal frequency hopping sequences of odd length[J]., 2013, 59(5): 3237-3248.

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Liu F and Peng D Y. A class of frequency-hopping sequence family with optimal average Hamming correlation property[J].&, 2010, 32(5): 1257-1261.

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Class of Optimal Frequency-hopping Sequences Set with the Square of Prime Length Based on Cyclotomy

Xu Shan-ding①②Cao Xi-wang②③Xu Guang-kui②④

①(,,211167,)②(,,211106,)③(,,,100093,)④(,,232038,)

The Maximum Hamming Correlation (MHC) and the Average Hamming Correlation (AHC) are two important performance measures of the frequency-hopping sequences. Firstly, some properties of generalized cyclotomy are derived from Fermat quotient. Secondly, based on the generalized cyclotomy, a class of optimal frequency-hoppingsequences set with length of sequencesand size beingdefined onis constructed. Finally, it is proved that the proposed frequency-hopping sequences set is optimal with respect to the maximum Hamming correlation bound and the average Hamming correlation bound.

Frequency-hopping sequence; Fermat quotient;Cyclotomy; Maximum Hamming correlation bound; Average Hamming correlation bound

TN914.41

A

1009-5896(2015)10-2460-06

10.11999/JEIT150168

2015-01-29；改回日期：2015-05-29；

2015-07-06

徐善頂 sdxzx11@163.com

國家自然科學基金(11371011)和南京工程學院校級科研基金(QKJA201307)

The National Natural Science Foundation of China (11371011); The Foundation of Nanjing Institute of Technology (QKJA201307)

徐善頂： 男，1979年生，講師，主要研究方向為跳頻序列分析與設計.

曹喜望： 男，1965年生，教授，主要研究方向為代數組合論與代數密碼學.

許廣魁： 男，1981年生，講師，主要研究方向為代數組合論與代數密碼學.