不確定系統魯棒協方差交叉融合穩態Kalman濾波器

王雪梅 劉文強 鄧自立

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不確定系統魯棒協方差交叉融合穩態Kalman濾波器

王雪梅①②劉文強①鄧自立*①

①(黑龍江大學電子工程學院 哈爾濱 150080)②(黑龍江工商學院計算機科學與技術系 哈爾濱 150025)

針對帶不確定模型參數和噪聲方差的線性離散多傳感器系統，基于極大極小魯棒估值原理，該文提出一種魯棒協方差交叉(CI)融合穩態Kalman濾波器。首先，用引入虛擬噪聲補償不確定模型參數，把模型參數和噪聲方差兩者不確定的多傳感器系統轉化為僅噪聲方差不確定的系統。其次，應用Lyapunov方程證明局部魯棒Kalman濾波器的魯棒性，進而保證CI融合Kalman濾波的魯棒性，且證明了CI融合器的魯棒精度高于每個局部濾波器的魯棒精度。最后，給出一個仿真例子來說明如何搜索不確定參數的魯棒域，并驗證所提出的魯棒Kalman濾波器的優良性能。

多傳感器信息融合；不確定系統；魯棒Kalman濾波器；虛擬噪聲；協方差交叉融合

1 引言

信息融合的主要目的是得到系統狀態的一個融合估值器，這個估值器是由多傳感器系統中的局部觀測數據或者局部狀態估值融合而成，它的精度要高于每一個局部估值的精度[1]。隨著信息科學技術的發展，為了改善系統狀態的估計精度，多傳感器信息融合Kalman濾波在國內外引起了廣泛關注，也已經被廣泛地應用到包括國防、導航、信號處理、無人機、GPS定位等多個領域。比較常用的兩種Kalman濾波融合方法是集中式融合和分布式融合[5,6]。對于分布式融合方法，有按矩陣加權、按對角陣加權和按標量加權的3種最優加權狀態融合方法。為了得到最優加權狀態融合Kalman濾波器，要求計算局部Kalman濾波器誤差方差和互協方差，而在實際應用中，存在互協方差未知不確定，或者互協方差計算復雜等問題[2]。為了克服這種局限性，Julier和Uhlmann在文獻[2,7,8]中提出了帶未知互協方差系統協方差交叉(Covariance Intersection, CI)融合算法，并被進一步發展，且廣泛的應用于許多領域。

經典Kalman濾波器的設計前提是要求系統的模型參數和噪聲方差都是精確已知的，否則Kalman濾波器性能就會降低甚至可能引起濾波發散[16]。這推動了魯棒Kalman濾波器的研究，所謂魯棒Kalman濾波器是指，對于所有容許的不確定性，Kalman濾波器的實際濾波誤差方差有一個最小上界，這個特性為Kalman濾波器的魯棒性[17]。

魯棒Kalman濾波器通常采用的兩種重要方法是Riccati方程方法[5,17,18]和線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequation, LMI)方法[15,16,19]。兩種方法主要針對噪聲方差精確已知，模型參數不確定性的系統。

到目前為止，模型參數和噪聲方差都不確定的魯棒Kalman濾波器很少被研究，文獻[20,22]對帶噪聲方差不確定的系統提出魯棒CI融合Kalman濾波器，但模型參數是精確已知的。

對于模型參數和噪聲方差都不確定的多傳感器系統，本文用虛擬噪聲補償技術補償模型參數不確定性，把參數和噪聲方差兩者不確定系統魯棒濾波問題轉化為僅帶不確定噪聲方差系統的魯棒濾波問題。應用極大極小魯棒估值原理[23]，基于帶噪聲方差保守方差上界的最壞情形保守系統，提出了一種魯棒CI融合穩態Kalman濾波器，用Lyapunov方程方法證明了其魯棒性，并證明它的魯棒精度高于每個局部濾波器的魯棒精度。為了保證Kalman濾波器的魯棒性，給出了不確定參數魯棒域的搜索方法。

2 局部魯棒穩態Kalman濾波器

考慮帶不確定模型參數和噪聲方差的多傳感器系統：

假設2 多傳感器系統式(1)~式(3)是完全可觀和完全可控的，且為穩定矩陣。

問題是設計魯棒CI融合穩態Kalman濾波器。

根據假設2，保守的局部穩態最優Kalman濾波器為

所以，相應的實際局部濾波誤差方差和互協方差為

引理1[1]Lyapunov方程

定理1 對帶不確定模型參數和噪聲方差的多傳感器系統式(1)，式(2)，在假設1和假設2下，實際局部穩態Kalman濾波器式(13)是魯棒的，即存在一個魯棒域，使得對于所有容許的不確定模型參數擾動，及滿足(5)的不確定噪聲方差和，相應的實際濾波誤差方差陣有上界，即

且稱實際局部Kalman濾波器為魯棒局部Kalman濾波器，并稱是第個局部魯棒Kalman濾波器不確定參數的魯棒域。

其中定義：

根據穩態Kalman濾波理論[24]，由于,和式(7)知是非奇異陣，并且由于有

注2 對式(19)兩側同時做矩陣跡運算得

3 魯棒穩態CI融合Kalman濾波器

根據CI融合原理[2]對式(1)~式(3)，本文提出魯棒穩態CI融合Kalman濾波器為

用式(31)減式(27)得到實際濾波誤差：

由式(32)得到實際濾波誤差方差為

文獻[20]證明了由局部濾波器魯棒性可以得出CI融合濾波器也是魯棒的，即

由式(30)得出

對式(34)取矩陣跡運算，并由式(36)得到局部和CI融合魯棒Kalman濾波器具有魯棒精度關系：

這表明CI融合器的魯棒精度高于每個局部濾波器的魯棒精度，且CI融合器的實際精度高于它的魯棒精度。

4 仿真分析

考慮帶不確定模型參數和噪聲方差的2傳感器時變系統式(1)~式(3)，其中在仿真中取,,,,,，,,,。其中是不確定的擾動參數，當，對取歐幾里得范數得，所以的魯棒域對應于的魯棒域，即。

圖1 局部魯棒Kalman濾波器的魯棒域

下面仿真結果均以第1個子系統為例。

圖2不確定模型參數的魯棒域隨和變化的曲線

圖3隨著不確定性和的變化情況

圖4局部魯棒Kalman濾波器魯棒域隨著和的變化情況

圖5 基于協方差橢圓的局部和CI融合魯棒Kalman濾波器的精度比較

為了驗證理論精度關系，圖6給出進行1000次Monte-Carlo仿真實驗得到的局部和CI融合的均方誤差(Mean Square Error, MSE)曲線，均方誤差可看成是實際誤差方差陣的采樣方差的跡，直線代表相應的實際誤差方差陣的跡，從圖中可看到MSE曲線接近相應的直線，這驗證了采樣方差的一致性。

圖6 局部和CI融合魯棒Kalman濾波器的MSE曲線

表1魯棒精度和實際精度的比較

圖7 累積濾波誤差平方曲線比較

5 結束語

對于帶不確定模型參數和噪聲方差的多傳感器系統，采用虛擬噪聲補償不確定模型參數，將系統模型轉化為僅帶噪聲方差不確定的多傳感器系統。用極大極小魯棒估計原理，基于穩態Kalman濾波理論和帶噪聲方差保守上界的最壞情形保守多傳感器系統，提出了局部和CI融合魯棒穩態Kalman濾波器方法。采用Lyapunov方程方法，證明了所提出局部和CI融合穩態Kalman濾波器的魯棒性，即實際Kalman濾波誤差方差有一個較小的保守上界，這種證明方法不同于Riccati方程方法和LMI方法。仿真例子給出了局部和CI融合濾波器魯棒域的搜索方法，并驗證了魯棒CI融合器精度高于魯棒局部Kalman濾波精度，結果表明本文提出的CI融合濾波器具有良好的性能。

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Robust Covariance Intersection Fusion Steady-state Kalman Filter for Uncertain Systems

Wang Xue-mei①②Liu Wen-qiang①Deng Zi-li①

①(,,150080,)②(,,150025,)

For the linear discrete time multisensor system with uncertain model parameters and noise variances, a Covariance Intersection (CI) fusion robust steady-state Kalman filter based on the minimax robust estimation principle is presented.Firstly, introducing the fictitious noise, the model parameter uncertainty can be compensated, so the multisensory system with both the model parameter and noise variance uncertainties is converted into that with only uncertain noise variances.Secondly, using the Lyapunov equation, the robustness of the local robust Kalman filter is proved, so the robustness of the CI fused Kalman filter is guaranteed and it is proved that the robust accuracy of the CI fuser is higher than that of each local filter. Finally, a simulation example shows that how to search the robust region of uncertain parameters and shows the good performance of the proposed robust Kalman filter.

Multisensor information fusion; Uuncertain system; Robust Kalman filter; Fictitious noise; Covariance Intersection (CI) fusion

TP391

A

1009-5896(2015)08-1900-06

10.11999/JEIT141515

鄧自立 dzl@hlju.edu.cn

2014-11-27收到，2015-03-27改回，2015-06-08網絡優先出版

國家自然科學基金(60874063, 60374026)資助課題

王雪梅： 女，1978年生，博士生，講師，研究方向為信息融合、魯棒Kalman濾波.

劉文強： 男，1980年生，博士生，講師，研究方向為信息融合、魯棒Kalman濾波.

鄧自立： 男，1938年生，教授，博士生導師，研究方向為信息融合、魯棒Kalman濾波.