數(shù)學(xué)分析與中學(xué)數(shù)學(xué)脫節(jié)內(nèi)容教學(xué)研討

王全勝

摘 要：中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容變化已經(jīng)非常之大，而與之聯(lián)系緊密的數(shù)學(xué)分析內(nèi)容變化一直不大。該文將數(shù)學(xué)分析與中學(xué)數(shù)學(xué)的脫節(jié)之處進(jìn)行分析，并具體分析數(shù)學(xué)分析中需要增加教學(xué)課時(shí)的內(nèi)容，根據(jù)后面與之有聯(lián)系的教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)行對應(yīng)的教學(xué)研討。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析 中學(xué)數(shù)學(xué) 脫節(jié) 教學(xué)研討

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）07（a）-0137-02

數(shù)學(xué)分析屬于數(shù)學(xué)類專業(yè)必修的重要基礎(chǔ)課，在整個(gè)自然科學(xué)中處于基石地位，并廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。學(xué)好數(shù)學(xué)分析是學(xué)好復(fù)變函數(shù)、泛函分析、微分方程、微分方程的數(shù)值解、微分幾何、概率論、普通物理等其它后繼數(shù)學(xué)課程的必備基礎(chǔ)。同時(shí)，在數(shù)學(xué)類專業(yè)所有的專業(yè)課程中，數(shù)學(xué)分析與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系最為緊密。

近些年來，隨著中學(xué)數(shù)學(xué)教材改革的進(jìn)展，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容變化已經(jīng)非常之大，數(shù)學(xué)分析的部分內(nèi)容已經(jīng)逐步地引入到中學(xué)數(shù)學(xué)教材中。反之，部分以前必修的教學(xué)內(nèi)容，成為了選修內(nèi)容，甚至少部分在數(shù)學(xué)分析中必要的基礎(chǔ)，由于高考不考，在中學(xué)課堂上老師不予講解，學(xué)生完全不知道。而與之對應(yīng)的是，數(shù)學(xué)分析作為專業(yè)基礎(chǔ)課程，內(nèi)容變化一直不大，并沒有根據(jù)中學(xué)數(shù)學(xué)教材的改革作出相應(yīng)調(diào)整，這樣就造成數(shù)學(xué)分析的教學(xué)內(nèi)容與中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容的脫節(jié)。一方面是教學(xué)內(nèi)容的重復(fù)，浪費(fèi)數(shù)學(xué)分析的教學(xué)課時(shí)；另一方面是必須的基礎(chǔ)缺少，學(xué)生接受新知識有困惑與障礙。

該文研究時(shí)，數(shù)學(xué)分析采用華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的第四版《數(shù)學(xué)分析》教材，中學(xué)數(shù)學(xué)教材采用人教A版的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》教材。把數(shù)學(xué)分析與中學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容進(jìn)行對比，將脫節(jié)之處以重復(fù)與缺少兩個(gè)角度進(jìn)行分析，以數(shù)學(xué)分析的教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)研討，適當(dāng)增減數(shù)學(xué)分析的教學(xué)課時(shí)，并具體分析增加的教學(xué)課時(shí)的教材教法，希望對數(shù)學(xué)分析的教學(xué)有所幫助。

1 需要減少教學(xué)課時(shí)的內(nèi)容

已進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的內(nèi)容主要分四個(gè)方面：求導(dǎo)數(shù)方面，有四則運(yùn)算求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)求道法則，導(dǎo)數(shù)公式中六類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，但是無證明過程；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用方面，有利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，極值的簡單概念與應(yīng)用；求積分方面，有不定積分的相關(guān)概念，定積分的引例，幾何意義，性質(zhì)，牛頓-萊布尼茲公式；定積分的應(yīng)用方面，有定積分的應(yīng)用中求平面面積，變力做功。

因此，數(shù)學(xué)分析中，第五章第二節(jié)求導(dǎo)法則處，可以減少一節(jié)教學(xué)課時(shí)；第六章第一節(jié)函數(shù)的單調(diào)性處，可以減少一節(jié)教學(xué)課時(shí)；第九章第二節(jié)牛頓—萊布尼茲公式處，可減少半節(jié)教學(xué)課時(shí)；第十章定積分的應(yīng)用處，可減少一節(jié)教學(xué)課時(shí)。

2 需要增加教學(xué)課時(shí)的內(nèi)容

2.1 三角函數(shù)

三角函數(shù)處，增加一節(jié)教學(xué)課時(shí)。主要是介紹余切函數(shù)，正割函數(shù)，余割函數(shù)的定義與圖像，并介紹下面這些公式。

（1）平方公式

，

（2）積化和差公式

（3）和差化積公式

（4）萬能公式

講解時(shí)給出公式的證明，以利于學(xué)生推導(dǎo)應(yīng)用。同時(shí)復(fù)習(xí)其它公式，如中學(xué)中已經(jīng)學(xué)過的二倍角公式，誘導(dǎo)公式等。講解三個(gè)新的三角函數(shù)的圖像時(shí)，可以順便把其它三個(gè)三角函數(shù)的圖像簡單復(fù)習(xí)一下。講解完后適當(dāng)練習(xí)，如化簡，證明等，既熟悉公式又為后面的應(yīng)用做準(zhǔn)備。

2.2 反三角函數(shù)

反三角函數(shù)處，增加半節(jié)教學(xué)課時(shí)。主要是介紹反正弦函數(shù)，反余弦函數(shù)，反正切函數(shù)，反余切函數(shù)的定義，定義域，值域，與三角函數(shù)的關(guān)系，它們的圖像，以及它們的性質(zhì)，。講解圖像時(shí)特別注意為后面的極限埋下伏筆，如。

2.3 極坐標(biāo)變換

極坐標(biāo)變換處，增加兩節(jié)教學(xué)課時(shí)。主要是介紹極坐標(biāo)系的建立，點(diǎn)的極坐標(biāo)，點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互換，平面曲線的極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互換，利用描點(diǎn)法按照極坐標(biāo)方程作出曲線的圖像，常見的極坐標(biāo)方程，最后三個(gè)方面在講解時(shí)要結(jié)合起來。

（1）坐標(biāo)變換分為利用直角坐標(biāo)求極坐標(biāo)，以及利用極坐標(biāo)求直角坐標(biāo)。

（2）常見極坐標(biāo)方程如射線方程，與坐標(biāo)軸垂直的直線方程，（為常數(shù)），圓周曲線方程，，，三葉玫瑰線，心形線（或稱外擺線），螺旋線，雙紐線等。

上述增加課時(shí)的內(nèi)容，可以把課時(shí)增加在第一章第三節(jié)函數(shù)概念處，將原教學(xué)計(jì)劃中的兩節(jié)改為五節(jié)即可。

3 增加教學(xué)課時(shí)的內(nèi)容與后面教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系

3.1 三角函數(shù)與反三角函數(shù)圖像

函數(shù)極限與曲線的漸近線需要三角函數(shù)與反三角函數(shù)的圖像。如的垂直漸近線，的水平漸近線，函數(shù)極限，等。

3.2 三角函數(shù)中的公式

函數(shù)極限與積分的計(jì)算需要三角函數(shù)中的一些公式。如不定積分中三角函數(shù)化為有理函數(shù)的萬能換元，，

，

等。

3.3 三角函數(shù)與反三角函數(shù)的定義

導(dǎo)數(shù)、微分、積分的公式與計(jì)算需要三角函數(shù)與反三角函數(shù)的定義。如、

、、、、、

的導(dǎo)數(shù)、微分、積分公式以及用它們求其它函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分、積分。

3.4 極坐標(biāo)變換

含參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用，二重積分的極坐標(biāo)變換，三重積分的柱面變換，這些內(nèi)容都需要極坐標(biāo)變換。如求心形線的切線與切點(diǎn)向徑之間的夾角，三葉玫瑰線所圍圖形的面積，螺旋線的弧長，雙紐線繞極軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積，二重積分等。

這些增加教學(xué)課時(shí)的內(nèi)容，搞清楚它們用在那里，怎么使用。我們講解的時(shí)候才能有的放矢，講解的更加深入透徹。

參考文獻(xiàn)

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2] 人民教育出版社課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)[M] .北京：人民教育出版社，2010.