一類具非零初值Duffing方程的近似解

韋桂榮，韋玉程

(1.長樂中學，廣西 東蘭 547406;2.河池學院 數學與統計學院，廣西 宜州 546300)

0 引言

微分方程作為數學工具對自然現象的描述是十分有效的，但大量的微分方程并不存在解析解，因此尋求微分方程的近似解或數值解是很自然的想法。攝動方法是求微分方程近似解的有效途徑之一。從20世紀開始，隨著攝動法理論的不斷發展和完善，特別是20世紀50年代以來的迅速發展，攝動方法被廣泛應用于眾多領域的科學研究之中。

攝動法源于19世紀Poisson在研究天體運動地球所受的引力時，首次使用微分方程的形式來表示為:

其中，X=(x1，x2，…，xn)，A0，A1，A2，…是 X 的函數;A0表示太陽對地球的引力，εiAi為其它行星對地球的引力，是微小擾動項。Poisson假設方程(1)有如下的冪級數解

將(2)代入(1)，令方程兩邊ε的同次冪系數相等，從而得到一系列的關于X0，X1(t)，X2(t)，…的微分方程，通過解微分方程得到(1)的近似解。攝動方法可分為正則攝動和奇異攝動兩類。奇異攝動源于在使用正則攝動時方程解的冪級數展開式的非一致有效性。其主要表現為使用正則攝動時，方程出現長期項，或展開式在某部分邊界不滿足邊界條件，或者方程有轉向等等原因時都使正則攝動法失效。當下，奇異攝動問題的研究已發展為控制理論的一個重要分支，因此引起了各界學者、眾多專家對奇異攝動的研究?，F行奇異攝動常用的主要方法有伸縮坐標法、匹配漸近展開法、復合展開法、參數變易法、平均法、多重尺度法等。多重尺度法是20世紀50年代后期發展起來的一種求近似解的奇異攝動方法。

Duffing方程是非線性振動系統中的一類典型方程，工程實際中的許多非線性振動問題的數學模型都可以轉化為該方程來研究。Duffing方程雖然形式簡單，但它具有豐富的動力學現象，作為一個具有代表性的非線性動力學方程，在非線性振動理論研究中具有重要的意義。然而，從它提出(1918年)到現在已經近百年了，人們對它的解的性質仍未完全清楚。其共振和非共振的周期軌道、概周期解等問題存在性的研究主要參見文獻[1－6]及引用文獻。然而，工程上更需要的是其數值解或近似解，包括分析法、數值法、圖解法、實驗方法和兩變量展開法等，這方面可參見[7－11]及引用文獻。按照攝動方法，完整的問題的解是用一個攝動展開式的前面幾項(一般是前面兩項來表示的)，盡管這種展開式可能是發散的，但是作為解得一個定性的以及定量的表示，它們可以比一致并收斂的展開式更有用。本文采用兩變量展開法來展開一類非零初值的非線性Duffing方程。對原方程的變量做適當的變換，引進快慢兩種不同尺度的時間變量，將單變量轉成兩個變量的二階非線性初值問題，使用漸近展開式，比較對應項系數，得出展開式前幾項的系數滿足的方程，通過解微分方程得到所給問題的近似解的一般表達式。

1 主要結果及證明

下面是本文的主要結果及證明。

定理:考慮一類具非0初值的Duffing方程

其中ε是小參數。則求此方程具有如下形式的一階近似解:

定理證明:設方程(3)具有如下形式的冪級數解:

在這里，我們做變換如下:

其中ωi是常數。在(5)式中沒有εω1這一項，因為εt已經含在ξ中了。這種變換，相當引入了ξ比η慢的兩個不同時間變量。首先，對ξ、η求關于t的一階導得

對u(ξ，η)求關于t的二階導得

對于εu3項，考慮取近似如下

把(4)、(6)、(7)式代入方程(3)，整理得

因為當 t=0時，ξ=0，η =0，于是由

得到

同理，由 u′(0)=1，可得

比較(8)式ε的各次冪的系數得到

解方程(9)得

其中:A0(0)=B0(0)=1。于是

及

對于項 －u30(ξ，η)，使用公式，計算得:

將(13)、(14)式代入(10)式，得

聯立方程(16)與(17)，解此方程組并注意到初值條件，得

將(18)式分別代入(16)、(17)式，并對ξ分別求導得

考慮到(16)、(17)及(18)式，得

解齊次線性方程(21)、(22)，得

由初值條件上面兩式各確定了一個常數C1=C3=1。然而，這兩個等式中仍然各含一個常數C2，C4，為計算方便，我們可取常數分別為C2=1，C4=－1。于是得

把(23)、(24)式代入(12)式，得漸近解的首項為

方程(15)在消去長期項后變為

解非線性方程(26)，得其通解為

注意到(23)、(24)式，有

同理，

把(28)、(29)式代入(27)式，得到

注意到

于是

從而

同樣的有

另一方面，

進而得

化簡 －3u20(ξ，η)u1(ξ，η)得到

把(33)、(34)、(35)、(36)式代入(11)式，得

(37)式中NST是不會產生長期項的項，為消去長期項，令

由于

解得

于是

把(39)、(40)式代入(31)式得，從而

因此，uε(ξ，η)的兩項展開式為

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