基礎(chǔ)共能力一卷 創(chuàng)新與應用齊飛

徐剛　陳發(fā)志

隨著新課改的逐步深入，高考命題也不斷與時俱進.縱觀2015年各省市的數(shù)學高考試題，不難發(fā)現(xiàn)在命題方面有很多共同點，除了延續(xù)“總體穩(wěn)定、深化能力立意、積極改革創(chuàng)新”的命題原則，還從原來的注重雙基向優(yōu)化雙基轉(zhuǎn)變，突出對創(chuàng)新能力和數(shù)學應用的考查.

規(guī)律揭秘：2015年高考考什么

1.立足課本重基礎(chǔ)，平穩(wěn)過渡是主流

高考試題既注重考查數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法，又突出對支撐學科知識體系主干內(nèi)容的考查，做到了重點內(nèi)容重點考查.

從上述表格中不難看出，試題的設計分別取材于構(gòu)成高中數(shù)學主題框架內(nèi)容的函數(shù)與導數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、立體幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計等，不僅考查分值比例高，而且有機融合了與之相關(guān)的技能和方法.我們可以預測，2016年的高考數(shù)學仍將圍繞著這些主干知識展開命題.

例1 （2015·山東卷）一條光線從點（-2，-3）射出，經(jīng)y軸反射后與圓（x+3）2+（y-2）2=1相切，則反射光線所在直線的斜率為（ ）

A. 或 B.或

C. 或 D.或

點評：試題考查直線與圓的位置關(guān)系，取材于人教版高中數(shù)學必修2第152頁B組的第5題，一條光線從點（-2，-3）射出，經(jīng)x軸反射后與圓C：（x-3）2+（y-2）2=1相切，求反射光線所在直線的方程. 很多高考試題都“源于課本，高于課本”，在課本練習的基礎(chǔ)上經(jīng)過加工改造、組合嫁接而成，這也是很多高考選擇題和填空題的命題思路.

例2 （2015·上海卷）已知函數(shù)f（x）=ax2+ ，其中a為常數(shù).

（1）根據(jù)a的不同取值，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；

（2）若a∈（1，3），判斷函數(shù)f（x）在[1，2]上的單調(diào)性，并說明理由.

點評：試題考查函數(shù)的核心內(nèi)容“三性”中的單調(diào)性和奇偶性.函數(shù)的性質(zhì)是函數(shù)的基礎(chǔ)內(nèi)容，是高中數(shù)學最基礎(chǔ)、最典型的問題，在教材中都有很多類似的例題和習題. 這道題目根植于書本，很好地考查了考生對數(shù)學基礎(chǔ)知識的掌握程度.同時，隨著新課改的推行，導數(shù)作為工具性作用更為突出，但是數(shù)學的概念學習不會被削減，支撐起數(shù)學本質(zhì)的核心概念仍然會重點考查.

2.突出主干重能力，數(shù)學思想是核心

高考試題雖然大都以常規(guī)題出現(xiàn)，但是從不削弱對基本能力的要求.對支撐學科知識體系的主干知識重點考查，不回避熱點，同時通過多道主干知識問題的設置，淡化壓軸題，突出多題把關(guān).在突出主干知識，注重基本技能的同時，強調(diào)數(shù)學思想方法的考查，問題的設計始終以數(shù)學思想為核心，堅持能力立意，全面考查空間想象、抽象概括、數(shù)據(jù)處理、推理論證、運算求解等能力.

例3 （2015· 天津卷）已知函數(shù)f（x）= ，

函數(shù)g（x）=b-f（2-x） ，其中b∈R . 若函數(shù)y=f（x）-g（x） 恰有4個零點，則b的取值范圍是（ ）

A. （，+∞） B. （-∞，） C. （0，） D. （，2）

點評：本題可以將y=f（x）-g（x）的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象交點問題.根據(jù)圖象的性質(zhì)可知y=f（x）與y=-f（2-x）的圖象關(guān)于點（1， 0）對稱，故g（x）=b-f（2-x）為函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（1， 0）對稱后上下平移|b|個單位而得到，由此做出兩個函數(shù)圖象，并對y=-f（2-x）的圖象進行上下平移，尋求4個交點的臨界位置，進而求出b的取值范圍.

該題是典型的利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)圖象交點的問題.高考對數(shù)形結(jié)合的考查形式主要有集合及其運算問題（韋恩圖與數(shù)軸）、用函數(shù)圖象解決有關(guān)問題（如方程、不等式、函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)等）、考查運用向量解決有關(guān)問題、考查三角函數(shù)的圖象及其應用、解析幾何和立體幾何中的數(shù)形結(jié)合等，其中尤其以結(jié)合函數(shù)圖象解決性質(zhì)問題最為突出.

例4 （2015·全國新課標卷I）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是 .

點評：該題考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，將解三角形的原理推廣運用到四邊形中，要求考生打破常規(guī)思路，獨立思考，積極探究.考生對解三角形的問題很熟練，平時也練得很多，如果只是陷入題海，不能轉(zhuǎn)化與化歸，本題也無從下手.本題解決的關(guān)鍵是將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，以B，C為定點，直線BC為定直線構(gòu)造一個三角形BCD，然后根據(jù)∠A=75°構(gòu)造一條動直線AD，從運動的規(guī)律找出點A的臨界位置，從而求出AB的范圍.轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，高考對這種思想方法的考查所占比重很大，是歷年高考考查的重點.

3.創(chuàng)新問題重情境，文化滲透是亮點

數(shù)學源于生活與實踐，數(shù)學知識是解決實際問題的有力工具，各省市高考試題都注重對問題情境的設計，通過一些涉及應用背景的創(chuàng)新問題，體現(xiàn)高考命題的實用性.

例5 （2015·全國新課標卷I）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖1，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆為一個圓錐的四分之一，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（ ）

A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛

圖1

點評：試題在設置的過程中滲透了傳統(tǒng)文化，以《九章算術(shù)》這一古代數(shù)學中的問題為背景，考查了立體幾何模型的體積計算，體現(xiàn)了中國文化的博大精深和源遠流長.

例6 （2015·湖北卷）如圖2，圓C與x軸相切于點T（1，0），與y軸正半軸交于兩點A，B（B在A的上方），且|AB|=2.endprint

（1）圓C的標準方程為 .

（2）過點A任作一條直線與圓O：x2+y2=1相交于M，N兩點，下列三個結(jié)論：

① =；② -=2；

③ +=2.

其中正確結(jié)論的序號是 . （寫出所有正確結(jié)論的序號）

點評： 本題第（2）問的設計隱含阿波尼斯圓的幾何性質(zhì). 阿波尼斯圓：在平面上給定兩點A、B，設P點

在同一平面上且滿足=k（k>0，且k≠1）的點P的

軌跡是一個圓，它是由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的. 以阿波尼斯圓為背景的高考試題并非第一次在高考試題中出現(xiàn)，在教材中也有其身影，如人教版數(shù)學必修2第131頁B組第3題：已知點M與兩個定點O（0， 0），A（3， 0）的距離之

比為，利用信息技術(shù)手段，探求點M的軌跡，并求出

它的方程.

備考錦囊：2016年高考怎么考

1. 夯實基礎(chǔ)——咬定青山不放松

高考注重對主干知識的考查，因此我們備考時要針對主干內(nèi)容（如函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、解析幾何、立體幾何等）進行突破，把所學過的知識連成線、鋪成面、織成網(wǎng)，梳理出知識結(jié)構(gòu)，形成有序立體的知識網(wǎng)絡. 在構(gòu)建知識體系的過程中，可采用思維導圖等方法，結(jié)合典型例題，熟知知識的前后關(guān)聯(lián)、橫縱比較、綜合交匯，通過不斷的強化訓練，達到舉一反三的效果.

要注重通性通法的訓練，淡化技巧.在這幾年的高考試題中，這一點都得以體現(xiàn).對于解決一類問題的一般方法要重點訓練，通過題組、變式訓練等方式鞏固通性通法.對于典型問題的常見思想方法要加以概括、歸納，形成方法體系網(wǎng)絡.

2.提升能力——藝高膽大勤訓練

考生要圍繞《考試大綱》涉及的五種基本能力（空間想象、抽象概括、數(shù)據(jù)處理、推理論證、運算求解）的要求進行專項強化訓練.這五種能力的互相關(guān)系也不同，每個考生的側(cè)重點也不一樣，如運算能力是相當一部分考生需要突破的瓶頸，尤其是解析幾何綜合題的求解，總是看得到思路卻求不出結(jié)果.因此，我們要對解析幾何復雜運算過程進行訓練，通過分步運算，一個階段給出運算目標，通過不斷的目標調(diào)整提高運算能力.

3.實現(xiàn)創(chuàng)新——功夫還是在書外

創(chuàng)新問題的設計情境新穎，注重問題求解的多樣性和思維的發(fā)散性.因此創(chuàng)新問題的訓練應該在書外，考生要注重多個章節(jié)知識和內(nèi)容的遷移交匯，通過各章節(jié)知識點的有機融合，在解題過程中看清知識發(fā)生的本源，看透知識的形成、推廣和應用過程.

小編寄語：高考試題是“年年歲歲題相似”，卻總是“歲歲年年意不同”，有延續(xù)、有傳承，更有創(chuàng)新、有突破.只要肯鉆研、肯學習、肯下苦功夫，高考的成功一定屬于我們.endprint