基于稀疏矩陣和相關函數聯合優化的MIMO-OFDM線性調頻波形復用設計與實現方法

王文欽程勝娟 邵懷宗

(電子科技大學通信與信息工程學院 成都 611731)

1 引言

近年來，多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)合成孔徑雷達(Synthetic Aperture Radar,SAR)由于其可提高系統的性能而受到廣泛關注[1－8]。MIMO SAR采用多個天線發射相互正交的信號，并可在接收端用一組匹配濾波器來獲得更多的信號自由度和更高的空間分辨率。目前已有很多關于MIMO雷達的研究文獻[9]，但MIMO SAR的文獻相對較少[10－12]。MIMO SAR與一般MIMO雷達的不同之處在于前者采用運動平臺和合成孔徑接收處理技術，而后者往往采用靜止平臺，而且也不使用合成孔徑處理技術。

實際上，正交波形設計是MIMO SAR工程實用化的關鍵技術問題。文獻[13]提出了Costas序列在雷達信號中的應用，Costas序列雖然有良好的距離-多普勒性能，但每個碼片只包含一個頻率。雖然巴克碼是一種良好的正交碼，但巴克碼往往只用于單載頻系統，所以其頻譜利用率很低。針對這個問題，文獻[14-20]利用模擬退火算法對正交多相碼波形和正交離散頻率編碼波形作了優化設計，但其設計的正交波形對多普勒頻率很敏感。文獻[21]用正交矩陣設計的方法對多普勒問題作了處理，但是當波形長度和波形個數增加時，該方法就難以勝任。文獻[22]研究了基于協方差矩陣的MIMO雷達波形設計方法，文獻[23-25]研究了針對擴展目標檢測的MIMO雷達波形設計方法，文獻[26]從信息論方面對MIMO雷達波形作了定量分析，文獻[27,28]對MIMO雷達的波形優化和波形綜合作了研究。這些文獻大多預先對點目標的響應函數特性作假定，并基于此研究波形優化設計算法，但MIMO SAR應用中往往沒有目標的先驗信息可以利用。需要說明的是，MIMO雷達也可以采用非正交波形集來實現任意的方向圖，但需要選擇合適的信號互相關矩陣和互譜密度矩陣來逼近所需要實現的發射方向圖，所以本文只討論正交或近似正交波形。

另一方面，SAR一般裝載在飛機或衛星上，所以需要足夠大的平均發射信號功率，才能使最終的SAR圖像具有足夠高的信噪比指標。因此，MIMO SAR波形應該具有足夠大的時間-帶寬積值，以便既能實現高分辨率成像，又不需要太大的峰值發射功率。當然，MIMO SAR波形還應具有良好的模糊函數特性(包括距離向和多普勒分辨特性)、較強的鄰帶干擾抑制性能和較低的匹配濾波旁瓣。由于這些苛刻要求，目前可用于MIMO SAR的波形設計方法很少，非常有必要進一步研究具有大時間-帶寬積且可實用化的MIMO SAR波形復用設計方法。

目前最具實用性的MIMO SAR波形是正負線性調頻信號[29]，但只能設計兩個正交信號。從實用角度出發，我們認為MIMO SAR波形復用設計應該基于經典的線性調頻(chirp)波形。由于正交頻分復用(OrthogonalFrequencyDivision Multiplexing,OFDM)信號對多徑衰落具有穩健性，我們曾基于傳統的OFDM信號[30]設計一種OFDM chirp波形。這種方法可以產生多個具有大時間-帶寬積的正交波形，但其峰-均比性能較差。文獻[29]提出一種基于快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)的新穎OFDM chirp波形復用設計方法，但這種方法只能設計兩個正交性較好的波形，否則將產生嚴重的柵瓣效應。

為了產生多個具有大時間-帶寬積的低峰-均比MIMO SAR波形信號，本文聯合優化稀疏矩陣和相關函數來設計MIMO SAR OFDM chirp波形信號。我們首先將MIMO SAR波形設計轉化為跳頻編碼矩陣與跳頻幅度矩陣的聯合合計，并提出以最小化稀疏矩陣塊相關系數及信號互相關峰值和為約束條件，采用迭代搜索法求解最佳編碼矩陣。然后，以最小化信號自相關旁瓣峰值與互相關峰值之和為約束條件，采用遺傳算法優化設計幅度矩陣。最后，我們再采用組合優化搜索法設計最佳MIMO SAR波形信號。

本文的結構安排如下：第1節建立MIMOOFDM SAR的回波信號模型，第2節采用稀疏模型和互相關函數推導出最佳跳頻編碼矩陣的約束條件，并利用迭代搜索法設計最佳跳頻編碼矩陣。第3節以最小化波形自相關函數旁瓣峰值和互相關峰值為準則，提出基于遺傳算法的最佳幅度矩陣設計方法?？紤]到第3節和第4節是分別單獨優化設計跳頻編碼矩陣和幅度矩陣，第5節提出一種組合優化算法來進一步提高設計波形的相關函數特性。最后，第6節對我們所設計的MIMO SAR波形性能做了仿真分析。第7節總結全文，并簡要介紹后續工作。

2 MIMO-OFDM SAR信號模型

假設有M個發射陣元，第m個發射天線的OFDM chirp基帶信號可以表示為：

式中，u(t)為門函數，u(t)=1,0 ＜t ＜Δt,Δt 為OFDM子脈沖持續時間，Q為跳頻次數即每個發射信號所需要選擇的子chirp信號數目，kr為調頻斜率，Δf為最小子脈沖頻率間隔，bm,q和cm,q分別為子脈沖幅度和載頻跳變索引，即cm,qΔf確定第m個波形第q個子脈沖的初始頻率。由于我們使用的子脈沖為chirp信號，Δf的選擇可以根據抑制chirp信號之間的互相關來確定。

兩個子chirp信號在時間Δt內的互相關為：

式中“*”為共軛。為了保證兩子脈沖信號在時域是正交的，即sincπ(cm,q?cm′,q′)ΔfΔt=0,Δf應為Δf =k/Δt，其中k為任意正整數。

因此，每個天線的發射信號 sm(t)的設計可轉化為選擇最佳的bm,q和cm,q。假設每個cm,q的值選自參數集0,1,…,G?1，其中G為一個正整數，表示可供選擇的跳頻指數總數目。為了保證信號的正交性，cm,q應滿足

將所有的bm,q和cm,q分別組成M×Q的幅度矩陣B和跳頻編碼矩陣C。

每個接收天線收到的信號是所有發射信號經目標反射回來的線性組合，考慮一個目標，則第n個接收天線收到的信號可表示為：

式中，τ和ν分別代表時延和多普勒頻移，en(t)為第n個接收天線的加性噪聲，αm,q為目標散射系數，γ=dt/ dr(dt和dr分別為發射和接收天線間隔)，d=drsin θ/ λ(λ 為載波波長)。

3 最佳跳頻編碼矩陣設計

3.1 塊稀疏模型

對于R個目標，需要估計的未知參數包括衰減、時延和多普勒頻移等。將時延-多普勒頻移空間離散化為V的相同的空間網格點，V個網格點中只有R個是有目標的。 τv,νv分別代表第v個網格點的時延和多普勒頻移。對于每一個網格點 v ∈{1,2,…,V}，定義[31]：

其中[?]T表示轉置。

最后，將對應于所有網格點的向量a(v)和x(v)整理在一起，得到一個VMTQ維的塊系數矩陣：

這些稀疏向量僅包含了R個非零塊，每一個對應于一個不同的目標。此外，每個塊包含了MTQ個項，x中有(V?R) MTQ 項是零值。將所有的測量項和每個接收器加性噪聲的采樣值整合在一起，可以得到式(11)，式(12)的向量：

此外，若將所有接收器加性噪聲的采樣值和測量項聯合在一起，可以得到：

最后，可以得到測量模型簡化為：

這個模型是大部分稀疏模型應用中所采用的線性模型。對于所有目標，其衰減、延時和多普勒的估計簡化為從測量矢量y中恢復稀疏矢量x的非零項。字典矩陣Φ列之間的相關性決定了稀疏恢復算法的準確性。更具體地來說，當稀疏矢量中的非零項出現在塊中，影響系統性能最主要的因素是塊相關性的測量。這個概念是塊稀疏信號中注明的相關測量的推廣，它可以導出保證稀疏恢復性能足夠的條件。Φ(v)和Φ(v′)分別代表傳感矩陣集Φ里面的任意兩個不完全相同的子集，每個子集含有MTQ列，其中每一列對應于一個不同的發射陣元和跳頻間隔。因為對應于不同跳頻間隔的列是不相互重疊的，且所有的發射端的信號是正交的，因此，在塊中每個子集中的每一列是正交的。

如果Φ(v)的任意一列和Φ(v′)對應的列完全相同，因為當比較兩個塊時，其對稀疏恢復問題沒有幫助，故可以將其移除。定義：

式中，dv,v′是Ψ(v)中列與對應的 Ψ(v′)中列完全相同的數目。定義每一對塊矩陣的相關矩陣為：

矩陣的每項包含了所選擇塊中不同列的自相關。使用這些符號，可以定義基本矩陣的塊相關系數[31]：

式中，λmax(?)為最大特征值。

塊相關測量為保證稀疏恢復的正確性提供了足夠的支撐。因此，最小化塊相關系數從理論上可以保證更高稀疏度的稀疏矩陣恢復。為此，本文利用稀疏塊模型來設計OFDM chirp波形的跳頻編碼矩陣。由于為定值，對優化目標沒有影響，故定義

式中，ξmqm′q′是當 cm,q=cm′,q′時，C中第q列中有相同值元素的個數，有為1，否則為0。β(C)代表C中同一元素在一行中出現的最大次數。為了提高稀疏矩陣恢復性能，需要最小化塊系數值，即

3.2 波形互相關干擾抑制

除了考慮到設計的波形要有利于稀疏恢復，我們還考慮抑制波形之間的相互干擾。波形之間的相互干擾對MIMO SAR的影響可以利用相關函數來評估。任意兩個發射信號的相關函數定義為：

當sm=sm′時,Rc(sm,sm′,τ)為自相關函數Ra(sm,τ)?？梢?，為了降低發射信號 sm(t)之間的互相關，跳頻編碼矩陣C每兩行中相同的cm,q越少越好。為了提高互相關性能，C的選擇需滿足式(22)：

式中，Rep為跳頻編碼矩陣C中相同cm,q出現的次數。結合式(8)，跳頻編碼矩陣的選擇需要同時滿足式(23)：

3.3 最佳跳頻編碼矩陣Copt的求解算法

Copt的求解是一個組合的雙重優化問題，不容易直接求解，而且解不唯一。為此，我們采用一種迭代搜索方法來求解。由于兩個目標函數都是正整數，我們將理想目標函數的初始值設定為1，然后搜索滿足條件的Copt。如果搜索不到，則增加目標函數值繼續搜索。如果同時優化兩個目標函數比較復雜，我們將優化問題分解為：先最小化β(C)，再最小化最大Rep，如圖1所示。

圖1 最佳跳頻編碼矩陣設計算法流程圖Fig.1 Flowchart of code selection algorithm

4 最佳幅度矩陣設計

理想的正交波形集具有兩個特征：一是每個波形具有類似沖激函數的自相關函數；二是任意兩個不同波形的互相關函數為零。顯然，理想正交波形集不能實現，為此我們以最小化波形自相關函數旁瓣峰值比和互相關峰值的總和為準則來建立幅度矩陣B的目標函數

式中，w1和w2為目標函數的加權系數。式(24)為非線性多變量NP問題，可歸納為組合優化問題。即以幅度集合中的幅度值組合出滿足要求的幅度矩陣B，這可采用遺傳算法來求解：

(1)編碼，并產生隨機初始種群，種群規模為M。

(2)根據目標函數計算適應度。

(3)選擇：根據適應度函數，采用輪盤賭進行選擇操作，以大概率保留優良個體。

(4)交叉：交叉操作是遺傳算法中最重要的操作，這里采用單點交叉。

(5)變異：以某個較小概率改變種群中個體的某些基因，從而為新個體的產生提供機會。

(6)遷移：將種群分為若干個子種群，每個子種群獨立進化，當達到一定遺傳代數時以一定概率在子種群間進行個體遷移。

(7)當達到預設最大遺傳代數時終止算法。

5 跳頻編碼矩陣和幅度矩陣聯合優化

前兩節中分別給出了跳頻編碼矩陣和幅度矩陣的求解算法，值得注意的是在第3節中只提出了迭代搜索方法來求解編碼矩陣C，第4節中幅度矩陣B的求解是基于編碼矩陣C已是最佳的假設下進行的，此最佳矩陣由第3節給出的算法求出。此時的幅度矩陣B是某個編碼矩陣C下的最佳，但不是全局最優。為了進一步求得全局最優的編碼矩陣C和幅度矩陣B，本節進一步對跳頻編碼矩陣和幅度矩陣進行聯合優化設計。在此優化過程中，編碼矩陣C和幅度矩陣B都是變化的，直到在最大迭代次數的限制下，找到最優配對的編碼矩陣和幅度矩陣。同樣以最小化波形自相關函數旁瓣峰值和互相關峰值的總和為準則

這里我們采用迭代隨機搜索算法來求解，其算法流程如圖2所示。

圖2 跳頻編碼矩陣和幅度矩陣聯合優化算法流程圖Fig.2 Flowchart of code and amplitude associated selection algorithm

6 仿真結果分析

6.1 設計實例

假設M=4,Q=4，載頻跳變索引cm,q可選擇范圍控制數G=4，即cm,q的值選自參數集{0,1,…,7}。根據本文前面介紹的方法，我們求得最佳跳頻編碼矩陣為：

圖3比較了隨機跳頻編碼矩陣和最佳跳頻編碼矩陣兩種設計方法在β(C)和Rep方面的差別，這里采用的蒙特卡洛仿真次數為1000次?？梢姡罴烟l編碼矩陣有更小的β(C)和更大的Rep。更小的β(C)意味著可以獲得更好的稀疏矩陣恢復性能，而更小的Rep則說明波形具有更小的互相關干擾。

6.2 波形自相關、互相關、互模糊、綜合積分旁瓣性能分析

本文共討論了4種MIMO SAR波形設計方案，分別是：(1)隨機選擇C和固定子脈沖幅度為1；(2)采用最佳跳頻編碼矩陣Copt和固定子脈沖幅度為1；(3)采用最佳跳頻編碼矩陣Copt和最佳幅度矩陣Bopt；(4)同時聯合優化跳頻編碼矩陣和幅度矩陣，即{Bopt,Copt}。下面我們仿真比較這4種設計方案的性能差別。

圖3 隨機跳頻編碼矩陣和最佳跳頻編碼矩陣的β(C)和Rep比較Fig.3 Comparison ofβ(C)and Rep between optimal and random code series

針對相同的波形設計參數，即M=4,Q=4,G=4，為了獲得較大的時間-帶寬積，假設OFDM chirp波形總帶寬400MHz，總脈寬8 μ s，同時設定采樣率為800MHz。那么對于每一個子chirp信號而言，其帶寬為Δf=50MHz，脈寬為Δt=1 μs。

圖4 4種OFDM chirp波形設計方案的相關特性比較Fig.4 Correlation comparison among different design schemes

圖4比較了分別采用4種方案設計波形的自相關和互相關特性。為了便于比較，所有幅度值均以自相關峰值為準則作了歸一化處理?？梢?，方案1中信號的相關性最差，互相關旁瓣的個數很多，且接近于自相關峰值；方案2中信號的性能有所改善，但信號整體之間的干擾還是很大；方案3種信號性能優于前兩個方案，但是有個別信號之間的互相關性不佳；方案4的相關性最好，互相關干擾得到了最有效的抑制。其中a1,a2,a3,a4分別代表第1,2,3,4路信號。

6.3 波形互模糊、綜合積分旁瓣性能分析

為了進一步展示設計波形的互模糊、綜合積分旁瓣性能，在本節中將對比6.2節中所提到的4種方案下波形的互模糊峰值及綜合積分旁瓣值。仿真參數設置與6.2節一樣。表1給出了4種方案對應的互模糊函數峰值的對比圖，為了便于比較，其中所有的互模糊函數幅度值都以自模糊函數峰值歸一化。對照數據可以得到以下結論：

(1)對于方案1，此時雖然編碼矩陣C是隨機選取的，但是4路波形的互模糊峰值還是可以接受的。但弱于方案2、方案3、方案4。

(2)相對于未進行幅度加權的方案而言，最佳幅度加權后，每兩路波形的互模糊峰值都有一個數量級的降低，此結論同時適用于4路波形的模糊函數峰值之和。

(3)4種方案設計的信號互模糊函數峰值與自模糊函數峰值都較低，方案4的模糊性能最好。

對于實際MIMO SAR系統，接收回波中即使只存在一個高旁瓣，仍然將出現虛假目標，因此應最小化綜合積分旁瓣值(ISLR)。積分旁瓣比定義為相關函數分布在整個時間域的所有旁瓣的積分能量與主瓣內的積分能量之比。對于綜合積分旁瓣比，應該為自相關旁瓣能量和所有互相關能量的和。綜合積分旁瓣比的定義為：

表1 4種方案的互模糊峰值對比Tab.1 Comparative maximum cross-ambiguity for four schemes

分析表2中的數據可知，當采用方案2即采用最佳跳頻編碼矩陣Copt和固定子脈沖幅度為1，波形的綜合積分旁瓣值最小。但當幅度優化后，綜合積分旁瓣值變大，說明幅度優化后會降低綜合積分旁瓣性能。但是方案4的性能還是優于方案3的，說明優化幅度時，聯合優化的效果更好。

6.4 跳頻間隔數Q對波形性能的影響分析

不難理解，當G一定時，隨著Q的增大，最小的Rep會隨之增大。以方案2為例，采用與前面相同的仿真參數，圖5給出了Q對波形信號互相關性能的影響情況。當Q=1,2時，其互相關性能較好；但當 Q=3,4時，其性能開始下降。尤其當Q=4時，其互相關性能很差，互相關峰值超過自相關旁瓣，而且出現多個柵瓣。這是因為，隨著Q的增大，每個子chirp信號被選中的次數會增大，所以其互相關性能會下降。進一步分析表明，當G=QM時，互相關性能不會惡化，但當G＜QM時，其互相關性能開始惡化，并隨著QM?G值的增大而變差。

表2 4種方案下綜合積分旁瓣值對比Tab.2 Comparative ISLR for four schemes

圖5 跳頻間隔數Q對波形信號互相關的影響結果Fig.5 Correlation comparison among different Q with the second scheme

7 結束語

本文提出一種基于聯合優化稀疏矩陣和相關函數的MIMO SAR OFDM chirp波形設計方法。該方法首先將MIMO SAR波形設計轉化為優化跳頻編碼矩陣與跳頻幅度矩陣，并提出以最小化稀疏矩陣塊相關系數及信號互相關峰值和為約束條件，采用迭代搜索法求解最佳編碼矩陣；并以最小化信號自相關旁瓣峰值與互相關峰值之和為約束條件，采用遺傳算法確定最佳幅度矩陣；最后采用組合優化搜索法設計出最佳信號。通過對比不同設計方案產生波形信號的互相關特性，證實了本文方法是有效可行的。本文分析了當總子chirp數目一定時，總跳頻數目對波形信號性能的影響，并進一步得出它們之間的制約關系式。本文方法的主要缺點最佳編碼矩陣C和最佳幅度矩陣B的求解過程分別采用無窮迭代搜索法和遺傳算法，因而算法復雜度較大，下一步擬研究其算法的簡化問題。

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