隨機共振現象與微弱信號接收

石盛超，李廣俠，李志強，朱文明，張衛同

（解放軍理工大學通信工程學院天基信息教研中心，南京 210007）

隨機共振現象與微弱信號接收

石盛超，李廣俠，李志強，朱文明，張衛同

（解放軍理工大學通信工程學院天基信息教研中心，南京 210007）

本文從隨機共振（Stochastic Resonance）可增強信號信噪比的現象出發，介紹了隨機共振非線性雙穩勢阱模型和參數調節隨機共振理論。在此基礎上，分析了隨機共振現象在微弱信號接收中兩種可能的應用途徑，通過仿真驗證了應用的可行性。最后，分析提出了將隨機共振理論應用于弱信號接收需要突破的三大關鍵技術，即：大參數信號變尺度與還原技術、參數自適應調節技術和調制信號隨機共振技術，還提出了初步解決的思路。為拓寬隨機共振現象的應用領域和探究解決低信噪比條件下的信號接收提供新的方法和途徑。

隨機共振；微弱信號接收；低載噪比；參數調節

1　引言

意大利學者R.Benzi在研究古氣象冰川演化問題時發現：在過去的70萬年中，地球的冰川期和暖氣候期大概以10萬年為周期交替出現。對這一時期地球氣候的研究結果表明，地球繞太陽轉動偏心率的變化周期大約為10萬年，這意味著太陽對地球施加了周期信號。然而，這一周期信號本身很小，不足以使地球氣候產生從冰川期到暖氣候期的大幅度變化。為此，1981年R.Benzi［1］-［3］等人首次提出了隨機共振的概念，對這種現象進行了很好的解釋，他們認為這一周期信號與地球本身能夠產生冷態和暖態的非線性條件，以及地球所受到的隨機力（如太陽的各種無規則變化）三者之間達到了協同，通過隨機共振引起了地球古氣象的大幅度變動。

隨機共振理論一經提出，不僅得到了物理、化學、生物醫學、控制、通信和傳感等自然科學界的關注，甚至被用于解決經濟和社會科學界面臨的一些關鍵問題，成為近三十年來持續的研究熱點。

隨機共振理論［4］-［7］指出，當淹沒在強噪聲背景中的微弱信號通過一個非線性系統時，當非線性系統、信號和噪聲達到匹配時，噪聲的能量會增強信號，使得處理后的信號信噪比增加。這為豐富信號檢測方法提供了新的思路。與傳統經典的消除或者抑制噪聲的處理方法不同，一般的隨機共振用于弱信號檢測的方法［8］-［13］是：設計基于隨機共振的非線性檢測器，通過調整系統參數或改變進入檢測器的噪聲，使得非線性系統、信號和噪聲達到隨機共振狀態，以隨機共振輸出信號為依據，可以實現微弱信號檢測的目的。

2　隨機共振理論

隨機共振現象發生的三個基本要素是非線性系統、輸入信號和噪聲。考慮最簡單的非線性雙穩態系統，它可以由朗之萬（langevin）微分方程［8］-［13］描述，如式（1）所示：

式中，x（t）為隨機共振系統輸出信號；s（t）為輸入信號；a和b為正值的系統參數；n（t）為加性高斯白噪聲，且滿足E［n（t）］=0，D［n（t）］=σ2。

定義V（x）為雙穩態系統的勢函數，當不存在周期信號s（t）時，其表達式為：

，一個勢壘點xb=0，如圖1所示。但是當系統輸入周期信號時，勢函數會隨著周期信號的變化而發生變化，如圖2所示。

從力學角度出發，式（1）可用一個布朗粒子在雙穩態勢阱中的運動來形象地解釋。當周期信號不存在時，勢函數左右對稱，噪聲驅動粒子在其中一個勢阱內隨機波動，或者能夠躍過勢壘以克萊默斯（Kramers）速率在兩個勢阱之間來回穿梭。當加入周期信號后，勢函數的變化導致勢阱具有了非對稱性，粒子從高勢阱躍遷到低勢阱的概率變大。在適量噪聲能量的幫助下，當粒子來回躍遷周期與信號周期一致時，就出現了噪聲、微弱信號和粒子運動協同的現象，這就是隨機共振。

圖1　雙穩系統勢函數圖

圖2　雙穩系統勢函數變化圖

在研究的早期階段，噪聲調節隨機共振得到了較多關注，即通過改變噪聲強度來實現非線性系統的隨機共振。而在實際應用中，噪聲調節隨機共振方法可操作性較差，并且當噪聲的強度已經超過發生隨機共振的閾值條件時，進一步增加噪聲強度只會使系統性能惡化，而減小噪聲強度在實際應用中又難以實現。這樣，通過調節參數來實現隨機共振的理論［14］應運而生。

Xu［14］等于2002年提出了參數調節隨機共振理論。簡單地說，參數調節隨機共振就是對于確定的輸入信號和加性噪聲，通過調節非線性系統的參數，逐步改變最小勢高的值，促使發生隨機共振。Duan等［14］的研究證明，增加噪聲產生的隨機共振現象和通過參數調節隨機共振的現象具有一致性，調節參數相應地調節噪聲的大小。

仍然考察雙穩態系統，對系統作如式（3）變換

則方程（1）變為

式（4）所示的雙穩態系統的勢函數為：

勢壘的高度為

式（6）說明，增大噪聲強度σ和增大系統參數b均可降低系統勢壘的高度，二者具有相同的調節效果。參數調節可以更靈活地改變最小勢高，進而加速粒子實現成功躍遷的概率，隨機共振現象就得以發生。參數調節隨機共振既可以加強非線性系統的作用，又可以減弱非線性系統的作用。

3　兩種基于隨機共振的微弱信號接收方法

強噪聲背景下微弱信號的接收一直是通信中亟需解決的問題。常規的微弱信號檢測方法主要是基于時域和頻域兩種，有時域的相關方法、取樣積分方法和頻域的譜分析方法等。然而，這些方法都有一定的局限性，主要表現在所能檢測到的微弱信號的信噪比門限值較高。因此，人們一直在尋找新的微弱信號接收方法以彌補傳統方法的不足。隨機共振現象中噪聲增強信號的特性給研究人員提供了新的微弱信號接收的思路，對于噪聲由傳統的抑制噪聲變為隨機共振處理中利用噪聲。將噪聲N（t）和信號S（t）同時通入非線性處理器，調節系統參數使非線性系統、信號和噪聲產生隨機共振，繼而從系統輸出信號y（t）中提取信號。

基于現有的相關研究工作［10］［20］，將隨機共振理論應用于微弱信號接收有兩種基本的方法和途徑：單頻微弱信號隨機共振接收；基帶微弱信號隨機共振接收。兩種方法分別描述如下：

根據單頻信號的頻譜特點，在對單頻信號進行接收中，往往對隨機共振系統的輸出信號 進行頻譜分析，并以此來恢復單頻信號得到 。具體原理框圖如圖3所示。

圖3　基于隨機共振的單頻信號接收原理框圖

將噪聲N（t）和信號S（t）同時通入隨機共振模塊，通過調節系統參數a和b使系統達到隨機共振，然后對隨機共振模塊的輸出信號進行頻譜分析得到單頻微弱信號的頻率特性進而恢復單頻信號，隨機共振模塊的原理框圖如圖4。圖中，（A）子模塊是加法器，能夠對輸入信號及輸出信號的反饋疊加；（B）子模塊是積分器，起到對疊加信號的積分作用；（C）子模塊是一個運算器，對輸出信號進行立方運算并且取反；（D）（E）子模塊均是倍乘器。可見，輸入信號與輸出信號的a次倍以及輸出信號取反后立方值的b次倍共同經過積分，最終得到經隨機共振作用的輸出信號。這與朗之萬方程是吻合的。

圖4　參數調節隨機共振模塊原理框圖

為了驗證方法的有效性，本文選取頻率f=20Hz的單頻信號，在信噪比SNR=-18dB條件下進行了仿真，時域仿真結果如圖5。

圖5　單頻信號隨機共振處理時域效果圖

仿真結果顯示，通過隨機共振處理之后的加噪單頻信號，部分噪聲能量轉化為信號能量，淹沒在強噪聲下的信號特征恢復效果明顯。

（2）基帶微弱信號隨機共振接收

早期隨機共振處理的信號僅僅局限于周期信號，20世紀90年代初，Collins［19］提出了非周期隨機共振的理論，對描述系統特性的朗之萬方程進行了修改如式（7），取得了很好的效果。

非周期隨機共振理論的提出使得隨機共振與信息理論結合起來，人們將隨機共振用于強噪聲背景的微弱基帶信號接收，取得了很好的效果，基本原理框圖如圖6。

印度消費的石油有多達80%為進口石油，這使得它面對價格波動時比其他進口國更加脆弱。最近幾個月，由于盧比貶值導致石油進口價格膨脹，更加劇了其脆弱性。八月，印度政府估算，如果石油價格居高不下，2018/2019財年的進口石油支出將上升至高達260億美元。

圖6　基于隨機共振的基帶信號接收原理圖

將噪聲N（t）和信號S（t）同時通入非周期隨機共振模塊，通過調節系統參數A使系統達到隨機共振，然后對隨機共振輸出信號進行積分判決恢復信息序列。為了適應非周期信號特性，對隨機共振模塊進行了相應的修改，具體結構如圖7，取消了立方取反模塊之后的倍乘器，在輸入端增加（D）相乘取反模塊，這與修改后的朗之萬方程相對應。

圖7　非周期隨機共振模塊原理框圖

圖8　基于隨機共振的PAM信號接收

本文對比特率r=1000b/s，噪聲方差σ2=16的PAM信號進行了仿真，具體結果如圖8。仿真結果表明經過隨機共振處理之后PAM信號得到了很好的恢復。

4　需突破的關鍵技術與初步思路

雖然隨機共振現象應用于微弱信號檢測可取得優于傳統微弱信號檢測的效果，但是發生隨機共振現象有著苛刻的前提條件：信號必須是慢變信號并且振幅不能過大。因此，為了將隨機共振理論應用于實際通信、導航或其他信息傳輸系統，必須突破以下三個關鍵技術：為了突破傳統隨機共振小參數條件的限制，必須研究新的變尺度隨機共振算法；為了應對信號未知且多變的實際情況，實現對信號的快速捕獲與連續跟蹤，必須研究適用于信號傳輸的自適應隨機共振算法；針對通信系統中常用的調制方式（如PSK，FSK，MSK等），必須研究相應的調制信號隨機共振處理方法。

（1）大參數信號變尺度隨機共振算法

針對通信信號是大參數的特點，研究將大參數信號變換到小參數信號從而觸發隨機共振的變尺度算法。在研究二次采樣算法［17］［18］的基礎上，提出一種基于互質欠采樣的變尺度隨機共振算法，使該算法適用于通信系統隨機共振傳輸系統。

對加噪信號進行采樣，采樣頻率為：

采用互質欠采樣的方式對第一次采樣得到的序列進行欠采樣，欠采樣頻率為：

N，M互質，且滿足：

采用互質欠采樣得到的類小信號頻率為：

選擇合適的采樣系數N和M，可以使類小參數信號滿足隨機共振條件。對小參數信號進行隨機共振處理得到頻率信息后，即可再按公式還原大參數信號。

（2）參數自適應隨機共振技術

針對通信中信號和噪聲的不確定性問題，研究提出新的自適應隨機共振算法。根據隨機共振的輸出，以輸出信噪比、波形與原始波形相關性、互信息量等為性能準則，自適應地調節系統參數。在可實現計算復雜度的基礎上，能夠完成信號的快速捕獲和動態跟蹤，滿足通信系統信息可靠傳輸的需求。

針對已有的自適應隨機共振算法冗余度高、計算量大等問題，擬在隨機共振處理前增加自適應預調節模塊，根據對噪聲強度和信號頻率的初步估計調整系統參數，在隨機共振處理后的自適應再調節模塊根據輸出的信號進行再調節，最終實現隨機共振。具體結構如圖9所示。

圖9　雙自適應參數調節隨機共振示意圖

（3）通信系統調制信號隨機共振算法

針對通信系統中典型的調制方式（PSK，FSK，MSK等），研究與隨機共振結合進行信息傳輸的可行性，分析可獲得的性能增益，通過比較，得出適合于通信系統調制信號隨機共振的調制方式。

寬帶調制信號信息速率高，頻譜帶寬較寬，這使得隨機共振的增強作用并不明顯。據此，在發端加入弱導頻或殘留載波輔助，在接收端對導頻信號或殘留載波進行隨機共振處理，以此進行載波恢復，用于調制信號解調，具體結構如圖10所示。

圖10　有輔助導頻PSK調制信號隨機共振

窄帶調制信號瞬時頻譜為窄帶，可直接對窄帶調制信號進行隨機共振處理，具體結構如圖11所示。

圖11　無輔助導頻FSK調制信號隨機共振

5　總結與展望

隨機共振理論在非線性信號處理中發揮著重要的作用。通過建立參數調節雙穩隨機共振模型，文章對現有的基于隨機共振的微弱信號接收的兩種常見途徑分別進行了計算機仿真，仿真結果表明了基于隨機共振的微弱信號接收方法的有效性和在此應用領域的巨大應用前景。

經典隨機共振理論只能夠適用于慢變弱信號，這大大限制了隨機共振的應用范圍。為此，本文針對提出的需要突破大參數信號變尺度隨機共振、參數自適應隨機共振和調制信號隨機共振三大關鍵技術，在現有研究成果的基礎上，分別提出了初步的解決方案，為下一步問題的解決提供了參考。

隨機共振理論和關鍵技術的不斷完善勢必將大大拓寬隨機共振應用范圍，為探究解決低信噪比條件下的信號處理提供新的思路和途徑。

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Stochastic Resonance Phenomenon and Weak Signal Receiving

Shi Shengchao， Li Guangxia， Li Zhiqiang， Zhu Wenming， Zhang Weitong
（College of Communications Engineering PLA University of Science and Technology， Nanjing， 210007）

On the basis of the phenomenon that Stochastic Resonance （SR） can enhance the signal noise ratio （SNR）， the Stochastic Resonance nonlinear Bistable-well model and parameter-induced Stochastic Resonance theory are introduced in this paper. Moreover， two weak signal receiving methods based on Stochastic Resonance are analyzed and simulation results are given. In addition， three key techniques including the scale-transforming SR algorithm， the adaptive parameter-adjusting SR algorithm and the SR algorithm for modulated signal are proposed. The elementary solving ideas are also put forward. The related researches will broaden the application area of Stochastic Resonance and provide novel ways for weak signal receiving under very low signal noise ratio circumstance.

stochastic resonance； weak signal receiving ； low carrier to noise ratio （CNR） ； parameter-induced

10.3969/j.issn.1672-7274.2015.03.003

TN75，TN85

A

1672-7274（2015）03-0013-06

國家自然科學基金資助項目（61032004，91338201）；國家高技術研究發展計劃（“863”計劃）資助項目（2012AA121605，2012AA01A 503，2012AA01A510）。