新五維混沌系統及電路實現

梁欣濤++高華強++康守強++朱建良++王玉靜++鄭勢

摘要：構建了新的五維混沌系統，進行離散混沌模型的仿真，給出了系統的混沌吸引子相圖，對該系統的耗散性、吸引子的存在性、平衡點的穩定性、Lyapunov指數及維數、功率譜、Poincare截面圖、Lyapunov指數譜、分岔圖特性進行分析，結果表明該系統具有混沌特性，有復雜的動力學行為，且該行為對系統參數具有敏感性.為了使混沌得到更廣泛應用，采用數字電路實現該系統，對離散化的五維混沌系統進行Modesim仿真，將VHDL程序配置到FPGA中，并利用數模轉換模塊在示波器上觀測到了該系統的混沌吸引子相圖.數字電路實驗結果與離散模型仿真分析是一致的，進一步從物理實現上說明了系統的混沌特性.

關鍵詞：混沌系統；分岔圖；Lyapunov指數；電路實現

DOI： 10.15938/j.jhust.2015.03.020

中圖分類號：TN911.73

文獻標志碼：A

文章編號：1007-2683（2015）03-0101-05

0 引 言

構造全新的混沌系統或改進型混沌系統，在此基礎上，對其混沌特性及其應用進行分析研究，這是目前國內外研究混沌的一個熱點課題.混沌系統主要有離散混沌系統和連續系統兩大類.離散混沌系統典型的有一維拋物映射（Logistic映射）和二維的Henon映射.連續混沌系統較多，典型的有廣義Lorenz系統族、Rossler系統、Chua系統、Sprott系統、Chen系統、Lu系統、Liu系統、Qi系統等.近年來，為了構建新的復雜的混沌系統，學者們利用各種方式來構建新的高維混沌系統.對新混沌系統的構建與分析進一步豐富和完善了混沌理論，為混沌應用提供了一些新的技術手段，從而促進了混沌在自然科學、電子、通信以及其他工程應用領域的發展.具體的應用比如：研制混沌信號發生器、高容量動態信息存儲器、信息加密、保密通信、信號檢測與處理等.在某些應用中，混沌系統如果采用模擬器件實現，由于元器件參數的離散性等因素，使應用系統的實現很困難，解決該問題的有效途徑是基于連續混沌系統離散化和數字化處理技術來實現混沌序列及算法，進而利用先進數字處理器件與技術來實現.該方法為混沌的應用，尤其是在混沌保密通信領域中的應用提供了強大的技術支持.

本文構造了一個新五維二次的混沌系統.該系統每個方程中各含有一個二次的非線性交叉乘積項，所需乘法器數量少，實現簡單.對新五維混沌系統進行數值模擬，對系統的耗散性、吸引子的存在性、平衡點的穩定性、Lyapunov指數及維數、功率譜、Poincare截面圖動力學特性進行研究，根據分岔圖和Lyapunov指數譜詳細分析了混沌行為的系統參數敏感性，其中部分參數在很大范圍內呈現混沌.最后，利用FPGA實現了新五維混沌系統的硬件電路，在示波器上觀察到混沌吸引子相圖，證實了該系統的可實現性.

1 新的五維混沌系統

本文提出的新五維混沌系統的數學模型為：其中， 為常數，當

時，系統存在典型的部分混沌吸引子，如圖l所示.

由圖1可以看出，提出的五維混沌系統所產生的混沌吸引子相圖清晰、飽滿.由于該混沌系統對初值極為敏感，它表現為局部不穩定，而從相圖的形成過程可看出系統又是從暫態向漸進穩態運動，尋求穩態，系統的運動軌跡靠近又分開，分開又反折而靠近，來回折疊無數次，形成復雜吸引子結構.

2 基本動力學特性

2.1耗散性和吸引子的存在性

由于

即隨著時間的推移，包含系統軌跡的每個體積元以指數率 收縮到零.這種體積收縮作用將使相軌跡必須折回來，即產生折疊運動.拉伸運動和折疊運動兩者相互作用的結果，只能是形成具有分形和分維的混沌運動，因此，從該角度定性分析出了系統（1）可形成混沌吸引子.

2.2平衡點及穩定性

系統（1）的平衡點可解下列代數方程組得到：

給定系統（1）中的參數值后，系統（1）的6個平衡點分別為：

考察系統的穩定性，對系統在各平衡點處線性化，得到Jacobi矩陣并計算各平衡點對應的特征值，在平衡點So處的Jacobi矩陣為

根據 ，得到其特征值為

.這里5個特征根的實部有正也有負，根據Routh-Hurwitz條件，可得平衡點SO是不穩定的鞍點.同理，可得到其他平衡點對應的特征值，結果如表1所示.

從表1可以看出，每個平衡點對應的所有特征值中至少有一個實部為正，且至少有一個實部為負，因此系統（1）的所有平衡點均是不穩定的鞍焦點.

2.3 Lyapunov指數與Lyapunov維數

Lyapunov指數（簡寫為LE）是混沌系統中定量描述狀態空間混沌吸引子軌線彼此排斥和吸引的且.本文利用LET程序包，計算得到系統（1）的所有Lyapunov指數分別為 .如圖2所示.可見，該系統具有正的Lyapunov指數，是混沌系統.

新五維混沌系統Lyapunov指數的維數為：

這里， ，其中j是保證 的最大 值.因此可求得 的大小為：

即該系統LE的維數是分數維數，也就是所謂的分維，這點也證明混沌的存在.

2.4 時域波形、功率譜及Poincare截面圖

混沌系統的時域波形具有非周期性，以分量X3和 為例，從圖3的（a）和（b）可以看出系統（1）的時域波形具有這種特點.而從圖3的（c）和（d）可以看出，他們的頻譜存在連續寬頻帶特性，沒有明顯的波峰，并且峰值連續，說明系統（1）具有混沌特性，

利用Poincare截面圖進一步分析系統（l），給定系統（1）中的參數后，選擇既不包含系統的軌跡，也不與軌線相切的平面作為Poincare截面，通過觀察截面上截點的情況，判斷系統是否可產生混沌運動.如圖4所示，得到系統（1）在幾個截面上的Poin-care映像，可見，在Poincare截面上有無窮多個分形結構的密集點，形成一段連續的曲線，進一步說明了此時系統的運動是混沌的.

2.5 Lyapunov指數譜、分岔圖

如系統（1）參數改變，系統平衡點的穩定性將發生變化，其運行狀態也發生相應的改變.隨參數變化的Lyapunov指數譜和分岔圖可以直觀地分析出系統狀態變化情況.以系統（1）中的部分參數變化的情況為例進行討論.

1）參數k變化情況：其他參數不變，改變k，

令參數k在[O，5.9]范圍內變化，圖5的（a）和（b）給出了隨k變化時的Lyapunov指數譜和分岔圖.可以看出二者具有很好的一致性，當k在[0，1.1）時，所有LE均小于零，系統（1）處于穩定狀態.當k在[1.1，1.95），且除去1.2附近的值時，LE1大于零，其他LE2等于零，系統處于混沌狀態.當k取1.2附近的值時，系統處于周期狀態，當k在[1. 95，2.9）時，系統又處于周期分岔狀態，當k在[2.9，5.9）時，系統又處于混沌狀態，

2）參數d變化情況：其他參數不變，改變d.

令參數d在[0，1000]范圍內變化，圖5的（c）和（d）給出了隨著d變化時的Lyapunov指數譜和分岔圖，當d在[0，8]時，系統（1）處于穩定狀態；當d在（8，20]時，系統出現倍周期分岔；當d在（20，50]時，系統處于混沌狀態；當d在（50，91]時，系統出現倍周期分岔；當d在（91，1000]時，系統又處于混沌狀態，同時在整個混沌帶內存在著數個周期窗口.因此，系統（1）當參數d在[0，1000]內變化時，LE可得到較大值，最大LE可達到5，而且相比其他系統呈現混沌的參數范圍較大.

3 系統的離散化仿真及FPGA實現

3.1 混沌系統的Modelsim仿真

為了采用數字電路實現新五維混沌系統，對該系統模型進行離散化，得到VHDL語言程序文件.利用Test Bench生成.tcl文件用于Modelsim進行RTL門級仿真，系統的xl、x2、x3、x4和x5變量的Modelsim仿真波形如圖6所示.可見，該離散化仿真結果與圖3中時域波形的Matlab仿真結果完全一致，說明新五維混沌系統離散模型正確，并可以在FPGA中實現.

3.2 系統的FPGA實現

用Modelsim進行功能仿真后，將VHDL語言程序配置到FPGA中，本文選用型號為EP3C25E144C8的Cyclone系列FPCA構建系統，以驗證混沌吸引子的存在，通過高速數模轉換芯片DAC904E，利用示波器觀察到模擬混沌吸引子相圖.為了和數值仿真結果做比較，本文在圖7中給出了五維混沌系統的部分吸引子相圖，這些相圖分別對應于圖1中給出的數值仿真相圖，可見，通過示波器觀測到的相軌跡圖同數值仿真分析是一致的，從物理意義上進一步驗證了新五維混沌系統的混沌特性.

4 結 論

本文提出一個新的五維混沌系統，對其進行了數值仿真，分析了基本的混沌動力學特性，定性地確定了系統混沌的存在性.并且該系統呈現混沌的d參數范圍很大，當該參數變化時，系統的最大Lya-punov指數可達到5，存在復雜的混沌動力學行為.最后，設計實現了該系統的硬件數字電路，在示波器上觀測到的吸引子相圖同數值仿真分析一致，從物理意義上進一步驗證了五維系統的混沌特性.提出的五維混沌系統及實現的電路可為隨參數變化的混沌信號發生器提供依據，也可為提高混沌保密通信安全性、混沌數值通信的可靠性及其他應用提供新的信號源.