平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)的軌跡綜合方法

于紅英，趙彥微，許棟銘

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，150001哈爾濱)

軌跡綜合是平面連桿機(jī)構(gòu)綜合的3類基本問(wèn)題之一，其主要目的是找到一個(gè)連桿機(jī)構(gòu)，使其連桿平面上某一點(diǎn)能依次通過(guò)某一預(yù)先給定的軌跡.平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)的軌跡綜合一般有3種方法:圖解法、解析法和圖譜法.

傳統(tǒng)的圖解法存在作圖誤差大，綜合精度低等缺點(diǎn)，目前已經(jīng)很少使用.解析法通常與各種優(yōu)化方法結(jié)合運(yùn)用，通過(guò)尋求最小目標(biāo)函數(shù)來(lái)獲得最優(yōu)解［1-4］，求解精度較高，但通常要受到初值選擇以及尋優(yōu)方法的影響而難于收斂.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)的海量存儲(chǔ)能力和快速檢索能力使得圖譜法在軌跡綜合中應(yīng)用得越來(lái)越廣泛.文獻(xiàn)［5］通過(guò)建立已知機(jī)構(gòu)的連桿轉(zhuǎn)角曲線數(shù)據(jù)庫(kù)，將要實(shí)現(xiàn)的封閉軌跡曲線也轉(zhuǎn)化成連桿轉(zhuǎn)角曲線，再與數(shù)據(jù)庫(kù)中已有轉(zhuǎn)角曲線比較，進(jìn)而獲得滿足要求的機(jī)構(gòu).文獻(xiàn)［6-7］中提出利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)平面連桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行軌跡綜合，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真建立了一個(gè)大樣本庫(kù)，然后對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，可以通過(guò)訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)找到綜合問(wèn)題的近似解.文獻(xiàn)［8-9］中采用小波分析方法提取連桿軌跡的特征參數(shù)，構(gòu)建連桿曲線圖譜庫(kù)進(jìn)行軌跡綜合.文獻(xiàn)［10］中采用均勻B樣條曲線來(lái)擬合連桿軌跡，提取B樣條曲線控制頂點(diǎn)的坐標(biāo)作為軌跡特征參數(shù)進(jìn)行軌跡綜合.文獻(xiàn)［11］中將連桿曲線進(jìn)行快速傅里葉變換，提取傅里葉級(jí)數(shù)作為描述連桿曲線的諧波特征參數(shù)，然后生成連桿曲線的電子圖譜庫(kù)，再?gòu)膸?kù)中檢索出滿足要求的機(jī)構(gòu).上述各種方法中有些方法圖譜庫(kù)中存儲(chǔ)數(shù)據(jù)較多，有些方法需要進(jìn)行復(fù)雜后處理才能得到機(jī)構(gòu)的實(shí)際尺寸和安裝尺寸，導(dǎo)致不易用編程的方法快速找到合適的機(jī)構(gòu).

本文以曲柄搖桿機(jī)構(gòu)為例，采用三次非均勻B樣條曲線來(lái)擬合平面連桿曲線，通過(guò)程序自動(dòng)獲取連桿曲線的型值點(diǎn)進(jìn)行B樣條曲線擬合，將B樣條曲線的控制多邊形各相鄰兩邊間的夾角作為表征連桿曲線形狀特征的參數(shù)，連同對(duì)應(yīng)的機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)建立連桿曲線的電子圖譜庫(kù)，再利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行特征參數(shù)匹配，快速獲得合適的平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)，最終達(dá)到軌跡綜合的目的.

1 原始連桿曲線的生成

如圖1為曲柄搖桿機(jī)構(gòu)ABCD，其中假設(shè)AB為曲柄，各桿實(shí)際桿長(zhǎng)為l1、l2、l3、l4和l5，BP與連桿BC沿逆時(shí)針?lè)较蛩傻慕菫棣?0°≤δ＜360°)．

圖1 曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的參數(shù)

為研究方便，本文采用量綱一的相對(duì)桿長(zhǎng)，即取曲柄r1=l1/l1=1，r2=l2/l1，r3=l3/l1，r4=l4/l1，r5=l5/l1．眾所周知，只有r1、r2、r3及r4滿足一定的長(zhǎng)度關(guān)系時(shí)，才能構(gòu)成以r1為曲柄的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)．現(xiàn)以r2=a(a≥1)為例說(shuō)明如何確定r3、r4的取值范圍．如圖2所示，建立以相對(duì)桿長(zhǎng)r2、r3、r4為坐標(biāo)軸的三維直角坐標(biāo)系Or2r3r4．過(guò)r2軸上的一點(diǎn)(a，0，0)作一平行于Or3r4的平面M，在平面M內(nèi)過(guò)點(diǎn)(a，1，a)和點(diǎn)(a，a，1)作兩條與r3軸正向成45°的射線EE'和FF'，連接E、F兩點(diǎn)．可以證明，線段EF與兩射線EE'、FF'所圍成的條形區(qū)域?yàn)閞3、r4的取值范圍．如圖2中G點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b，c)，則代表r1=1，r2=a，r3=b，r4=c的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)尺寸型．當(dāng)r2變化時(shí)，r3、r4在條形區(qū)域內(nèi)的值應(yīng)滿足如下關(guān)系:

圖2 曲柄搖桿機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)尺寸分布

本文按照一定的步長(zhǎng)變化r2、r3、r4的值，編寫程序生成了一定數(shù)量的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的尺寸型．對(duì)于每一個(gè)尺寸型的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，隨連桿點(diǎn)P位置的不同(即r5和δ發(fā)生變化)產(chǎn)生的連桿曲線也不同．文獻(xiàn)［12］在連桿平面上取了5行10列共50個(gè)點(diǎn)作為連桿點(diǎn)P的50個(gè)位置(見圖3)．

圖3 連桿點(diǎn)位置分布

本文為豐富圖譜庫(kù)中連桿曲線，選取了11行21列共231個(gè)點(diǎn)作為P的231個(gè)位置，其坐標(biāo)值可表示為

根據(jù)曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)變化，利用計(jì)算機(jī)可批量完成連桿曲線的數(shù)據(jù)采集，即每一個(gè)尺寸型的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的每一個(gè)連桿點(diǎn)在曲柄旋轉(zhuǎn)一周時(shí)所形成的連桿曲線上N個(gè)點(diǎn)Qi(i=1，2，3，…，N)的坐標(biāo)．通過(guò)試驗(yàn)，每條連桿曲線上取N=720時(shí)即可代表該曲線．

2 連桿曲線的歸一化

為便于連桿曲線特征匹配，需要對(duì)連桿曲線進(jìn)行歸一化處理，使所有曲線的長(zhǎng)、短和放置方式統(tǒng)一，無(wú)論待識(shí)別的曲線是正放、豎放、斜放，或大或小都能被識(shí)別出來(lái).歸一化具體方法如下.

1)曲柄搖桿機(jī)構(gòu)A0B0C0D0P0的起始位置和曲柄沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)生成的連桿曲線如圖4(a)所示，找出連桿曲線上相距最遠(yuǎn)的兩個(gè)點(diǎn)G0、H0．

2)將機(jī)構(gòu)A0B0C0D0P0和連桿曲線平移，使偏左的點(diǎn)G0與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，平移變換公式如式(1)所示:

式中T1為平移變換矩陣，i代表歸一化過(guò)程中需要進(jìn)行坐標(biāo)變換的各點(diǎn)的標(biāo)號(hào).變換后機(jī)構(gòu)和連桿曲線如圖4(b)所示.

圖4 連桿曲線歸一化過(guò)程

3)如圖4(b)所示，計(jì)算G01H01與x軸正向逆時(shí)針?biāo)傻慕铅?，將機(jī)構(gòu)A01B01C01D01P01和連桿曲線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0使G01H01與x軸重合，旋轉(zhuǎn)變換公式如式(2)所示，變換后機(jī)構(gòu)和連桿曲線如圖4(c)所示.

式中R1為旋轉(zhuǎn)變換矩陣．

4)如圖4(c)所示，為使曲線凸起部分靠近y軸，找到當(dāng)前曲線上距x軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)Ⅰ02，Ⅰ02到x軸的垂足為點(diǎn)J02．計(jì)算G02J02和J02H02的長(zhǎng)度，若，則將機(jī)構(gòu)A02B02C02D02P02連同連桿曲線繞y軸做反射變換，再平移，使H02與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，變換公式如式(3)所示，變換結(jié)果如圖4(d)所示;若，則保持原圖，不進(jìn)行變換，但交換G02、H02兩點(diǎn)代號(hào)，即使H02點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)．

式中:S1為反射變換矩陣，T2為平移變換矩陣，且當(dāng)xⅠ02＞xH02-xⅠ02時(shí)，

當(dāng)xⅠ02≤xH02-xⅠ02時(shí)，

5)如圖4(d)所示，為保證曲線凸起部分在x軸的上方較大，需判斷Ⅰ03點(diǎn)縱坐標(biāo)的正負(fù)，然后進(jìn)行式(4)的變換．若yⅠ03＜0，則繞x軸做反射變換;若yⅠ03≥0，則不變化．變換結(jié)果如圖4(e)所示.

式中S2為反射變換矩陣，且當(dāng)yⅠ03＜0時(shí)，

當(dāng)yⅠ03≥0時(shí)，

6)如圖4(e)所示，將機(jī)構(gòu)A04B04C04D04P04連同連桿曲線縮小倍，比例變換公式如式(5)所示，變換結(jié)果如圖4(f)所示.

式中S為比例變換矩陣．

機(jī)構(gòu)A0B0C0D0P0連同連桿曲線經(jīng)過(guò)歸一化處理，得到歸一化后的機(jī)構(gòu)A'0B'0C'0D'0P'0和歸一化后的連桿曲線以及在歸一化過(guò)程中相關(guān)的6個(gè)歸一化參數(shù):xG0、yG0、α0、xⅠ02、yⅠ03、k0．歸一化變換矩陣是以上6個(gè)變換矩陣的乘積，即

3 連桿曲線型值點(diǎn)的選擇

在使用B樣條曲線對(duì)連桿曲線進(jìn)行擬合時(shí)，連桿曲線上型值點(diǎn)的選擇對(duì)曲線的特征參數(shù)提取及其最終的擬合精度具有重大影響.由于本文利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行曲線特征參數(shù)的匹配，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入特征參數(shù)的數(shù)目必須是固定的，連桿曲線又形態(tài)各異，初始型值點(diǎn)數(shù)目可能并不相等，因此必須設(shè)計(jì)一套型值點(diǎn)自動(dòng)選擇算法，從連桿曲線的720個(gè)點(diǎn)中找到m個(gè)能夠描述曲線特征的點(diǎn)qi(i=0，1，…，m-1)．具體過(guò)程如下:

1)通過(guò)數(shù)值構(gòu)造的方式計(jì)算出連桿曲線上各點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、曲率，選取軌跡上的極值點(diǎn)、拐點(diǎn)以及曲率極值點(diǎn)作為初始型值點(diǎn)，如圖5(a)中“+”所示.

2)刪去步驟1)中較為密集的型值點(diǎn)，遵循刪去曲率較小點(diǎn)的原則，剩余的型值點(diǎn)如圖5(b)中“o”所示.

3)步驟2)中剩余型值點(diǎn)數(shù)為s，設(shè)最終有m+t個(gè)特征參數(shù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，其中t為連桿曲線精確擬合時(shí)再次插入的型值點(diǎn)數(shù)．為了保證神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入特征參數(shù)數(shù)目的一致性，應(yīng)使初始型值點(diǎn)數(shù)由s變到m．若s＞m，則將另外的s-m個(gè)型值點(diǎn)依次插入到兩個(gè)距離最遠(yuǎn)的型值點(diǎn)中;若s＜m，則在型值點(diǎn)密集處刪去m-s個(gè)點(diǎn)．經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn)，m=12時(shí)在型值點(diǎn)數(shù)目較小的情況下擬合效果較好，如圖5(c)中“?”所示.

4)對(duì)初始型值點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整，步驟3)中獲得的初始型值點(diǎn)并不能完全滿足擬合精度的要求.因此必須要對(duì)初始型值點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整.已知連桿曲線的N個(gè)點(diǎn)Qi(i=1，2，3，…，N)，結(jié)合下文中的B樣條曲線擬合方法，由m個(gè)初始型值點(diǎn)得到初始擬合曲線上的N個(gè)點(diǎn)Wi(i=1，2，3，…，N)．為了便于度量擬合質(zhì)量，定義最大擬合誤差esmax=max(‖Qi-Wi‖)(i=1，2，3，…，N)、平均擬合誤差，其中‖Qi-Wi‖表示點(diǎn)Qi到點(diǎn)Wi的距離．最大擬合誤差反應(yīng)了擬合曲線和連桿曲線最大分離程度，而平均擬合誤差則反應(yīng)了整體的擬合效果．規(guī)定esmax＜0.010和es＜0.008時(shí)滿足初始擬合精度要求．分別檢查esmax和es，若滿足要求則可以不再調(diào)整型值點(diǎn)，若達(dá)不到要求，則找到連桿曲線上出現(xiàn)最大擬合誤差點(diǎn)的曲線段的兩個(gè)型值點(diǎn)，按照一定步長(zhǎng)調(diào)整左右型值點(diǎn)位置，重新擬合曲線．重復(fù)以上步驟，保證型值點(diǎn)數(shù)目不變情況下調(diào)整型值點(diǎn)的位置，使擬合誤差滿足預(yù)期的精度要求，得到m個(gè)型值點(diǎn)qi(i=0，1，…m-1)．最終得到的型值點(diǎn)如圖5(d)中“*”所示．

圖5 初始型值點(diǎn)選擇的過(guò)程

4 曲線特征提取與圖譜庫(kù)建立

給定連桿軌跡曲線(通常都是封閉的曲線)上的一組首尾重合的數(shù)據(jù)點(diǎn)，可構(gòu)造出一條通過(guò)該組數(shù)據(jù)點(diǎn)且滿足誤差要求的Ck-1連續(xù)(具有k-1階參數(shù)連續(xù)性)的k次封閉的B樣條插值曲線［13-15］．本文采用具有二階參數(shù)連續(xù)性的三次非均勻B樣條閉合的插值曲線對(duì)連桿曲線上的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合，將提取的型值點(diǎn)qi(i=0，1，…，m-1)作為已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)，擬合的B樣條曲線由n+1個(gè)控制頂 點(diǎn)di(i=0，1，…，n)與 節(jié) 點(diǎn) 矢 量U=［u0，u1，…，un+k+1］來(lái)定義．

首先，要確定節(jié)點(diǎn)矢量U．本文對(duì)于封閉的三次非 均 勻B樣 條曲線定義域［uk，un+1］=［u3，un+1］=［0，1］內(nèi)的節(jié)點(diǎn)采用規(guī)范積累弦長(zhǎng)參數(shù)化法來(lái)確定，該方法能夠如實(shí)反映數(shù)據(jù)點(diǎn)按弦長(zhǎng)的分布情況，定義域外節(jié)點(diǎn)確定為u0=un-2-1，u1=un-1-1，u2=un-1，un+2=1+u4，un+3=1+u5，un+4=1+u6．

對(duì)于閉合的連桿曲線，B樣條曲線的首末端點(diǎn)連接處同樣要求具有C2連續(xù)性，令首末3個(gè)控制頂點(diǎn)依次相重合d0=dn-2，d1=dn-1，d2=dn，故未知控制頂點(diǎn)共有n-2個(gè)．對(duì)于插值曲線，反算過(guò)程中應(yīng)使曲線的分段連接點(diǎn)依次與B樣條曲線定義域內(nèi)節(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，則

用于擬合m+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)qi(i=0，1，…，m)的三次B樣條插值曲線方程為

將曲線定義域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)值代入式(6)應(yīng)滿足插值條件，即

式(7)中含有m+1=n-1個(gè)方程，對(duì)于C2連續(xù)的三次非均勻B樣條閉合曲線，由于首末數(shù)據(jù)點(diǎn)相重合q0=qm，則方程數(shù)目減少一個(gè)，剩m=n-2個(gè)．至此可由m=n-2個(gè)方程構(gòu)成的方程組解出n-2個(gè)未知控制頂點(diǎn)．根據(jù)以上條件整理可得到以下矩陣方程:

其中

解矩陣方程即可求出未知的控制頂點(diǎn)，至此可得到全部控制頂點(diǎn).由反算出的控制頂點(diǎn)通過(guò)德布爾算法［13］即可求得B樣條曲線上的點(diǎn).

已知連桿曲線的m個(gè)初始型值點(diǎn)，首先利用上述方法得到初始的擬合曲線上的N個(gè)點(diǎn)Wi(i=1，2，3，…，N)，然后對(duì)連桿曲線進(jìn)行精確擬合．規(guī)定esmax＜0.008和es＜0.005時(shí)滿足精確擬合精度要求．具體方法為:在連桿曲線上找到與擬合曲線的誤差最大點(diǎn)處插入一個(gè)型值點(diǎn)，更新原有的型值點(diǎn)并重新進(jìn)行曲線擬合，如此反復(fù)進(jìn)行t次，經(jīng)過(guò)多次的試驗(yàn)，取t=4已能滿足曲線擬合的誤差要求，不同形狀原始曲線的擬合情況見圖6，最大擬合誤差、平均擬合誤差如表1所示，可以看出擬合結(jié)果比較理想.

圖6 不同形狀的曲線擬合

表1 原始曲線的擬合誤差

為使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入特征參數(shù)的數(shù)目盡可能少，本文選擇將控制頂點(diǎn)順序連接成的控制多邊形各相鄰兩邊間的夾角θi(i=1，2，…，m+t)作為連桿曲線的特征參數(shù)．

至此，連桿軌跡曲線的特征參數(shù)提取完成．將大量的連桿曲線的特征參數(shù)θi(i=1，2，…，m+t)和對(duì)應(yīng)機(jī)構(gòu)的6個(gè)尺寸參數(shù)r1、r2、r3、r4、r5、δ 存儲(chǔ)，形成連桿曲線的電子圖譜庫(kù)．

5 尋找滿足給定軌跡要求的機(jī)構(gòu)

本文選用廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，利用已建立的電子圖譜庫(kù)中數(shù)據(jù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本，即m+t=16個(gè)控制多邊形各相鄰兩邊間夾角θi(i=1，2，…，m+t)作為輸入，對(duì)應(yīng)6個(gè)機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)r1、r2、r3、r4、r5、δ作為輸出，對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練并保存．

給定f個(gè)有序離散點(diǎn)(離散點(diǎn)數(shù)目f不受限制，可在4≤f≤N范圍內(nèi)任意給定)，應(yīng)用本文所述方法進(jìn)行軌跡綜合，尋找滿足要求機(jī)構(gòu)的步驟如下:

1)將給定的f個(gè)離散點(diǎn)進(jìn)行B樣條曲線擬合，得到一條封閉的期望曲線．

2)利用與圖譜庫(kù)中連桿曲線相同的處理方法，對(duì)期望曲線進(jìn)行歸一化處理，記錄此過(guò)程中期望曲線的6個(gè)歸一化參數(shù):xG1、yG1、α1、xⅠ12、yⅠ13、k1，并對(duì)歸一化后期望曲線進(jìn)行型值點(diǎn)的選擇以及特征參數(shù)的提取．

3)將期望曲線特征參數(shù)θ1，i(i=1，2，…，m+t)輸入到已訓(xùn)練好并保存的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，輸出與期望曲線對(duì)應(yīng)的量綱一的機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)(r2，1、r2，2、r2，3、r2，4、r2，5、δ2)，對(duì)應(yīng)的機(jī)構(gòu)為A2B2C2D2P2．

4)由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有自學(xué)習(xí)能力，輸出的滿足給定軌跡要求的機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)可能并不對(duì)應(yīng)圖譜庫(kù)中任何一組數(shù)據(jù)．因此，需要利用與圖譜庫(kù)中連桿曲線相同的處理方法，將輸出機(jī)構(gòu)A2B2C2D2P2及其描繪的連桿曲線也進(jìn)行一次歸一化處理，得到歸一化后機(jī)構(gòu)A'2B'2C'2D'2P'2．

5)將歸一化后的期望曲線連同步驟4)中的機(jī)構(gòu)A'2B'2C'2D'2P'2，按照步驟2)中記錄的6個(gè)歸一化參數(shù)進(jìn)行反歸一化，得到滿足要求的實(shí)際機(jī)構(gòu)A1B1C1D1P1及其實(shí)際參數(shù)(l1，1、l1，2、l1、3、l1，4、

l1，5、δ1)．

6)計(jì)算期望曲線與實(shí)際機(jī)構(gòu)描繪的連桿曲線的綜合誤差，包括誤差平均值es和誤差最大值esmax．并計(jì)算誤差與期望曲線上最遠(yuǎn)兩點(diǎn)間距離k1的比值，即Ks=es/k1和Ksmax=esmax/k1，將Ks、Ksmax作為度量在有量綱情況下軌跡綜合的精度參數(shù)．

反歸一化過(guò)程與歸一化過(guò)程相反，對(duì)歸一化后的機(jī)構(gòu)和期望曲線進(jìn)行反歸一化的具體方法如下:

a)將歸一化后的機(jī)構(gòu)A'2B'2C'2D'2P'2和期望曲線放大k1倍，比例變換公式如式(8)所示，i代表反歸一化過(guò)程中需要進(jìn)行坐標(biāo)變換的各點(diǎn)的標(biāo)號(hào)．

式中S1為比例變換矩陣．

b)判斷yⅠ13的正負(fù)性，若yⅠ13＜0，即期望曲線在歸一化時(shí)繞x軸進(jìn)行了反射變換，則要對(duì)當(dāng)前圖形做反射變換，反射變換公式如式(9)所示;若yⅠ13≥0，則不變化．

式中S'1為反射變換矩陣，且當(dāng)yⅠ13＜0時(shí)，

當(dāng)yⅠ13≥0時(shí)，

c)判斷xⅠ12和k1-xⅠ12的大小，若xⅠ12＞k1-xⅠ12，即期望曲線歸一化時(shí)先繞y軸進(jìn)行了反射和平移變換，則將當(dāng)前圖形繞y軸先做反射變換再平移，變換公式如式(10)所示;若xⅠ12≤k1-xⅠ12，則不變化．

式中:S'2為反射變換矩陣，T'1為平移變換矩陣．且當(dāng)xⅠ12＞k1-xⅠ12時(shí)，

d)將當(dāng)前圖形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α1角，旋轉(zhuǎn)變換公式如式(11)所示:

式中R'1為旋轉(zhuǎn)變換矩陣．

e)將當(dāng)前圖形平移，平移變換公式如式為

式中T'2為平移變換矩陣，得到實(shí)際機(jī)構(gòu)A1B1C1D1P1．

反歸一化變換矩陣是以上6個(gè)變換矩陣的乘積，即

6 算法實(shí)現(xiàn)與示例

下面給出計(jì)算實(shí)例，給定16個(gè)離散點(diǎn)的坐標(biāo)值(見表2)進(jìn)行軌跡綜合，尋找近似通過(guò)這些離散點(diǎn)的曲柄搖桿機(jī)構(gòu).

表2 給定的離散點(diǎn)

應(yīng)用本文所述的方法，首先，對(duì)給定的離散點(diǎn)通過(guò)B樣條曲線擬合得到期望曲線，如圖7(a).然后，對(duì)期望曲線經(jīng)過(guò)歸一化處理，得到歸一化后的期望曲線如圖7(b)，以及6個(gè)歸一化參數(shù)(見表3).

圖7 綜合實(shí)例

表3 期望曲線的歸一化參數(shù)

然后，進(jìn)行型值點(diǎn)選擇和特征參數(shù)提取，獲取的型值點(diǎn)和控制多邊形如圖7(c)和圖7(d)所示，得到期望曲線的特征參數(shù) θ1，i(i=1，2，…，16)(見表4)．

表4 期望曲線的特征參數(shù)

將特征參數(shù)輸入到已保存的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，輸出與期望曲線對(duì)應(yīng)的機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)r2，1=1．000，r2，2=3.037，r2，3=3.461，r2，3=2.500，r2，5=1.108，δ2=57.009°，對(duì)應(yīng)的機(jī)構(gòu)為A2B2C2D2P2．將機(jī)構(gòu)A2B2C2D2P2及其描繪的連桿曲線進(jìn)行一次歸一化，得到歸一化后的機(jī)構(gòu)A'2B'2C'2D'2P'2，其各點(diǎn)的坐標(biāo)為A'2(0.278，-0.275)，B'2(0.374，-0.641)，C'2(1.470，-0.290)，D'2(0.517，-1.191)，P'2(0.484，-0.236)，如圖7(e)所示.

最后，將機(jī)構(gòu)A'2B'2C'2D'2P'2和歸一化后的期望曲線，按照期望曲線的6個(gè)歸一化參數(shù)xG1、yG1、α1、xⅠ12、yⅠ13和k1進(jìn)行反歸一化，得到的軌跡綜合結(jié)果如圖7(f)所示．實(shí)際機(jī)構(gòu)A1B1C1D1P1尺寸參數(shù)l1，1=22.729 mm，l1，2=69.036 mm，l1，3=78.671 mm，l1，4=56.824mm，l1，5=25.188 mm，δ1=57.009°，其各點(diǎn)的坐標(biāo)為A1(22.723，-5.826)，B1(38.742，-21.950)，C1(84.949，29.342)，D1(62.771，-46.138)，P1(32.230，2.382)．綜合得到的機(jī)構(gòu)連桿曲線與期望曲線的誤差和綜合精度參數(shù)分別為:誤差平均值es=0.657 mm，誤差最大值esmax=1.084 mm，Ks=1.10%，Ksmax=1.81%，能夠滿足軌跡綜合的精度要求．為進(jìn)一步提高軌跡綜合的精度可以通過(guò)增加軌跡圖譜的數(shù)量、提高特征參數(shù)的數(shù)目等方式得到，在此不再詳述．

在主頻為2.54 GHz、奔騰處理器及內(nèi)存為2 GB的計(jì)算機(jī)上利用本文所述方法綜合10條期望軌跡，只需要1.35 s就能給出與期望軌跡相對(duì)應(yīng)的實(shí)際的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，可見本方法具有非常快的綜合速度.

7 結(jié) 論

1)給出了基于三次非均勻B樣條曲線理論的連桿曲線特征提取方法，利用B樣條曲線控制多邊形各相鄰兩邊間的夾角作為連桿曲線的特征參數(shù)建立電子圖譜庫(kù)，減少了人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入數(shù)據(jù)的數(shù)目.

2)通過(guò)連桿曲線歸一化方法，使重點(diǎn)集中在軌跡曲線的形狀上，忽略曲線的具體姿態(tài)，消除了由于坐標(biāo)軸的選擇對(duì)軌跡綜合的影響，大大減少了電子圖譜庫(kù)中數(shù)據(jù)的冗余量.

3)通過(guò)程序自動(dòng)獲取連桿曲線的型值點(diǎn)，避免了對(duì)大量形狀各異的連桿曲線的分類處理，大大簡(jiǎn)化了軌跡綜合的過(guò)程.

4)本方法并不限制給定有序離散點(diǎn)的數(shù)目，將離散點(diǎn)擬合的期望曲線的特征參數(shù)輸入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行特征匹配，試驗(yàn)表明了該方法的有效性.

5)本文所提方法也適用于其他類型的平面四桿機(jī)構(gòu)的軌跡綜合，如雙曲柄機(jī)構(gòu)、雙搖桿機(jī)構(gòu)和曲柄滑塊機(jī)構(gòu).

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