資金時間價值中的系數關系探析

（鄭州大學西亞斯國際學院河南鄭州451150）

資金時間價值是財務管理的重點和難點之一，由于涉及的知識點較多，不易把握知識點之間的邏輯性、連貫性和系統性。在資金時間價值的計算中，資金的終值、現值和各類年金相互之間的計算依賴于各類系數。因此，用簡單易懂的公式來分析和推導資金時間價值中各類系數的涵義及其關系，不僅有利于把握各類系數之間的邏輯性、連貫性和系統性，也有利于對各類系數的理解、掌握和運用。

資金時間價值是指資金在沒有風險和沒有通貨膨脹的條件下，經過一定時期的投資和再投資所增加的價值。從本質上看，不是所有的資金都有時間價值，資金最終要依靠投入經營過程才能帶來價值的增值。但是，資金經過投資和再投資所增加的價值并不全是資金時間價值，在投資過程中，由于投資者承擔風險而要求獲得風險報酬，由于投資者要彌補通貨膨脹所引起的貨幣購買力下降而要求獲得通貨膨脹補償。因此可以看出，資金時間價值是考慮資金由于時間因素經過投資和再投資所帶來的價值增值，而不考慮資金由于風險和通貨膨脹因素經過投資和再投資所帶來的價值增值。而資金時間價值率是沒有風險和沒有通貨膨脹條件下的社會平均資金利潤率，通常用無通貨膨脹條件下的國庫券利息率來表示。

一、資金時間價值中系數的涵義

由于資金是有時間價值的，等額的資金在不同時點上的價值是不等額的，因此一定要區分資金所對應的時點。由于復利體現了資金的投資和再投資，符合資金時間價值的內涵，因此在資金時間價值的計算中，通常采用復利計算。

（一）復利終值系數與復利現值系數的涵義。終值（future value）是指當前的資金在若干期后所具有的價值；現值（present value）是指未來年份的資金在當前的價值。復利終值系數是由資金的現值計算出其終值所需乘的數，復利現值系數是由資金的終值計算出其現值所需乘的數。令F表示終值，P表示現值，i表示利息率，n表示期數，則資金的終值與其現值的關系是：F=P（1+i）n，資金的現值與其終值的關系是：P=F/（1+i）n。復利終值系數可用（F/P，i，n）表示，復利現值系數可用（P/F，i，n）表示，則有公式 1-1 和 1-2。

（二）普通年金終值系數與普通年金現值系數的涵義。普通年金（ordinary annuity）是指在一定時期內每期期末等額的系列收付款項。普通年金的終值是指普通年金在若干期后所具有的價值，普通年金終值系數是由普通年金計算出其終值所需乘的數；普通年金的現值是指普通年金在當前的價值，普通年金現值系數是由普通年金計算出其現值所需乘的數。令F和P分別表示普通年金的終值和現值，A表示普通年金，i表示利息率，n表示期數，普通年金與其終值的關系是：F=A[1+（1+i）1+（1+i）2+…+（1+i）n-1]，普通年金與其現值的關系是：P=A[1/（1+i）1+1/（1+i）2+…+1/（1+i）n]，普通年金終值系數可用（F/A，i，n）表示，普通年金現值系數可用（P/A，i，n）表示，則有公式 2-1 和 2-2。

（三）先付年金終值系數與先付年金現值系數的涵義。先付年金（annuity due）是指在一定時期內每期期初等額的系列收付款項。先付年金的終值是指先付年金在若干期后所具有的價值，先付年金終值系數是由先付年金計算出其終值所需乘的數；先付年金的現值是指先付年金在當前的價值，先付年金現值系數是由先付年金計算出其現值所需乘的數。令F和P分別表示先付年金的終值和現值，AD表示先付年金，i表示利息率，n表示期數，先付年金與其終值的關系是：F=AD[（1+i）1+（1+i）2+…+（1+i）n]，先付年金與其現值的關系是：P=AD[1+1/（1+i）1+1/（1+i）2+…+1/（1+i）n-1]，先付年金終值系數可用（F/AD，i，n）表示，先付年金現值系數可用（P/AD，i，n）表示，則有公式 3-1 和 3-2。

（四）延期年金終值系數與延期年金現值系數的涵義。延期年金（deferred annuity）是指在一定時期內，最初若干期沒有收付款項的情況下，后面若干期等額的系列收付款項，一般把延期年金看成是普通年金的特殊形式。延期年金的終值是指延期年金在若干期后所具有的價值，延期年金終值系數是由延期年金計算出其終值所需乘的數；延期年金的現值是指延期年金在當前的價值，延期年金現值系數是由延期年金計算出其現值所需乘的數。令F和P分別表示延期年金的終值和現值，DA表示延期年金，i表示利息率，m表示沒有收付款項的期數，n表示有收付款項的期數。延期年金與其終值的關系是：F=DA[1+（1+i）1+（1+i）2+…+（1+i）n-1]， 延期年金與其現值的關系是：P=DA[1/（1+i）m+1+1/（1+i）m+2+…+1/（1+i）m+n]，延期年金終值系數可用（F/DA，i，n）表示，延期年金現值系數可用（P/DA，i，n）表示。則有公式4-1和 4-2。

二、資金時間價值中系數之間的關系

（一）不同系數之間的關系。

1.同類終值系數和現值系數之間的關系。

（1）復利終值系數和復利現值系數之間的關系。由公式1-1和1-2可得：當i、n相同時，復利終值系數和復利現值系數互為倒數，（F/P，i，n）（P/F，i，n）=1。

（2）普通年金終值系數和普通年金現值系數之間的關系。由公式2-1和2-2可得：當i、n相同時，普通年金終值系數等于普通年金現值系數乘以n期的復利終值系數，（F/A，i，n）=（P/A，i，n）（1+i）n=（P/A，i，n）（F/P，i，n）。

（3）先付年金終值系數和先付年金現值系數之間的關系。由公式3-1和3-2可得：當i、n相同時，先付年金終值系數等于先付年金現值系數乘以n期的復利終值系數，（F/AD，i，n）=（P/AD，i，n）（1+i）n=（P/AD，i，n）（F/P，i，n）。

（4）延期年金終值系數和延期年金現值系數之間的關系。由公式4-1和4-2可得：當i、m、n相同時，延期年金終值系數等于延期年金現值系數乘以m+n期的復利終值系數，（F/DA，i，n）=（P/DA，i，n）（1+i）m+n=（P/DA，i，n）（F/P，i，m+n）。

2.不同的終值系數之間的關系。

（1）普通年金終值系數與復利終值系數之間的關系。由公式1-1和2-1可得：當i相同時，普通年金終值系數等于從 1 期到 n-1 期的復利終值系數之和加 1，（F/A，i，n）=1+（F/P，i，1）+（F/P，i，2）+…+（F/P，i，n-1）。

（2）先付年金終值系數與復利終值系數之間的關系。由公式1-1和3-1可得：當i相同時，先付年金終值系數等于從 1 期到 n 期的復利終值系數之和，（F/AD，i，n）=（F/P，i，1）+（F/P，i，2）+…+（F/P，i，n）。

（3）延期年金終值系數與復利終值系數之間的關系。由公式1-1和4-1可得：當i相同時，延期年金終值系數等于從 1 期到 n-1 期的復利終值系數之和加 1，（F/DA，i，n）=1+（F/P，i，1）+（F/P，i，2）+…+（F/P，i，n-1）。

（4）先付年金終值系數與普通年金終值系數之間的關系。由公式2-1和3-1可得：當i、n相同時，先付年金終值系數等于普通年金終值系數乘以（1+i），（F/AD，i，n）=（F/A，i，n）（1+i）。 此外，先付年金終值系數還等于 n+1 期的普通年金終值系數減 1，（F/AD，i，n）=（F/A，i，n+1）-1。

（5）延期年金終值系數與普通年金終值系數之間的關系。由公式2-1和4-1可得：當i、n相同時，延期年金終值系數等于 n 期的普通年金終值系數，（F/DA，i，n）=（F/A，i，n）。

3.不同的現值系數之間的關系。

（1）普通年金現值系數與復利現值系數之間的關系。由公式1-2和2-2可得：當i相同時，普通年金現值系數等于從 1 期到 n 期的復利現值系數之和，（P/A，i，n）=（P/F，i，1）+（P/F，i，2）+…+（P/F，i，n）。

（2）先付年金現值系數與復利現值系數之間的關系。由公式1-2和3-2可得：當i相同時，先付年金現值系數等于從 1 期到 n-1 期的復利現值系數之和加 1，（P/AD，i，n）=1+（P/F，i，1）+（P/F，i，2）+…+（P/F，i，n-1）。

（3）延期年金現值系數與復利現值系數之間的關系。由公式1-2和4-2可得：當i相同時，延期年金現值系數等于從 m+1 期到 m+n 期的復利現值系數之和，（P/DA，i，n）=（P/F，i，m+1）+（P/F，i，m+2）+…+（P/F，i，m+n）。

（4）先付年金現值系數和普通年金現值系數之間的關系。由公式2-2和3-2可得：當i、n相同時，先付年金現值系數等于普通年金現值系數乘以（1+i），（P/AD，i，n）=（P/A，i，n）（1+i）。 此外，先付年金現值系數還等于 n-1 期的普通年金現值系數加 1，（P/AD，i，n）=（P/A，i，n-1）+1。

（5）延期年金現值系數和普通年金現值系數之間的關系。由公式2-2和4-2可得：當i、n相同時，延期年金現值系數等于m+n期與m期的普通年金現值系數之差，（P/DA，i，n）=（P/A，i，m+n）-（P/A，i，m）。 此外，延期年金現值系數也等于n期的普通年金現值系數乘以m期的復利現值系數，（P/DA，i，n）=（P/A，i，n）/（1+i）m=（P/A，i，n）（P/F，i，m）。

（二）不同時期的同一系數之間的關系。

1.不同時期的復利終值系數之間的關系。由公式1-1可得：當i相同時，n期的復利終值系數等于n-1期的復利終值系數乘以（1+i），（F/P，i，n）=（F/P，i，n-1）（1+i）。

2.不同時期的復利現值系數之間的關系。由公式1-2可得：當i相同時，n期的復利現值系數等于n-1期的復利現值系數除以（1+i），（P/F，i，n）=（P/F，i，n-1）/（1+i）。

3.不同時期的普通年金終值系數之間的關系。由公式2-1可得：當i相同時，n期的普通年金終值系數等于n-1期的普通年金終值系數加上n-1期的復利終值系數，（F/A，i，n）=（F/A，i，n-1）+（1+i）n-1=（F/A，i，n-1）+（F/P，i，n-1）。

4.不同時期的普通年金現值系數之間的關系。由公式2-2可得：當i相同時，n期的普通年金現值系數等于n-1期的普通年金現值系數加上n期的復利現值系數，（P/A，i，n）=（P/A，i，n-1）+1/（1+i）n=（P/A，i，n-1）+（P/F，i，n）。

5.不同時期的先付年金終值系數之間的關系。由公式3-1可得：當i相同時，n期的先付年金終值系數等于n-1期的先付年金終值系數加上n期的復利終值系數，（F/AD，i，n）=（F/AD，i，n-1）+（1+i）n=（F/AD，i，n-1）+（F/P，i，n）。

6.不同時期的先付年金現值系數之間的關系。由公式3-2可得：當i相同時，n期的先付年金現值系數等于n-1期的先付年金現值系數加上n-1期的復利現值系數，（P/AD，i，n）=（P/AD，i，n-1）+1/（1+i）n-1=（P/AD，i，n-1）+（P/F，i，n-1）。

7.不同時期的延期年金終值系數之間的關系。由公式4-1可得：當i、m相同時，n期的延期年金終值系數等于n-1期的延期年金終值系數加上n-1期的復利終值系數，（F/DA，i，n）=（F/DA，i，n-1）+（1+i）n-1=（F/DA，i，n-1）+（F/P，i，n-1）。

8.不同時期的延期年金現值系數之間的關系。由公式4-2可得：當i、m相同時，n期的延期年金現值系數等于n-1期的延期年金現值系數加上m+n期的復利現值系數，（P/DA，i，n）=（P/DA，i，n-1）+1/（1+i）m+n=（P/DA，i，n-1）+（P/F，i，m+n）。