基于地基反力與沉降非線性關系的地基梁研究

陳小亮，陳世嵬，黃志敏

（重慶科技學院 數 理學院，重慶 401331）

地基梁在土建、水力、橋梁、生物力學等工程領域有廣泛的應用，地基梁的力學分析多采用Winkler地基梁模型，即假定地基和地基梁之間的作用力與梁的撓度成正比例關系。文獻[1]提出了無拉力Winkler彈性地基深淺梁的三角級數統一解法；文獻[2]根據Winkler彈性地基梁的計算原理和方法，編制了彈性桿系有限元計算程序，獲得了支護樁樁身位移和彎矩隨開挖過程的分布變化規律；文獻[3]考慮了地基土的橫向剪切作用，采用兩個參數來描述彈性地基對中厚板的抗力與中厚板撓度的關系，得到了彈性地基上自由矩形中厚板問題的一般內力表達式；文獻[4]采用空間桿系有限元方法建立線彈性Winkler地基上框架梁柱的有限元計算模型，對預應力錨桿作用下的框架梁柱進行了內力求解；文獻[5]用有限差分法計算分析了梁截面參數、彈性地基參數的變化對彈性地基梁彎曲變形的影響；文獻[6]采用Winkler彈性地基梁理論確定了彈性地基梁的撓度方程解析通解，得到了解析型彈性地基歐拉梁單元及鐵摩辛柯梁單元剛度矩陣。本文從實測的P-S曲線（基地壓力與沉降的關系）出發，將P-S曲線擬合成三次多項式函數，推導出非線性彈性地基梁的基本理論方程式，并用有限差分法解出它的數值解。

1 非線性地基梁模型

如圖1所示，根據平衡方程有：

圖1 地基梁微元

根據梁的小變形彎曲理論有：

式（1）中R為地基對梁的分布反力，w為梁的撓度（向下為正）。 若梁段內沒有分布外力（q=0），則由式（1）-（3）可得：

2 非線性地基反力的實驗數據擬合

利用文獻[7]的實驗數據，如圖2所示，利用Origin軟件可作出非線性地基反力R隨梁撓度w變化的三次多項式擬合關系：

2.07343×1012N/m4。根據Origin軟件，三次多項式擬合和經典Winkler地基梁正比例關系擬合的相關系數 （Adj.R-Square）分別為0.99918和0.89918，可見三次多項式的擬合效果較好。

圖2 地基反力-撓度擬合

3 有限差分法和算例

圖3 一端固定的地基梁

如圖3所示，考慮一端固定的地基梁在自由端受集中力F作用，長度L=20m，集中力F=105N，抗彎剛度EI=2X109Pa·m4。 將梁分成n等份，將非線性地基反力R隨梁撓度w變化的三次多項式擬合關系式（5）代入式（4）中可得微分方程（4）的中心差分格式為：

固定端邊界條件的中心差分格式為：

自由端邊界條件：彎矩M(x=L)=0、剪力Q(x=L)=F的中心差分格式為：

方程式（4）的有限差分法求解方程組為：

利用牛頓迭代法[8-9]和MATLAB編程數值求解上面的非線性代數方程組，可以得到非線性和線性彈性地基梁的撓度、轉角、剪力和彎矩，分別如圖4、圖5、圖6、圖7所示。其中對線性彈性地基梁，k1取圖2中線性擬合的比例系數，k2、k3均為零。

4 結論

在圖4中，經典線彈性Winkler地基梁和非線性地基梁的撓度約在x=17.94 m處達到最大相差1.42×10-4m，相對誤差為12%。在圖5中，經典線彈性Winkler地基梁和非線性地基梁的轉角約在x=12.94 m處達到最大相差3.45×10-5rad，相對誤差為30%。在圖6中，經典線彈性Winkler地基梁和非線性地基梁的剪力約在x=18.7 m處達到最大相差8886N，相對誤差為22%。在圖7中，經典線彈性Winkler地基梁和非線性地基梁的彎矩約在x=16.48 m處達到最大相差19741N·m，相對誤差為17%。

圖4 地基梁的撓度曲線

經典線彈性Winkler地基梁假定地基與地基梁之間的作用力與梁的撓度成正比例關系，此時撓曲線方程有解析解，方便進行理論分析研究。但真實地基與地基梁之間的作用力與梁的撓度可能成復雜的非線性關系，此時基于線彈性地基梁的分析誤差較大，地基梁撓度、轉角、剪力和彎矩的相對誤差都可能達到10%~30%。對于非線性彈性地基梁，將實驗測量的基地壓力與沉降關系曲線擬合成非線性函數關系，再用有限差分法解出數值解是一種可行的簡便方法，此方法還可以推廣應用于非均質地基的情況。

圖5 地基梁的轉角曲線

圖6 地基梁內的剪力

圖7 地基梁內的彎矩

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