基于隨機場理論的結構不確定性表征與量化

王春水，李大磊，張二亮

（鄭州大學 機械工程學院，鄭州 450001）

0 引言

實際結構材料屬性的復雜性以及機械加工過程中的各種隨機誤差等因素會造成結構參數的不確定性，使得材料相同、按相同方法加工出的名義尺寸一致的一組結構件之間存在不確定性，其動力學特性相似但不盡形同，這就需要建立一個有效的模型來表征結構的不確定性。樊征兵等[1]采用了隨機因子法、區間因子法和攝動法對彈性模量、密度和截面積參數存在不確定的桁架結構進行模態分析，其中攝動方法適用參數較小的變動，對于一般情況蒙特卡羅模擬有很好的適用性，但其計算量很大，而響應面模型可很好地提高效率簡化計算，Fang S E等[2]運用二次多項式響應面模型和蒙特卡羅模擬的方法來量化隨機模型彈性模量、密度、慣性矩等參數的不確定性。而實際上引起結構不確定性的參數有很多，這些參數在結構空間上隨機分布，為更好地反映實際情況，把結構參數看成是隨空間位置而變化的隨機變量的隨機場理論被引入工程結構數據分析以描述材料參數的空間相關性。白長青等[3]把轉軸的彈性模量、剪切模量、密度等參數表示為一維隨機場函數，研究了不確定性轉子系統的隨機有限元建模及響應分析；Feng X等[4]運用均勻隨機場表征各有限元單元彈性模量的不確定性，研究了簡支梁和層流板的動力學特性。

目前關于結構不確定性的表征及參數修正主要是針對某些結構或材料參數，如彈性模量、慣性矩、厚度等的參數模型進行的，對其均值及方差做不確定性分析，其模型本身的復雜度不高，雖然可以采用各種有效的方法進行隨機有限元分析，但并不能很精確地反映實際結構。

針對結構彈性模量的不確定性，提出一種基于隨機場理論的超參數模型來表征一組結構屬性參數的不確定性，并用參數估計的方法對模型參數進行量化。為表征和量化這種不確定性，首先提出一個基于高斯核函數的隨機場模型來表征參數的不確定性，用K-L展開來模擬該隨機場超參數模型，對模型進行頻率分析，用多元核密度估計估計出輸出響應的概率分布密度函數，把試驗和模擬結果進行對比運用最大似然估計來量化模型的參數。最后通過對一個算例進行數值試驗驗證了提出方法的有效性；同時考慮了結構尺寸誤差對參數量化的影響。

1 不確定性的隨機場表征

機械加工、熱處理及材料自身的不確定性等誤差都會導致結構的不確定性，這些誤差一般都很小且相互獨立，根據中心極限定理相互獨立的大量微小隨機變量，其分布服從高斯分布，高斯分布假設便于計算使問題可解。因此可采用高斯隨機場模型來描述一組結構彈性模量的不確定性。

1.1 高斯隨機場模型

高斯隨機場有以下兩個特點[5]：1）其數學期望和方差為一個與位置坐標無關的常數，即為一隨機數，xi表示空間一點；2）其自協方差函數只與隨機場上兩點相對位置距離有關而與兩點的絕對位置坐標無關，即為兩點之間的相對距離，為自相關函數，相關距離L是其重要的參數，表示在相關距離內的兩點的參數具有明顯的關聯性。建立隨機場的關鍵是構建協方差矩陣。

在有限元框架下，要將連續隨機場離散為隨機變量向量。對于高斯隨機場，常用的離散方法有：譜表示法、Karhunen -Loeve展開法等。這里選用K-L展開法。

1.2 Karhunen-Loeve展開

K-L展開的實質是將隨機場分解為一系列不相關的隨機變量和確定系數（特征函數、特征值）。其具有以下優越性：對于任意類型隨機場都是均方收斂的；相較于其他方法，展開相同有限項時具有最小的均方誤差[6]。隨機場(,)EXω的K-L展開式為[7]：

式中：X= (x,y)為空間點坐標；為隨機場的期望： ξi(X)為零均值互不相關的高斯隨機序列；ω為隨機事件； λi和 φi(X)分別為隨機場協方差矩陣CE(x,y)的特征值和特征函數。

可見，隨機場K-L展開的關鍵是獲得協方差矩陣的特征值和特征函數。所研究的隨機場的協方差矩陣是定義在規則幾何空間域上的，其表達式易知，可較容易地得到其特征值和特征向量，從而可以較容易地實現隨機場的K-L展開。

2 結構不確定性量化

對于所提出的高斯隨機場模型，表征結構不確定性的參數是未知的，需要對其進行量化。將試驗和模擬的輸出響應的分布特征進行對比，對其結果做最大似然估計來量化模型的參數。最大似然估計是一種在給定統計特性下估計參數的方法，而模型的輸出響應的分布特征是未知的，這就需要對輸出響應的概率分布做非參數估計，核密度估計是常用的一種非參數估計方法。

2.1 核密度估計

設S1,S2,...,Sn是獨立同分布隨機變量，其分布密度函數的多元核密度估計可表示為[8]：

2.2 最大似然估計

對結構的輸出響應做最大似然估計，估計出滿足概率分布密度的參數，把可能性最大的那個參數作為真實的估計量。對數似然函數更易處理，故對于如式(2)所示的核密度估計函數，其對數似然函數可以表示為：

其中，Qexp為試驗輸出響應；Qmod為模擬輸出響應；num為試驗點數；選擇多元高斯分布的核函數假設[8]，取窗寬為，核函數為

3 算例驗證

用MATLAB軟件進行數值試驗，試驗模型為懸臂梁，其參數為：長1m，橫截面積0.06m×0.06m，質量密度為7800Kg/m3，有限元建模時將梁劃分為50個單元，如圖1所示。

圖1 懸臂梁模型

每個單元的彈性模量可以通過式(1)按梁的有限元單元展開得到。其中n=50，均值，協方差函數取為。則彈性模量E的不確定性隨機場就由標準差和相關距離L進行表征，超參數也即是試驗設計中的輸入參數，通過數值試驗進行量化。輸出響應為每根梁的前四階固有頻率，這些梁的輸出響應組成固有頻率矩陣S。取輸入參數為的500根梁的固有頻率矩陣Sexp為試驗數據，取輸入參數為σ∈{1.0,1.2,1.4,…,3}，L∈{10,20,30,…,100}的10000根梁的固有頻率矩陣Smod為模擬數據，對Sexp和Smod進行核密度估計和最大似然估計，驗證超參數的可辨識性和隨機場模型的有效性。

3.1 實驗數據分析

圖2 梁單元彈性模量的隨機分布

3.2 一維核密度估計

圖3 一維核密度估計

可見實驗數據的概率密度分布規律與L0=50和σ=2的實驗數據的概率密度分布規律最為接近。

3.3 多維核密度估計及最大似然估計

為了更加充分地說明問題，要對Sexp和Smod進行四維核密度估計并在此基礎上做關于參數的最大似然估計。由于一些點處的概率密度函數值很小，為避免連乘時似然函數為0，故先對概率密度函數值取對數再連加，同時為了使結果凸顯便于觀察，對對數似然函數值做指數處理。最終可得到似然函數的三維圖如圖4所示。

圖4 似然函數數值

4 結論

提出的基于隨機場理論的超參數模型能夠表征結構的不確定性，反映結構參數的不確定性與空間關聯性，可以描述實際結構參數的隨機變化特性。算例表明，模型超參數可以通過結構的輸出響應進行量化，得到結構超參數的標準差和自相關距離，具有一定的應用性。提出的方法也適用于其他參數，也可對其他材料參數或結構參數建立隨機場超參數模型并進行量化。

[1] 樊征兵,何歡,陳國平.不確定結構的模態和動響應分析[A].第十屆全國振動理論及應用學術會議論文集(2011)上冊[C].2011.

[2] FANG S E, REN W X,PERERA R. A stochastic model updating method for parameter variability quantification based on response surface models and Monte Carlo simulation[J].Mechanical Systems and Signal Processing,2012(33)：83-96.

[3] 白長青,張紅艷.不確定性轉子系統的隨機有限元建模及響應分析[J].動力學與控制學報,2012,10(3)：283-288.

[4] FENG X, LU Z X, YANG Z Y, et al. Analysis on the variances of material and structural properties based on random field theory[J]. Probabilistic Engineering Mechanics.2011(26)：222-230.

[5] 張繼周,繆林昌.基于隨機場理論的地基概率沉降分析[J].巖土工程學報,2010,32(7)：1059-1064.

[6] 李少龍,楊金忠,張家發.KL展開在滲流場隨機分析中的初步應用[J].長江科學院院報,2009,26(10)：39-43.

[7] BETZ W, PAPAIOANNOU I, STRAUD D. Numerical methods for the discretization of random fields by means of the Karhunen-Loève expansion[J].Computer Methods Applied Mechanics and Engineering.2014(271)：109-129.

[8] SOIZE C. A computational inverse method for identification of non-Gaussian random fields using the Bayesian approach in very high dimension[J].Computer Methods Applied Mechanics and Engineering,2011(07).