“平面向量”的教學體會

原瑞

摘 要：平面向量是中學數學中的重要內容。結合教學實踐總結了平面向量教學中的三點體會。

關鍵詞：平面向量；數學概念；數形結合；類比

平面向量具有極其豐富的實際背景，是溝通代數、幾何與三角函數的橋梁，它在近代數學中是非常重要和基本的概念之一。通過平面向量這一章的學習，學生能夠更深地體會數學和現實生活以及其他學科的聯系，增強數形結合思想的應用，加深對數學本質的理解，體會數學運算的意義及應用價值，發展運算能力。通過平面向量的實際教學，認識到以下需注意的問題：

一、利用實際背景，突出概念的抽象概括

向量概念看似簡單，但往往學生不能很好地把握，主要是因為向量是既有大小又有方向的量，與學生以往熟知的長度、面積等數量概念不同，方向常常被忽略。向量的概念是從物理中的力、位移、速度等概念抽象出來的，教學中可以利用物理背景，結合學生的生活實際來引入概念，突出數學概念的抽象概括過程，更深刻地理解概念。如，在向量的基本概念教學中，結合圖示向學生提問：“一只老鼠以2米/秒的速度向西北方向逃竄，一只貓以3米/秒的速度向東追，貓能抓到老鼠嗎？”這樣學生自然而然體會到實際生活中有些量不但要考慮大小而且還要考慮方向，由此理解向量的概念，學生覺得生動有趣，效果比教師一味地用語言強調向量的方向要好得多。再如，向量的數乘運算教學中，提出問題：并作圖表示。通過這個實際問題，學生對結果有了直觀的認識：實數與向量的積的結果仍然是一個向量，繼而歸納定義。另外，向量加法的三角形法則、平行四邊形法則以物理中位移的合成及力的合成為背景，向量的數量積以物理中功的概念引入等。在教學中緊密結合概念的物理意義和實際背景，學生能很自然地順應、認同新概念。如果回避概念的產生過程，直接給出概念然后進入應用解題階段，會導致學生對概念一知半解，印象不深。

二、重視數形結合思想的運用

向量是數形結合的一個典范。向量用有向線段表示，向量的方向可以刻畫直線間的位置關系，向量的大小可以刻畫線段的長度。運用向量的方法可將幾何性質的研究轉化為向量的運算，使幾何問題通過向量運算得到解決，拓展了幾何的研究空間。教材中利用平面向量的數量積定義及坐標運算，簡潔地證明了兩角差的余弦公式、解三角形的余弦定理等，顯示了向量的優越性。

向量的運算和運算律引入后，向量的工具作用才能充分發揮。在教學過程中要注重強調運算的幾何意義。正因為向量運算的幾何意義，使得向量在解決幾何問題時發揮了很好的作用。例如，向量的加法運算中，對任意向量根據這個幾何意義，可以歸納向量共線定理，從而將向量的運算與直線的位置關系聯系起來。在向量教學中，教師要設置合理的情境幫助學生深刻理解向量的各種運算和它們的幾何意義，引導學生從數和形兩個方面思考，避免單一的思維模式，這樣才能更好地運用向量的運算來刻畫幾何對象。

三、滲透類比的數學思想

向量是一個集大小和方向于一體的量，是一個新的概念。向量的相關概念與學生以往所學的許多知識既有聯系又有區別。在教學中，可以通過類比的方式，讓學生充分體會這些區別和聯系，加深對新知識的認識。向量與數量的概念之間、運算體系之間、處理方法之間等，都可以進行類比。如，向量與數量、向量與有向線段、零向量與實數零、向量的長度與數量的絕對值、向量平行與直線平行、向量的加減法與實數的加減運算、實數的乘法與向量的數乘和向量的數量積、向量運算的運算律與實數運算的運算律等。比如，探究數量積的運算律時，先讓學生回憶實數乘法的運算律有哪些，然后思考在向量的數量積中這些運算律是否也成立？在說到結合律時，由于舊的知識思維定勢的作用下，大多數學生想當然地認為應該成立，個別學生有不同看法，引導學生根據向量的數乘運算和數量積的意義分析，等號左邊共線的向量，兩邊的向量不一定共線，等式不成立。這樣少數戰勝了多數，新舊知識之間產生了矛盾沖突，通過理性的推理而不是想當然的猜測，加深了對新概念的認識，防止負遷移的產生，使學生正確理解并運用向量的運算法則。

綜上所述，向量是重要的數學模型，也是重要的物理模型，它具有豐富的實際背景。教學時應注意創設豐富的情境，從向量的物理背景、幾何背景出發，建立學習向量的認知基礎，體驗數學知識的生成過程。向量集大小和方向于一身，融數和形于一體。向量的學習有助于學生運用代數幾何化，幾何代數化的方法思考問題，對于提高學生的思維品質和分析、解決問題的能力起著重要的作用。數形結合的思想方法應貫穿于本章始終。同時，教學中要特別注意將新舊知識進行類比，突出新、舊思維的矛盾，及時加以辨別、總結，從而正確理解向量的相關概念和運算。