淺析高等代數多項式理論的教學

張孝金　楊興東　昝立博

摘 要： 高等代數是數學專業學生的一門基礎課，它在學生的數學學習中起著至關重要的作用.但其中的多項式理論因極強的抽象性令眾多同學非常苦惱.本文從整數環的角度解釋高等代數中的多項式理論，通過對比學習，學生能夠更好地掌握多項式理論.

關鍵詞： 多項式 整數環 整環 素數 不可約多項式

一、引言

高等代數是數學專業學生的專業基礎課之一，它強調邏輯的嚴密性和計算的準確性.正因為如此，它在代數學、數值計算、最優化等學科中有著重要的應用.相對于計算的準確性，邏輯的嚴密性讓剛走進大學校門的新生倍感吃力.造成這一現象的最初原因就是多項式理論太抽象了.學生不知道這些理論從哪里來？為何會有如此多的定理？

注意到高等代數的教材中提到了多項式環的概念，并沒有給出相應的解釋，這給學生的學習帶來一定的困擾.本文將從環論的角度重新解釋多項式理論，使該理論更容易被更多學生接受.通過對比的學習，學生將能夠更好地掌握多項式的互素，最大公因式，不可約多項式，以及因式分解定理.

本文共分為兩部分，在第一部分，我們將回顧環的定義整環的定義及整數環的基本性質.在第二部分，我們將對照第一部分給出的有關整數環的結果給出多項式環的相關結果.

二、整環與整數環

在本節中我們將首先回顧環和整環的定義，然后給出整數環的性質.為了解決教材中的多項式環留下的疑問，我們需要給出以下定義：

定義 2.1 設R為一個非空集合，記RXR={（r，s）|r，s 為R中的元素}，設a： RXR------> R的映射使得a（r，s）=rs，則R被稱為群如果a滿足

（1）結合律成立，即對于R中任意的r，s，t有（rs）t=r（st）.

（2）左單位元存在，即存在R中的元素e使得對任意的R中的元素r ， er=r.

（3）左逆元存在，即對于R中任何的元素r存在r使得rr=e.

注記：非零有理數關于通常的乘法構成一個群.形如a的映射可以看成集合上的一種運算.

定義2.2 設R，RXR，a同上且b：RXR------> R的映射使得b（r，s）=r+s. R 被稱為一個環如果 a，b滿足：

（1）R關于加法構成一個ablian 群，也就是說R關于定義的′+′構成一個交換群.

（2）R關于乘法滿足結合律，即對于R中任意的r，s，t有（rs）t=r（st）.

（3）分配率成立，（a+b）c=ac+bc； c（a+b）=ca+cb.

注記：整數集關于通常的加法和乘法構成一個環.所有的一元多項式的集合關于多項式的加法和乘法構成一個環.

為了說明我們的主要結果，給出整環的定義.

定義2.3 一個環R成為整環如果它滿足：

（1）它的乘法可交換.

（2）它含有一個幺元 I，即Ia=a 對任意的R中的元素a成立.

（3）任意R中的非零元素a，b，ab≠0.

注記： 特別地，如果一個交換有幺元環R中的非零元素關于它的乘法構成一個群，則稱R為域.注意域必為整環，實數域，有理數域是域，都也是整環.

為了給出本文的主要結果，下面我們回顧整數環作為整環具有的性質.

定理2.4 設R整數環，則R滿足：

（1）對于任意的R中的元素m，n≠0存在q，r∈R使得m=qn+r其中0≤r

（2）對于任意的R中的元素m，n ，它們的最大公因子（m，n）存在且（m，n）=lm+pn，其中l， p 為R中的元素.

（3）對于任意素數p和任意的n， 都有p|n或者（p，n）=1.

三、一元多項式環的性質

本節中我們將研究數域P上的一元多項式環的性質.注意到P上的所有的一元多項式關于多項式的加法和乘法構成一個環P[X].下面證明P[X]是一個整環.

命題3.1 P[x]是一個整環.

證明：由定義2.3，我們只需要證明P[x]中交換有幺元且非零元之積不為零.由多項式的乘法可知，幺元為零次多項式 1且f（x）g（x）=g（x）f（x）.再由多項式乘法的定義可知若f（x），g（x）不為零，則f（x）g（x）≠0.

注意到整數環是整環，自然地問題是整環是否有類似定理2.1的性質呢？此部分近世代數將詳細講解.而多項式環也是特殊的整環，本文將考慮如下問題.

問題3.2 P[x]是否有類似定理2.4的性質？

下面我們給出高等代數第一章的主要定理.但我們不給出定理的證明，只給出如何與定理2.1對比.

定理 3.3 設P為一數域，P[x]為其一元多項式環.

對比說明：

（1）提示學生思考有沒有類似定理2.4（1）的結論.然后學生考慮如何改善定理2.4（1）中的余數比較大小的問題.這里要聲明多項式是沒法比較大小的，但是次數是可以的.

（2）這里要提示學生對比寫出類似的結論并用類似的方式證明.需要注意這里的最大公因式并不唯一，因此引進了首1的最大公因式.

（3）結合素數的定義，由學生給出對應的不可約多項式的概念，然后類似地證明相似的性質.

（4）有了（3）的引入，誘導學生自然地思考本命題的表達形式.并參考素數的證明給出證明.

四、結語

通過本文的論述，學生很容易知道這一章的所有結果不是憑空而來的，而是仿照整數環的理論類比而來的，同時學生也知道了環和域的概念.此外，關于整環上的問題3.2，給學生留下了懸念.

參考文獻：

[1]北大代數組.高等代數[M].北京：高等教育出版社， 2013，1-50.

[2]張禾瑞.近世代數基礎[M].北京：高等教育出版社，1978：1-85.

致謝：感謝國家自然科學基金青年基金（11101217）及江蘇省自然科學基金青年基金（BK20130983）的支持.