由一道中考題引發的教學思考

薛建彪

筆者參加了2015年蘇州市中考閱卷工作，所在的閱卷組批閱第24題，題目是一道較簡單的幾何題.學生對第1問的解法五彩紛呈，現對幾種典型的解法作評價分析.通過此題，筆者談談對教學的思考和啟發，與同行交流.

1.原題呈現

如圖，在△ABC中，AB=AC.分別以B、C為圓心，BC長為半徑在BC下方畫弧，設兩弧交于點D，與AB、AC的延長線分別交于點E、F，連接AD、BD、CD.

（1）求證：AD平分∠BAC；

（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的長度之和（結果保留）.

第1問標準答案提供的解法：由作圖可知BD=CD.

在△ABD和△ACD中，

AB=AC，BD=CD，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD（SSS）.

∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.

筆者本以為大多數學生能夠輕松地解答出第1問，但沒想到蘇州大市此題的平均分為5.15分（滿分為8分），得分較低.再看看學生的幾種典型解法：

學生1的解法：由作圖可知：BD=CD，又∵AB=AC，∴D點、A點都在BC的垂直平分線上，即AD為BC的垂直平分線，∴AD⊥BC，又∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD（三線合一），即AD平分∠BAC.

學生2的解法：由作圖可知：BD=CD，∴∠DBC=ACD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACD，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CD，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.

學生3的解法：過點D作DH⊥AE，DG⊥AF，由作圖可得：BE=BD=DC=CF=BC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠DBH=∠DGC，在△DHB和△DGC中，∠DHB=∠DGC，∠DBE=∠DCF，BD=DC，∴△DHB≌△DGC，∴DH=DG，又∵DH⊥AE，DG⊥AF，∴AD為∠EAF的角平分線，∴AD平分∠BAC.

學生4的解法：連接DE、DF，由作圖可得：BE=BD=DC=CF=BC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠DBE=∠DCF，∴△BED≌△CFD，∴DE=DF，在△AED和△AFD中，AE=AF，DE=DF，AD=AD，∴△AED≌△AFD，∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠BAC.

學生5的解法：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠DBE=∠DCF，∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠BAC.

2.分析與評價

2.1本題特點

筆者查閱了近4年來蘇州市基礎解答題中對三角形全等判定的考察，無一例外地都放在了四邊形中，學生似乎習慣了“直來直去”的圖形，處理起來游刃有余.然而，2015年出卷老師在四邊形的基礎上增添了圓的元素——弧，兩個基本圖形（四邊形、弧）“一直一彎”放在一起時，一部分學生就懵了，得出“BD=BA=BE”的結論，從而導致錯誤.

2.2學生的解法

學生1的解法中，抓住了特征條件：AB=AC，BD=CD，利用線段的垂直平分線的逆定理進行證明，方法另辟蹊徑，簡潔明了；學生2的解法運用三角形全等的判定條件邊角邊，雖然與標準答案中邊邊邊的解法相比，略顯繁瑣，但基本還在“通性通法”的范疇；學生3是通過構造到角的兩邊的垂線段，證明一次三角形全等得到垂線段長度相等，利用角平分線定理的逆定理得證；從學生4的解法中可以看出，此類學生雖然學會了三角形全等的證法，但不能靈活地篩選提取、組織有利條件，形成最佳方案解決問題；學生5的問題在于對圓的概念的理解不夠深刻，想當然地認為∠EAD和∠EBD是同圓或等圓中的圓周角與圓心角，缺乏學習幾何應該具備的“言之有據”的數學思維品質.

3.幾點思考與教學啟示

3.1在“通性通法”的基礎上培養學生發散性思維

章建躍博士指出：“‘通性’就是概念所反映的數學基本性質；‘通法’就是概念所蘊含的思想方法。教學中，注重基礎知識及其蘊含的數學思想方法，才是追求數學教學的‘長期利益’.”第1問要證明AD平分∠BAC，實質上是要證明∠BAD=∠CAD，學生最容易想到證明兩個角相等的“通法”就是證明兩個三角形全等，共有五種方法，結合圖形與條件，最簡便的方法就是利用三邊對應相等證明.然而，筆者欣喜地看到，學生1和學生3能夠抓住“角被平分”這一基本圖形，聯想到等腰三角形“三線合一”性質，運用線段的垂直平分線逆定理和角平分線逆定理證明，無不彰顯出這兩類學生優秀的發散性思維品質.因此，在日常課堂上，教師應該培養學生基本的“通性通法”意識，在此基礎上鼓勵學生采用多種方法解決問題，逐步發展學生的發散性思維.

3.2在預設基礎上關注生成，強化對比辨析，促進認知

教師除了要精心預設以外，更要關注教學生成.在日常教學中，伴隨教學進程的推進，一定會出現豐富的教學生成.這些生成是寶貴的教學資源，教師應密切關注及時收集、整理.通過實物投影、圖片上傳等方式將一些可用的對比素材及時呈現，并讓學生仔細觀察這些資源，通過自主探究、合作交流等方式充分辨析.比如，在上述案例中，教師可以將5種解法“對比呈現”，引導學生經歷觀察、辨析各種解法優劣（包括錯誤）的過程，讓學生感知不同解法的繁簡，促進學生對4種證明解法的認知，提升學生問題解決的有效性與合理性，完善學生的認知網絡.

3.3引導學生自主建構幾何概念，體會數學本質

一般而言，概念是同類事物本質特征的概括.讓學生經歷概念本質特征的概括過程，使學生有機會通過自己的觀察與思考，從具體事例中抽象出概念的本質特征進而獲得概念.幾何概念的獲得亦是如此.

案例：《圓》的集合定義教學片斷

教師：同學們小學里就學過了圓，能畫出圓的圖形嗎？動手畫一畫.

學生：（用圓規在紙上紛紛畫起來……）

（兩分鐘后）

教師：（從學生作圖中選取兩張）這兩個圓為什么一大一小？

學生1：因為它們的半徑大小不一樣.

教師：說明半徑決定圓的——

學生：大小.

教師：（拿出其中一張放在不同位置上）圓的位置由什么決定？

學生2：圓心.

教師：如何確定一個圓？

學生3：只要確定圓心（定點）和半徑（定長）.

教師出示問題：4個同學正在做投圈游戲，呈“一”字型排開，同時投圈，這樣的隊形對每個人公平嗎？你認為他們應該怎樣站，投圈才公平？說說理由.

學生4：他們可以按圓形站.

教師：想法很好！（出示圖1）為什么這樣站公平？

學生4：因為這4名同學到玩具（圓心）的距離都相等，都等于半徑長.

教師：如果換成100名同學游戲呢？

眾生：情況是一樣的.

教師：假設這4個同學到玩具的距離是1米，后來又來了兩個同學，他們到玩具的距離也是1米（如圖2），那么這兩個同學站在哪里公平？

學生5：還是圓上.

教師：如果來了100名同學呢？

眾生：圓上.

教師：類比這個游戲，誰來說說圓是由怎樣的一些點構成的？

學生6：到圓心（定點）的距離都等于半徑（定長）的一些點構成的.

教師：這樣的點有多少個？

眾生：無數個.

點評：學生在小學時已經對圓有了一定的認識，基本能夠運用圓規畫出圓的圖形，但要讓學生理解圓的集合定義則存在較大困難.因此，教師首先讓學生通過作圖經歷圓的形成過程及明確確定圓的兩個要素（圓心、半徑），然后設計了一個學生頗為熟悉、具體形象的“套圈”游戲，讓學生類比感知，自主建構出圓的集合定義“圓是到圓心的距離都等于半徑的點的集合”，體會圓概念的本質屬性，學生深刻理解了圓的概念，解法5的錯誤就會少很多.

對于中考題，人們常常關注的是它的考試功能，事實上，筆者認為，更應該關注的是學生解答中考題所反映出的問題，以及給教師日常教學帶來的反思和啟示.此外，從教師自身專業發展來看，這些也是教師專業成長的寶貴資源.

參考文獻：

[1]章建躍.如何實現“思維的教學”.中學數學教學參考：中旬，2015（4）：10-12.

[2]萬劍波.注重通性通法，促進學生的可持續發展.中學數學教學參考：中旬，2014（9）：67-69.