正態分布在高校成績分析中的應用

迮燕華

摘 要： 本文根據正態分布的峰度和偏度，檢驗成績是否服從正態分布，并對可能出現的四種情況進行相應的分析，通過實例驗證正態分布在成績分析中的重要作用。

關鍵詞： 正態分布 峰度 偏度 成績分析

一、成績正態分析的意義

成績分析在高校中有重要意義，一方面可以由此了解考試命題是否合理，成績評定是否科學，考試組織是否有問題等，從而為改進和完善考試工作提供重要的信息依據。另一方面可以進一步挖掘成績中存儲的信息資料，發現教學中存在的問題和不足，以促進教學改革和管理工作。

按照數理統計學的基本原理，考試成績的分布應該是正態分布。早在1963年，美國人卡羅爾（Carroll）就提出，對同一學生群體，在相同的教學和學習環境下，客觀真實的考試成績服從正態分布規律。由于客觀真實的考試成績服從正態分布規律，在進行成績分析時，就有規律可循，就可以根據“兩頭小，中間大”的正態分布特點，檢驗實際考試成績是否符合這一規律，從而根據這一規律查找原因與不足，并及時糾正。

二、正態分布的相關概念

正態分布（Normal distribution），又名高斯分布（Gaussian distribution），是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分布，在統計學的許多方面有重大的影響力。若隨機變量服從一個位置參數為、尺度參數為的概率分布，記為：則其概率密度函數為正態分布的數學期望值或期望值等于位置參數，決定了分布的位置；其方差的開平方或標準差等于尺度參數，決定了分布的幅度。正態分布的概率密度函數曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線。

偏度主要描述某總體取值分布的對稱性。偏度為0，表示該總體數據分布形態與正態分布的偏斜程度相同；偏度大于0，表示該總體數據分布形態與正態分布相比正偏或右偏，即有一條長尾巴拖在右邊，數據右端有較多的極端值；偏度小于0，表示該總體數據分布形態與正態分布相比為負偏或左偏，即有一條長尾拖在左邊，數據左端有較多的極端值。偏度的絕對值數值越大，表示其分布形態的偏斜程度越大。

峰度是描述總體中所有取值分布形態陡緩程度的統計量。峰度為0，表示該總體數據分布與正態分布的陡緩程度相同；峰度大于0，表示該總體數據分布與正態分布比較較為陡峭，為尖頂峰；峰度小于0，表示該總體數據分布與正態分布相比較為平坦，為平頂峰。峰度的絕對值數值越大，表示其分布形態的陡緩程度與正態分布的差異程度越大。

三、正態分布在成績分析中的應用

我們運用spss軟件計算出偏度系數和峰度系數，然后與spss軟件的參照數據0進行比較，從而檢驗成績是否服從正態分布。

在實際成績分析中，主要會出現以下幾種情況。

1.偏度>0，峰度>0，表示該成績數據分布形態與正態分布相比右偏且較為陡峭，即該成績數據在低分段過于集中。出現這種情況，可能的原因有試題較難，難點較多且較難；老師存在提分現象（提至60分）；老師出的試題與學生復習的重點不一樣，且學生過于注重課本內的知識，課外的較少；學生有“60分萬歲，多一分浪費”的觀念，等等。

2.偏度>0，峰度<0，表示該成績數據分布形態與正態分布相比右偏且較為平坦，即在低分段分布較為平坦。出現這種情況，可能的原因有試題過難；學生的整體學習效果較差，且學習水平不一，處于中游的學生不多。

3.偏度<0，峰度>0，表示該成績數據分布形態與正態分布相比左偏且較為陡峭，即在高分段過于集中。出現這種情況，可能的原因有試題過于簡單，難點少；老師考前劃題嚴重；學生的整體學習效果較好，等等。

4.偏度<0，峰度<0，表示該成績數據分布形態與正態分布相比左偏且較為平坦，即在高分段分布較為平坦。出現這種情況，可能的原因是試題過于簡單；學生的整體學習效果較好，且學習水平不一，處于中游的學生不多。

以我院某次期中考試的成績為例，醫學影像技術專業的《人體解剖生理學》與2013級全院學生的《英語》平均分分別為39.58和81.93。若僅從平均分說，我們的一般理解是英語考得比較好。但是如果比較兩門課程的偏度和峰度，就會看到一些表面上難以看出的問題。《人體解剖生理學》的偏度為0.510，峰度為-0.434，成績分布基本還是比較符合正態分布的，但是可能試題過難。而《英語》課程的偏度達到-1.984，峰度為5.697，整個成績分布出現嚴重的左偏，比正態分布更陡峭，可能試題過于簡單。由于這兩門課程的異常，我們對這兩門課程的試題和學生的學情進行了調查分析。

《人體解剖生理學》由于專業所屬系部與課程歸屬系部不同，任課教師對學情了解分析不夠，考前缺乏必要的針對性輔導，學生在學習主動性、學習方法和刻苦程度等方面略有欠缺，個別試題的確超出教學內容的范圍。《英語》則是期中考試前上課內容較少，考試內容70%在書上，老師給出的考試重點突出、針對性較強。

根據實際調查后的結果，與我們進行利用偏度和峰度進行正態分布檢驗得出的結果基本相同。由此可見，正態分布在成績分析中起到了重要的作用。

四、正態分布在成績分析中的局限性

正態分布在成績分析中還是有其局限性：

1.學生人數的多少，學生人數越多越趨向于正態分布規律，故有些小專業學生人數較少，是不適用于運用正態分布來對成績進行分析的。

2.運用正態分布對成績進行分析，有助于了解和掌握學生對于相關課程的學習狀況，對于改進教學實踐活動、提高教學質量具有重要意義。但是具體每個知識點、每個學生的掌握程度，卻無法了解。

所以在實際成績分析中，要借鑒正態分析，但是又不能完全依賴正態分析。

參考文獻：

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