一道經典證明題剖析

陳宏志

問題背景：義務教育課程標準試驗教科書八年級下冊復習題19最后一題，即第122頁第15題.

如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線，求證：AE=EF.

圖1 圖2

分析：顯然AE與EF相等的數量關系，急需二者分別所在的形狀——三角形之間的形狀關系決定，圖中AE與EF直觀的三角形不能全等，因此需構造全等的三角形來證明，由條件∠AEF=90°易得∠BAE=∠FEC.由此構造EF所在的直角三角形與Rt△BAE全等的三角形，即過點F作FG上BC交BC延長線與G，由條件可知構造十分正常，如能證明Rt△PEG≌Rt△EAB，問題就能解決.圖中兩個直角三角形對應角相等，但在邊的元素上要對應相等實屬困難，看來構造與Rt△BAE全等困難.當這種構造思路出現障礙時，不得不另辟蹊徑，與△ECF全等的三角形呢？要知道∠ECF=135°，為特殊角且有∠CEF=∠BAE，利用要證的AE=CH，且∠AHE=∠ECF=135°，連接EH則易證△AHE≌△ECF，此法為課本上提示之法，顯然有如圖2所示構造出的輔助線.

變式：如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（出B、C外）的任意一個點”，其他條件不變，那么結論“AE=EF”仍然成立嗎？

類比在AB上截取AH=EC，連接EH證△AHE≌△ECF即可.

義務教育階段的正方形的素材中，像這樣經典題如果就滿足于這樣簡單的研究，不是新課程標準所提倡的.由于正方形這個這個特殊的平行四邊形有著美妙的性質，因此猜想，證明是否還有獨到的方法呢？假如還有其他方法，如何突破？還是從最特殊的中點找感覺.

正方形的對角線性質豐富，如圖3嘗試連接對角線，先連AC，將AE構置于△AEC中，顯然△AEC與△ECF不全等，能否構造出于△ECF全等的三角形？再嘗試連接BD交AC于O，連接EO，正方形的性質展現著其威力，與△ECF全等的三角形不知不覺中構造出來，根據尋找對應元素相等的原則，于是延長PC過點E作FB⊥BC交FC的延長線與點G，即構造△EGF≌△ECA，如圖4輔助線構造.從圖中由大截小，大補小的感覺能否推廣到一般呢？

圖3 圖4

連接AC，過點E作EH⊥BC交FC的延長線于G，關鍵是過點E作垂線，如此類比推廣此題才有點新味.

還有別的途徑嗎？思維既興奮又抑制，不知路在何方，此時更需回到母題，如能換視野看看，那才是真功夫.最初簡單的構造沒有成功，能否給我們別的方向，如把AE連接起來，此圖形結構多像趙爽弦圖的一部分，用“勾股定理”能證明嗎？

圖5 圖6

過點F作FH⊥AB于H，交DC于L，設AB=2a，FL=FG=x，由∠AEF=90°，得AF■=AE■+EF■，即（2a+x）■+a■=（2a）■+a■+（a+x）■+x■ X=a，即FG=EC=BE，Rt△ABE≌Rt△EGF，即得剛才猜想的驗證.這個證明方法能否推廣？設AB=a，EC=x，CG=y，同理AF■=AE■+EF■，（a+y）■+（a-y）■=a■+（a-y）■+（x+y）■+y■得x（x+y-a）=0，因為x不等于0，則a=x+y，即AB=EG，故得證.

題目慢慢品，味道就出來了，完美的正方形給大家以挑戰，當用智慧的雙眼欣賞那美妙的風景，那種身心的愉悅爽朗無以言表.對于以正方為背景的證明，只要你牢牢抓住正方形的性質，并利用數形結合思想，大膽地嘗試構造，探究更多的方法，相信定能收獲智慧成果.新課程標準下，正是要求我們做好素材的整合，扮演好引導者的角色，因此，大膽預言，隨著知識的加深，學生對此題的證明必會有更妙的方法.

參考文獻：

[1]義務教育課程標準實驗教科書及八（下）教師用書.

[2]G.波利亞.數學猜想.

[3]江蘇省教育廳主辦.初中數學教與學.