用《幾何畫板》進行數學解題教學的合理性分析

程偉

摘 要： 文章分析了問題解決的一般心理過程和幾何畫板的特點，從幾何畫板對問題表征的合理性和解題策略選擇的有效性兩個方面論述了幾何畫板在解題教學應用中的合理性。

關鍵詞： 幾何畫板 問題解決 問題表征 解題策略

傳統教學方法下，數學解題教學的典型特征是教師講解數學問題，呈現解題過程，學生進行大量練習，提高解題能力。在結構簡單、數學關系直觀明了的數學問題下，通過大量地講解與練習可達到一定的效果，而對于結構復雜、數學關系較抽象的數學問題則只有少數學生才能理解其解題過程和解題原理。能否借助計算機提高問題解題教學的有效性，讓更多的學生直觀地理解數學問題，合理地表征數學問題，整體地把握數學問題呢？

1.數學問題解決的一般心理過程

根據認知心理學家的觀點，數學問題解決可概述為在數學概念、命題學習的基礎上，通過對問題進行初始狀態表征，提取與問題有關的知識和經驗，選擇解題策略和方法，進行初始表征狀態的修正、模式的匹配等操作后，直至達到問題目標狀態的探究活動。所以數學問題解決的過程就是從問題初始狀態到最后目標狀態的過程。紐維爾和西蒙把這些認知狀態組合在一起稱為“問題空間”，所以問題解決的本質就是對問題空間的搜索。

在整個問題解決的過程中，首先，解題者要能對問題進行合理的初始狀態表征，表征方式可以是命題、圖像等，表征一般以內在的形式存在于大腦中、紙質上乃至計算機上。然后，儲存在工作內存的信息開始激活個體長時記憶系統中的知識和經驗，提取與該問題有關的知識，選擇有關的解題策略和方法，進行探究并修正初始狀態的表征，選擇大腦中已經解決的問題模式與之匹配。最后，達到問題的目標狀態。在數學問題解決的心理過程中，受阻主要表現在如下方面：問題的表征、相關知識的激活與提取、解題策略的選擇、已有模式的豐富程度與匹配的可能程度。幾何畫板能幫助學生合理表征問題，有效激活相關知識，讓學生采用適當的解題策略進行合理探究，建立完善直觀的問題模式，豐富學生問題化歸的途徑。

2.幾何畫板的特點

數學最大的特征是對事物在變化中不變性質的研究，而幾何畫板操作系統的設計正是出于數學的這一特征，所以在幾何畫板提供的操作環境中能保證數學的這一特點。具體地說，變化中保持數學關系的不變，即：不管圖形如何變化，而事先給定的所有數學關系都保持不變，這樣更有利于學生對數學知識的變化中不變性的把握，深入數學的精髓，突破了傳統教學的難點。這使得用幾何畫板制作的數學問題解決教學的課件能生動形象、直觀具體地從根本上揭示數學問題結構的本質特征。符合學生的認知特點，實現了數學思想的動態直觀表現，使數學從靜態到動態，從抽象到直觀，從微觀到宏觀，從定性到定量的轉換，便于學生聯系地、整體地思考和把握數學問題。

3.幾何畫板能促進學生進行合理的問題表征

問題表征是指人們在解決問題時所使用的一種認知結構，具有多種形式（Chi，& Feltovich & Glsaer，1981），包括對問題的敘述、推理和抽象概括，具體表現為對問題、問題的條件與結論及問題狀態轉化過程中產生的知識與關系的呈現。問題解決的典型特征是生成合理的問題表征，而合理的問題表征必須滿足如下三個條件：①表征與問題的真實結構相對應；②表征中的各個問題成分被適當地結合在一起；③表征結合了問題解決者的其他知識。因為幾何畫板在課件制作過程中必須滿足問題所應有的數學關系，并且在保持了這些數學關系的同時將問題的各個部分結合在了一起，所以用幾何畫板可以合理進行問題表征。在幾何畫板的背景下，學生能動態直觀地理解和把握數學問題，所以幾何畫板能促進學生合理進行問題表征。

4.幾何畫板能促進學生對解題策略的選擇和問題模式的識別

解題策略的選擇是問題解決的關鍵所在，解題策略包括一般的思維方式（觀察與實驗，比較與概括，分析與綜合，一般化與具體化等）、探索策略（取特殊情況嘗試，分離與組合，動員與組織等）、數學思想方法（分類討論，數形結合，化歸轉化等）和技巧（換元，分離常數等）。最終把要解決的問題歸結為已經解決的某種問題模式，可以說問題解決的實質是模式識別。所謂模式是指若干元素或成分按照一定關系形成的某種刺激結構，也可說模式是刺激的組合。模式識別過程就是感覺信息與長時記憶中的項目有著最佳匹配的過程。所以要成為一位優秀的問題解決者必須掌握一定的解題策略，能合理地辨認和使用解題策略，并在長期的問題解決中儲存更多的問題模式，能很好地辨認原有模式與眼前問題的聯系與區別，建立良好的匹配關系。

幾何畫板本身就是一個探究平臺，它能在保持數學問題的結構關系下，動態地呈現問題的整體結構特征，在變化中實現觀察與實驗的探究，促進數形結合的處理，啟發分類討論的解題策略等功能。能從宏觀上感觸到問題從初始狀態到目標狀態的轉化，從一定的高度認識問題空間，也能從微觀的角度感受到任意兩個空間狀態的轉化過程。

通過上述分析可以認為，用幾何畫板進行數學解題教學是符合學生認知特點的，有助于促進學生進行合理的問題表征，豐富學生的表征方式，激發學生探究數學問題的興趣，能直觀感知問題空間中問題表征狀態轉化，促進解題策略的選擇，豐富便于激活的問題模式。

參考文獻：

[1]喻平著.數學教育心理學[M].南寧：廣西教育出版社，2008：233.

[2]鮑建生，周超著.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2010：184，185，191.