中心極限定理的教學

李紅英

摘 要： 中心極限定理是概率論與數理統計課程中一個重要的定理，也是學生學習過程中的難點，因此教學也有一定的難度.本文首先分析學生學習的主要困惑，其次針對性地理解了中心極限定理的實質，教學過程中設計了具體事例鼓勵學生自主發現探索，從而對中心極限定理容易接受，最后用實例鞏固中心極限定理的應用.

關鍵詞： 中心極限定理 正態分布 自主探索 概率近似

中心極限定理是概率論與數理統計課程中一個重要的定理，銜接著概率論知識與數理統計的相關知識，是教學中的一個難點.利用中心極限定理，數理統計中許多紛亂復雜的隨機變量序列和的分布都可以用正態分布進行近似，而正態分布有著許多完美的結論，從而可以獲得實用且簡單的統計分析方法和結論.然而，由于中心極限定理的教學課時少而定理本身又較抽象，學生很難在短時間內理解該定理并能夠加以應用.為此，不少教師對該內容進行了探討.本文結合學生的基礎和知識結構，產生的疑惑，以及教學的需要，提高學生的應用能力，對該定理的教學方法進行探討.

一、學生學習中心極限定理的困難

中心極限定理這一節的教學目標是要求學生理解中心極限定理，并熟練運用該定理進行事件概率的近似計算，然而在講解這一內容只有2個課時，學生又不熟悉相應的概率基礎，導致無論是數學專業還是非數學專業的學生對該知識點都存在疑惑，主要表現在：不知道中心極限定理是什么意思，具體形式是什么，怎么用.針對這三方面的問題，教師首先應該要理解深刻，概括恰當，簡明扼要.

1.中心極限定理的背景

在實際問題中，許多隨機現象都是由大量微小的相互獨立的隨機因素綜合影響所產生的，比如誤差受到材料、環境、設備、操作者等因素的影響，每個因素都是微小的、隨機的，但綜合起來就產生實驗過程中的誤差，即誤差是大量的隨機因素的總和，我們關心誤差就是關心大量獨立隨機變量和的問題.中心極限定理告訴我們，大量獨立隨機變量和的極限分布是正態分布.這一點突出了正態分布在概率論與數理統計中的重要地位，在應用中凸顯了正態分布的許多優勢，同時在總體為非正態的統計問題中發揮著重要的指導作用.在實際問題中，首先分析隨機現象，將其可分解成大量的隨機變量的和，那么無論隨機變量服從正態還是非正態，其和近似看做正態分布，進而求相關的概率計算問題.學生對此不理解，主要是因為太抽象、太籠統，在教學中可讓學生自主探討，發現總結.

2.中心極限定理的具體形式

中心極限定理探討的是隨機變量和的極限分布，教材中給出了不同條件下的中心極限定理的多種結論，其形式復雜，證明繁瑣，但總結起來本質是一個形式.

棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理是Lindeberg-Levy中心極限定理的特例，兩個中心極限定理歸根到底是說獨立同分布的隨機變量和的極限分布為正態分布，可變形為標準正態分布.

3.中心極限定理的應用

學生對中心極限定理內容不理解，也導致無法將理論用于實踐，偶爾的依葫蘆畫瓢并沒有掌握其實質.中心極限定理常用作概率近似計算，需要根據問題的實際含義定義多個隨機變量并給出分布，然后變為獨立隨機變量和，再利用中心極限定理和正態分布的查表求概率.只有在教學中選擇恰當的例題，深入分析，合理總結，才能取到良好的效果.

中心極限定理包含極限理論，因此理論上利用中心極限定理處理極限問題.在經濟問題中，質檢問題中也有廣泛的應用.教學中可引申生活實際等有趣的問題，讓學生體會學以致用的樂趣.

二、中心極限定理的教學設計

首先利用簡單的引例，讓學生自主探索，總結規律.

例1：有一個總體X，它是取值于[2，8]的隨機數，在等可能被取出的假設下，總體X的分布為均勻分布U（2，8）.

學生自主觀察直方圖的特點，得出的規律是“中間高，兩邊低，左右基本對稱”.

比照正態分布的密度曲線：

上述直方圖輪廓曲線，用如下概率函數表示關于u對稱的鐘形曲線最合適.

將這一規律概括起來就是中心極限定理：

其具體形式體現出三個定理.

（1）中心極限定理是用極限理論反映的一個重要定理，其優勢體現在非正態分布或不知道分布類型時，為數理統計的學習奠定基礎.

（2）主要應用兩方面：第一，求隨機變量之和落在某區間的概率；第二，已知隨機變量之和的概率，求.

（3）解題中分析隨機總體可分解為許多獨立隨機變量的和的形式甚為關鍵.

例2：某保險公司有2500個人參加保險，每人每年付1200元保險費，在一年內一個人死亡的概率為0.002，死亡時其家屬可向保險公司領得20萬元，問保險公司虧本的概率.

學生處理實際問題的難點就在于不知如何進行問題的轉化.提示兩點：第一，將問題用隨機變量表示，每個人參保是隨機的獨立的，如何刻畫？第二，保險公司所得的總收益如何表示，學生經整理后發現，所求總收益正好可以看成2500個獨立同分布隨機變量之和，n=2500足夠大，故想到用中心極限定理將其近似為正態分布.求出變量和的期望和方差，利用正態分布查表求概率.

為了加強對中心極限定理的理解和鞏固，對學生提出如下思考：

2.列舉貼近生活實例，讓學生鞏固練習，加以總結.

3.學有余力拓展中心極限定理的應用領域.

通過本節的學習，讓學生自主發現規律，善于總結，容易接受，形成解決實際問題的統計思維，熟悉中心極限定理和正態分布相關理論很有必要.

參考文獻：

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