第9講 “動態幾何問題”復習精講

薛鶯 陳鋒

專題精講

幾何動態問題是以幾何知識和圖形為背景，滲透運動變化的一類幾何問題，它集質點的運動、線段的移動、圖形的變化、探究存在性、開放性于一體，集幾何、代數知識于一體，是數與形的巧妙結合.此類問題常常情景新穎、解法靈活、難度大、思考性和挑戰性強，能更好地考查同學們的綜合能力，近年來備受各地中考命題者的青睞.

解決幾何動態問題需要建立發展的動態觀和特殊的靜態觀，建立函數模型或方程模型，用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運動與變化的全過程.抓住圖形位置、數量關系的“變”與“不變”的特征，一方面要注意將運動過程中的各個時刻的圖形分類畫圖，由“靜”變“動”、由“動”變“靜”、“動”“靜”轉換：另一方面還要善于抓住在運動過程中某一特殊位置（靜態）的等量關系和變量關系，通過探索、歸納、猜想，獲得圖形在運動過程中保留或具有某種不變關系或特殊關系以及特定的限制條件.

重點題型例析

一、在靜態圖形中運用動態思雒，尋找信息源

例1 如圖1，已知△ABC是邊長為6 cm的等邊三角形，動點P、Q同時從4、B兩點出發，分別沿AB、BC勻速運動，其中點JD運動的速度是1 cm/s，點Q運動的速度是2 cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設運動時問為￡（s），解答下列問題：

反思：運用動態思維從問題的靜態信息中找到切入點，學會“靜中觀動”，“靜中思動”，根據圖形在運動變化的過程中的特點，適時地引人參數，則點、線、面的運動變化可通過參數的變化表現出來，從而使問題得以解決，

二、在動態幾何問題中捕捉靜態瞬間，提煉特殊點

例2 （2013.武漢）如圖2，E，F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足A E=DF，連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是

.

解析：做動態幾何題要養成的基本習慣——首先區分“動”與“不動”.正方形ABCD及對角線BD不動.E、F、G、H四點都動，但AE=DF的關系不變.再看是否有隱含的“不變”，仔細觀察圖形特點，憑直觀不難猜想到似乎有AH上BH，暫且以此為目標進行推理，易證△ABE≌△DCF.△ABC≌△CBC.故∠BAH+∠ABH=∠BCG+∥DCC=∠ BCD=900.則∠A HB=900，猜想正確，進而點H運動在以AB為直徑的半圓O上，如圖3，由直觀可知連接OD交半圓于H，，DH1=、/丁-1即為所求的最小值.

反思：由于“動態”的存在，在明確了動態全程的基礎上，根據運動特點和規律，通過觀察，比較分析圖形，找出圖形特殊的位置關系，畫出特殊的位置下的圖形后，就將動態的問題轉化成了靜態的圖形問題，這樣就可以更直觀地進行研究了.解決此類問題關鍵就是要善于在動態問題中，捕捉運動中的“靜態”瞬間，提煉特殊位置的“靜態”的不變量，從而達到解題的目的.

三、“以動制動”建立函數關系式，確定分界點

例3 如圖4，在平面直角坐標系中，四邊形OA BC是矩形，點B的坐標為（4，3）.平行于對角線AC的直線m從原點D出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設直線m與矩形OA BC的兩邊分別交于點M、N，直線m運動的時間為t（秒）.

（1）點A的坐標是____ ，點C的坐標是____.

（2）當t=____秒或____秒時，MN=1Ac.

（3）設△OMN的面積為Js，求S與t的函數關系式.

（4）探求（3）中得到的函數S有沒有最大值？若有，求出最大值：若沒有，要說明理由.

解析：本題應抓住直線在平移過程中保持的位置關系和數量關系.運用動態的觀點，將各個時刻的圖形分別畫出來，建立函數關系，再設法分別求解.

（1）應依次填（4，0），（0，3）.

（2）應依次填2，6.

（3）運用動態的觀點，將各個時刻的圖形分別畫出來.

反思：“以動制動”就是根據運動圖形的變化規律建立不同的函數關系，通過研究函數，用聯系發展的觀點來研究變動元素之間的關系.分類畫圖的方法在解決此類動態幾何題中非常有效，它可幫助我們理清思路，各個擊破.提煉出不同圖形下的函數關系，迅速把握問題實質，從而達到解題的目的.

中考命題預測.

1.如圖6，已知等腰直角△ABC的直角邊長與正方形MNPQ的邊長均為20 cm，AC與MN在同一直線上，開始時點A與點N重合，讓△ABC以每秒2 cm的速度向左運動，最終點A與點M重合，則重疊部分面積y（cm2）與時間t（s）之間的函數關系式為____.

2.如圖7，已知OO的半徑為6 cm，射線PM經過點O，OP=IO cm，射線PN與OO相切于點Q.A，B兩