第8講 “綜合與實(shí)踐問(wèn)題”復(fù)習(xí)精講

劉東升

專題精講

2015年中考將第一次根據(jù)《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)2011年版”）開展命題工作.“課標(biāo)2011年版”塒丁“綜合與實(shí)踐”有明確的規(guī)定，比如“結(jié)合實(shí)際情境，經(jīng)歷設(shè)計(jì)解決具體問(wèn)題的方案，并加以實(shí)施的過(guò)程，體驗(yàn)建立模型、解決問(wèn)題的過(guò)程，并在此過(guò)程中，嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題：會(huì)反思參與活動(dòng)的全過(guò)程，將研究的過(guò)程和結(jié)果形成報(bào)告或小論文，并能進(jìn)行交流，進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).”相信圍繞相關(guān)要求的考查“綜合與實(shí)踐”方面的中考試題一定會(huì)在2015年得到進(jìn)一步的重視和強(qiáng)化，比如對(duì)實(shí)際情境問(wèn)題選擇、建立模型，解決問(wèn)題：或者嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的考查；或者引導(dǎo)傾聽參與問(wèn)題解決的過(guò)程；或者在數(shù)學(xué)操作活動(dòng)中獲得活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查.下面我們選擇相關(guān)考題歸類講解，反思解題思路、思維陷阱或者易錯(cuò)點(diǎn)分析.

重點(diǎn)題型例析

一、建立模型解決情境問(wèn)題

例l （2014.陜西）問(wèn)題探究：

（l）如圖1.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4.如果BC邊上存在點(diǎn)P，使△APD為等腰三角形，那么請(qǐng)畫出滿足條件的一個(gè)等腰△APD，并求出此時(shí)BP的長(zhǎng).

（2）如圖2，在△ABC中，∠ABC=60。，BC=12，AD是BC邊上的高，E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn).當(dāng)AD=6時(shí).BC邊上存在一點(diǎn)Q，使∠ EQF=90。，求此時(shí)BQ的長(zhǎng).

問(wèn)題解決：

（3）有一山莊，它的平面圖為如圖3的五邊形ABCDE，山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點(diǎn)M安監(jiān)控裝置，用來(lái)監(jiān)視邊AB.現(xiàn)只要使∠AMB大約為60。，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳.已知∠A=∠E= ∠D=90。，AB=270 m，A E=400 m，ED=285 m，CD=340 m.問(wèn)：在線段CD上是否存在點(diǎn)M.使∠AMB=60。？若存在，請(qǐng)求出符合條件的DM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：第一步，“開放答案想意圖，預(yù)熱蓄勢(shì)向上登”. 由于問(wèn)題只要給出一個(gè)符合要求的答案，所以是比較簡(jiǎn)單的.但是值得深入思考的是，有幾個(gè)點(diǎn)是符合要求的呢？根據(jù)等腰三角形第三個(gè)頂點(diǎn)的分類方法，如圖4，以AD為腰（再細(xì)分點(diǎn)A、D為頂點(diǎn)）、以AD為底進(jìn)行分類，容易得出三個(gè)可能的解答，進(jìn)一步根據(jù)勾股定理可求出相應(yīng)的BP的長(zhǎng)（BPl=4-、/7，BP2=2，BP3=、/7）.這樣的思考對(duì)于后續(xù)問(wèn)題的求解是有幫助的.

第二步，“思路引向圓周角，上下呼應(yīng)再求值”，

（2）由于菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，故在折疊的時(shí)候想到先折出∠BCA的平分線，確定D點(diǎn)，再由CD的垂直平分線確定另外兩個(gè)頂點(diǎn)E、F

先折∠ACB的平分線（使CB落在CA上），壓平，折線與AB的交點(diǎn)為D；再折DC的垂直平分線（使C與D重合），壓平，折線與BC，CA的交點(diǎn)分別為E、F如圖10.展平后四邊形DECF就是菱形，

理由：由CB落在CA上，折線與AB的交點(diǎn)為D.故∠ACD=∠BCD.由點(diǎn)C與D重合，折線與BC，AC的交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F，可得CF=DF=DE=CE.即四邊形DECF為菱形.

反思：這道操作題，實(shí)質(zhì)是一個(gè)比較傳統(tǒng)的平行四邊形的判定，動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的四邊形面積的最值的問(wèn)題，解決問(wèn)題的方法主要是應(yīng)用平行四邊形的判定方法，以及通過(guò)銳角三角函數(shù)及相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，用一條線段的長(zhǎng)表示出其他線段的長(zhǎng)，然后把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值.當(dāng)前不少中考試題都是“新瓶裝舊灑”，有一雙“火眼金睛”就能洞察問(wèn)題本質(zhì)，快速求解.

四、探塞活動(dòng)與思維經(jīng)驗(yàn)的考查

例4【傾聽理解】

這足一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，兩個(gè)同學(xué)利用計(jì)算機(jī)軟件探索函數(shù)問(wèn)題，下面是他們的交流片段：免知識(shí)堆砌、圖形繁雜，還要加強(qiáng)各個(gè)小題之間的關(guān)聯(lián)與和諧.所以先利用閱讀理解的形式呈現(xiàn)并探究了一些簡(jiǎn)單性質(zhì)，這些探究又為“拓廣探索”提供了求解方向，比如，第（2）問(wèn)需要另求函數(shù)關(guān)系式，第（3）問(wèn)暗示學(xué)生“MN與m的函數(shù)關(guān)系”.此外，以函數(shù)為載體，入乎其內(nèi)求深入，又要出乎其外思拓展，再如在前兩問(wèn)中以線段的比值為探究形式，最后一問(wèn)以等邊三角形、圖形面積為探求表象，也是想在函數(shù)平臺(tái)上溝通圖形之間的關(guān)聯(lián).

中考命題預(yù)測(cè)

1.將一正方形紙片，按如圖14步驟①、②，沿虛線對(duì)折兩次，然后沿③中的虛線剪去一個(gè)角，展開鋪平后的圖形是（）.

2.如圖15.已知在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上.BE=2CE，將矩形沿著過(guò)點(diǎn)E的直線翻折后，點(diǎn)C、D分別落在邊BC下方的點(diǎn)C’、D'處，且點(diǎn)C'、D'、B在同一條直線上，折痕與邊AD交于點(diǎn)F，D'F與BE交于點(diǎn)G.設(shè)AB=t，那么△EFG的周長(zhǎng)為

（用含t的代數(shù)式表示）.

3.【問(wèn)題提出】

學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊的其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究，

【初步思考】

我們將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對(duì)∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究.

【深入探究】

第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)，△ABC≌△DEF

（1）如圖16①，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90。，根據(jù)____ ，可以知道Rt△ABCU≌Rt△DEF

第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF

（2）如圖16②，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角.求證：△，ABC≌△DEF

第二步，如圖17②，把這個(gè)正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再把紙片展平，

第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對(duì)角線AB，并把它折到圖17③中所示的AD處.

第四步，展平紙片，按照所得的D點(diǎn)折出 DE，如圖17④.……

【問(wèn)題解決】

（1）圖17③中AB=____cm.

（2）你發(fā)現(xiàn)圖17④中有幾個(gè)黃金矩形？請(qǐng)都寫出來(lái)，并選擇其中一個(gè)說(shuō)明理由.

（3）在圖17③中，連接BD，以AQ、BD為兩直角邊作直角三角形，求該直角三角形斜邊的長(zhǎng).