第5講 “圖形的變化”復習精講

康松

5.1 圖形的對稱

核心知識梳理

圖形的對稱主要內容包括軸對稱與中心對稱的有關概念、性質與應用，垂直平分線、角平分線等基本圖形的概念、性質與判定，作對稱圖形及圖案設計，對稱點的坐標的關系等.

重點難點考點易錯點解析

中考中對圖形對稱的考查，既有以選擇、填空題形式出現的難度較小的基礎題，也有依托于三角形、四邊形、函數圖象、圓等內容命制的中、高難度的綜合題，還有一些題目要求在網格中畫I對稱圖形，開放的圖案設計題和圖形的折疊與拼圖問題也是中考中的熱點題型.主要考查圖形對稱的性質、相關的圖案設計、與圖形的對稱相關的計算和邏輯推理證明等，考查對稱畫圖和棚關的推理計算以解答題為主，圖形對稱的性質是重點，如識別生活中的圖案或幾何圖案是否具有對稱特征、對稱的應用、利用對稱設計圖案、用坐標表示對稱等都是圍繞這一性質進行的.在作對稱圖形時，要注意對稱軸及其對稱點，要正確確定關鍵點.對稱圖形與兩個圖形成對稱這兩個概念間的區別是一個難點：對稱圖形指的是一個具有特殊形狀的圖形，而兩個圖形成對稱指的是兩個圖形之問的位置關系，它們之間可以互相轉化.從運動的角度來看，成對稱的兩個圖形的任何一個可以看作由另一個圖形經過對稱得到，一個對稱圖形也可以看作以它的一部分為基礎經過對稱拓展而成.

規律方法總結

圖形的對稱是全等變換，全等的圖形不一定是對稱的，但對稱的兩個圖形一定是全等的.要深入理解圖形的對稱的概念與性質，分析圖形變換時的不變量，加強與其他數學知識的聯系，探討解決圖形對稱問題的方法和規律.提高探究能力.

重要考點題型例析

一、設計圖案

例1 （2014.荊門）如圖l，在4x4的正方形網格嚕-，每個小正方形的頂點稱為格點，左上角陰影部分足一個以格點為頂點的正方形（簡稱格點正方形）.若再作一個格點正方形，并涂上陰影，使這兩個格點正方形無重疊.且組成的圖形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，則這個格點正方形的作法共有（）.

A.2種

B.3種

C.4種

D.5種

解析：固作出如圖2所示的四個格點正方形，可使組成的圖形是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，即這個格點正方形的作法共有4種.故選C.

反思：此題主要考查了利用軸對稱以及中心對稱沒計圖案，正確把握相關定義足解題關鍵，利用軸對稱圖形的性質以及中心對稱圖形的性質分析得出符合題意的圖形即可，注意網格不是所要求的圖形.

二、中心對稱圖形

例2 （2014.聊城）如圖3，在平面直角坐標系中，將△ABC繞點P旋轉180。，得到△A1B1C1，則點A1，B1，C1的坐標分別為（）.

A. A1（ -4 ， -6） ，B1（ -3 ，-3） ，C1（ -5 ，-1 ）

B. A1（-6，-4） ，B1（-3 ，-3） ， C1 （ -5 ，-1 ）

C. A1（-4 ， -6） ，B1（-3 ，-3 ） ，C1（-l ，-5 ）

D. A 1（-6，-4） ，B1（-3 ，-3） ， C1（-l ，-5 ）

解析：將△ABC繞點P旋轉180。，得到其中心對稱圖形△A1BlC1，根據網格結構找出點A，B，C關于點P的對稱點A1，B1，C1的位置，再根據平面直角坐標系寫出坐標即可，△A1B1C1如圖4所示，A1（-4，-6），B1（-3，-3），C1（-5，-1）.故選A.

反思：本題考查了中心對稱圖形，熟練掌握網格結構準確找出對應點的位置是解題的關鍵.

軸對稱最短路線問題

例3 （2014.資陽）如圖5，在邊長為4的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點，且AE=3，點Q為對角線AC上的動點，則△BEQ周長的最小值為_____.

解析：連接BD，DE，如圖6.由四邊形ABCD足正方形，可知點B與點D關于直線AC對稱，故DE的長即為BQ+QE的最小值.因DE=、（）=5，故△BEQ周長的最小值=DE+BE=5+1=6.

反思：本題考查的是軸對稱最短路線問題，熟知軸對稱的性質是解答此題的關鍵.連接BD，DE，根據正方形的性質可知點B與點D關于直線AC對稱，故DE的長即為BQ+QE的最小值，進而可得出結論.

四，軸對稱的性質

例4（2014.新疆）如圖7，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90。、E為AB上一點，分別以ED，EC為折痕將兩個角（∠A，∠B）向內折起，點.A，B恰好落在CD邊的點F處.若AD=3，BC=5，則EF的值是（）.

A. ＼/Ts

B. 2＼TB

c.＼/l7

D. 2 ＼[17

解析：先根據折疊的性質得EA =EF，BE=EF，DF=4 D=3.CF=CB=5，則AB=2EF，DC=8，再作DH⊥BC于H，如圖8，由于AD∥BC，∠B=90。，則可判斷四邊形ABHD為矩形，所以DH=AB=2EF，HC=BC-BH=BC-AD=2，然后在Rt△DHC中，利用勾股定理計算出DH =2、/15所以EF=＼/15.故選A.

反思：本題考查了折疊的性質，也考查了勾股定理，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等，

中考命題預測

1.正方形的對稱軸的條數為（）.

A.1

B.2

C.3

D.4

2.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）.

3.△ABO與△A1B10在平面直角坐標系中的位置如圖9所示，它們關于點0成中心對稱，其中點A（4，2），則點A，的坐標是（）.

A.（4，-2）

B.（-4，-2）

C.（-2，-3）

D.（-2，-4）

4.如圖10所示，把△ABC經過一定的變換得到△A'B'C’，如果△ABC上點P的坐標為（x，y），那么這個點在△A'B'C'中的對應點P'的坐標為（

）.

A.（-x，y-2）

B.（-x，y+2）

C.（-x+2，-y）

D.（-x+2，y+2）

5.如圖1 1，銳角三角形ABC中，直線PL為BC的垂直平分線，直線BM為∠ABC的平分線，PL與BM相交于P點，若∠A=600，∠ACP=240，則∠ABP的度數是（）.

A.240

B.300

C.320

D.360

6.在棋盤中建立如圖12所示的直角坐標系，三顆棋子A，0，B的位置如圖12，它們的坐標分別是（-1，1），（0，O），（1，0）.

（1）如圖13，添加棋子C，使四顆棋子A，0，B，C成為一個軸對稱圖形，請在圖中畫出該圖形的對稱軸.

（2）若在其他格點位置添加一顆棋子P，使四顆棋子A，O，B，P成為軸對稱圖形，請直接寫出棋子P的位置的坐標.（寫出2個即可）

5.2 圖形的平移和旋轉

核心知識梳理

通過將圖形平移、旋轉，在運動變化的過程中發現圖形不變的幾何性質，是研究幾何問題、發現幾何結論的有效工具.圖形的移動主要內容包括平移、旋轉的概念和性質，利用平移、旋轉作出圖形、設計圖案和分析解決問題，用坐標表示圖形變換等.用坐標表示圖形變換，是從數的角度用代數的方法研究圖形變換，將圖形變換從數和形兩方面統一起來.許多圖形可以由基本圖形變換而成，平移和旋轉都是全等變換，不改變圖形的形狀和大小.

重點難點考點易錯點解析

中考常常會要求在限定條件下作出簡單平面圖形移動后的圖形，或要求運用平移、旋轉的概念和性質進行計算、推理、探究等，旋轉圖形與中心對稱圖形的聯系與區別是難點也是易錯點，要有清晰明確的認識.中心對稱圖形足旋轉圖形的一個特例，是圖形繞著旋轉中心旋轉180。后能與自身重合，而旋轉圖形是把一個圖形繞著平面內某一點旋轉一個角度.

規律方法總結

在作已知圖形平移、旋轉后的圖形時，關鍵是確定已知圖形中的一些特殊點的對應點，即要正確確定關鍵點，對于圖形的平移作圖，要注意平移方向及距離；對于圖形的旋轉作圖，要注意旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度，

重要考點題型例析

一、平移的性質

例l （2014.邵陽）某數學興趣小組開展動手操作活動，設計了如圖l所示的三種圖形，現計劃用鐵絲按照圖形制作相應的造型，則所用鐵絲的長度關系是（）.

A.甲種方案所用鐵絲最長

B.乙種方案所用鐵絲最長

C.丙種方案所用鐵絲最長

D.三種方案所用鐵絲一樣長

解析：由圖形可得出，甲所用鐵絲的長度為2a+2b，乙所川鐵絲的長度為2a+2b，丙所用鐵絲的長度為2a+2b.故三種方案所用鐵絲一樣長.故選D.

反思：此題主要考查了生活中的平移現象，得出各圖形中鐵絲的長是解題關鍵.分別利用平移的性質得出各圖形中所用鐵絲的長度，進而得出答案.

例2 （2014.欽州）如圖2，△A 'B'C’是△ABC經過某種變換后得到的圖形，如果△ABC中有一點p的坐標為（a，2），那么變換后它的對應點Q的坐標為______.

解析：由圖2可知，A（-4，3），A’（1，一1），所以平移規律為向右5個單位，向下4個單位.因P（a，2），故塒應點（）的坐標為（a+5，-2）.

反思：本題考查平移，觀察圖形得到變化規律是解題的關鍵，根據對應點A、A’的坐標確定出平移規律，然后寫出點Q的坐標即可.

二、旋轉的性質

例3（2014.萊蕪）如圖3，AB為半圓的直徑，且AB=4，半圓繞點B順時針旋轉45。，點A旋轉到A'的位置，則圖中陰影部分的面積為（）.

反思：本題考查了扇形面積的計算以及旋轉的性質，根據題意可得出陰影部分的面積等于扇形ABA’的面積加上半圓面積再減去半圓面積，即為扇形面積.

三、旋轉中心的確定

例4 （2014.煙臺）如圖4，將△ABC繞點P順時針旋轉900得到△A 'B'C’，則點P的坐標是（）.

A.（1，1）

B.（1，2）

C.（1，3）

D.（1，4）

解析：將△ABC以點P為旋轉中心，順時針旋轉90。得到△A’B’C’，故點A的對應點為點A’，點B的對應點為點B’，點C的對應點為點C’.作線段AA'和CC'的垂直平分線，它們的交點為（1，2），如圖5.故旋轉中心P的坐標為（1，2）.故選B.

反思：本題考查平面直角坐標系與旋轉的性質，特別是旋轉中心的確定，先根據旋轉的性質得到點A的對應點為點A'，點C的對應點為點C’，再根據旋轉的性質得到旋轉中心在線段AA’的垂直平分線上，也在線段CC’的垂直平分線上，即兩垂直平分線的交點為旋轉中心.

中考命題預測

1.如圖6.將△ABC沿BC方向平移2cm得到△DFF，若△ABC的周長為16 cm，則四邊形ABFD的周長為（）.

A. 16 cm

B.18 cm

C.20 cm

D.22cm

2.如圖7.在平面直角坐標系xOy中，已知點A（3，4），將0A繞坐標原點0逆時針旋轉90。至OA’，則點A’的坐標是______ .

3.如圖8.將Rt△ABC繞直角頂點順時針旋轉90。，得到△A 'B'C，連接AA’，若∠1=20。，則∠B的大小是（）.

A.70。

B.65。

C.60。

D.55。

4.如圖9，如果把△ABC的頂點4先向下平移3格，再向左平移1格到達A’點，連接A'B，則線段A'B與線段AC的關系是（）

A.垂直

B.相等

C.平分 D.平分且垂直

5.將一次函數（）的圖象向上平移2個單位，平移后，若y>0，則x的取值范圍是（）.

A.x>4

B.x>-4

C.x>2

D.x>-2

6.如圖10，△ABC繞點/i順時針旋轉45。得到△AB'C'.若∠BA C=90。，AB=AC=（），則圖中陰影部分的面積等于_____ .

7.如圖11，BC與CD重合，∠ABC=∠CDE=90。，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆時針旋轉而得到.請你利用尺規作出旋轉中心O（保留作圖痕跡，不寫作法，注意最后用墨水筆加黑），并直接寫出旋轉角度.

5.3 圖形的相似與解直角本角形

核心知識梳理

相似是圖形的一種變換，是在全等變換基礎上的拓展與延伸，主要內容包括比例的基本性質，線段比和黃金分割，相似圖形、相似多邊形及相似三角形的概念、性質、判定與應用，圖形位似和應用，對于銳角三角函數主要研究正弦、余弦，正切等概念，直角三角形中的邊角關系和解直角三角形的內容，銳角三角函數是解直角三角形的基礎，解直角三角形是銳角三角函數的應用，研究銳角三角函數的直接基礎是有關相似三角形的一些結論，解直角三角形主要依據銳角三角函數和勾股定理等內容，因此相似三角形和勾股定理等是學習銳角三角函數的基礎.

重點難點考點易錯點解析

相似多邊形的有關性質以及相似三角形的判定是重點.位似變換是一種特殊的相似變換，對應頂點的連線交于一點，對應邊也是互相平行的，相似也是指圖形間的一種相互關系，但它與“全等圖形的形狀、大小完全相同”不同，這兩個圖形僅僅形狀相同，大小不一定相同，其中一個圖形可以看成是另一個圖形按一定比例放大或縮小而成的，這種變換是相似變換.當放大或縮小的比例為1時，這兩個圖形就是全等的，全等是相似的一種特殊情況，易錯點主要有位似中心的確定、相似比的順序性等.

銳角三角函數的概念和直角三角形的解法是重點，銳角三角函數的概念是難點也是關鍵.難點在于銳角三角函數的概念反映了角度與數值之間對應的函數關系，關鍵在于只有正確掌握了銳角三角函數的概念，才能真正理解直角三角形中邊、角之問的關系，從而才能利用這些關系解直角三角形.銳角三角函數的概念與一次函數、反比例函數和二次函數有所不同，它反映的不是數值與數值的對應關系，而是角度與數值之間的對應關系，但它們都反映了變量之間的對應關系，本質上是一致的，在理解上這是難點.解直角三角形“化整為零，積零為整…‘化曲為直，以直代曲”的基本思想是難點，俯角、仰角、坡度等常用術語含義是易錯點.

規律方法總結

要充分注意相似與全等之間的一般與特殊的關系，注意和全等的知識作類比，通過把多邊形分割為j角形、作全等三角形等，可以把要證明的問題轉化為已經解決的問題，綜合應用以前學過的知識，從而把問題從未知轉化為已知，從復雜轉化為簡單.要注意加強數形結合，利用銳角三角函數解直角三角形時，都要盡量根據題意畫出圖形幫助分析，找到邊、角等的關系，再通過計算、推理等使實際問題得到解決.在中考中單獨考查相似三角形的題目一般難度較低，高難度試題大多與函數、方程、圓、四邊形等結合，主要考查數形結合、分類討論等數學思想；解直角三角形應用題重點考查數學建模思想和解決實際問題的能力.

重要考點題型例析

一、相似三角形的判定與性質

例1 （2014.天津）如圖1，在□ABCD中，點E是邊AD的中點，EC交對角線BD于點F，則EF：FC等丁（）.

A.3：2

B.3：1

C：.1：1

D.1：2

反思：此題主要考查平行四邊形的性質以及相似三角形的判定與性質等知識，解題關鍵是確定相似三角形.根據題意得出△DEF≌△BCF，進而得出線段成比例，利用點E是邊AD的中點得出答案即可.

例2 （2014年泰安市中考題，有改動）在△ABC和△A1B1C1中，下列兩個命題：

反思：本題考查-命題與定理的知識，解題的關鍵是掌握三角形相似的判定方法.利用相似三角形的判定定理進行判斷即可.

二、解直角三角形的應用

例3（2014.安徽）如圖2，在同一平面內，兩條平行高速公路l1和l2問有一條“Z”型道路連通，其中AB段與高速公路l1成30。角，長為20 km；BC段與AB，CD段都垂直，長為10 km，CD段長為30 km.求兩高速公路問的距離（結果保留根號）.相交于點P，請從圖中找出一組相似的三角形：_________.

6.如圖7.將邊長為6 cm的正方形ABCD折疊，使點D落在AB邊的中點E處，折痕為FH，點C落在Q處，EQ與BC交于點G，則△EBG的周長是_____cm.

7.為解決停車難的問題，在如圖8-段長56米的路段開辟停車位，每個車位是長5米、寬2.2米的矩形，矩形的邊與路的邊緣成450角，那么這個路段最多可以劃出_____個這樣的停車位.（）

5.4

視圖與投影

核心知識梳理

本部分內容主要包括投影、平行投影、中心投影、正投影等概念，正投影的成像規律，視圖、三視圖等概念，三視圖的位置和度量規定，一些基本幾何體的三視圖，簡單立體圖形（包括相應的表面展開圖）與它的三視圖的相互轉化.畫形狀簡單的幾何體的三視圖，是由立體圖形得到相應平面圖形的過程；由三視圖想出相應物體形狀，是由平面圖形得到相應立體圖形的過程.這從不同角度反映了平面圖形與相應的立體圖形是如何聯系的，

重點難點考點易錯點解析

視圖與投影在中考中多以中低難度的選擇題、填空題的形式考查，常見的題型為已知幾何體求視圖或已知視圖還原幾何體，也有將視圖和求幾何體的面積、體積相結合的題目.本部分內容與直觀圖形的關系密切，需要在圖形形狀方面進行想象和判斷，中考考查的多是識圖、畫圖、制作模型等類型的問題，較少涉及定量的計算.三視圖是重點，包括三視圖的成像原理、三視圖的位置和度量規定、一些基本幾何體的三視圖、簡單立體圖形（包括相應的表面展開圖）與它的三視圖的相互轉化等，掌握立體圖形與相應平面圖形的聯系是實現立體圖形與平面圖形的相互轉化的關鍵，要掌握這種聯系，不僅需要認識從立體圖形到平面圖形的轉化過程，還需要認識從平面圖形到立體圖形的轉化過程，即需要從兩方面雙向地認識這種聯系，易錯點主要有弄錯觀察方向、畫錯三視圖、錯誤判斷幾何體、平行投影與中心投影混淆等.

規律方法總結

“由物畫圖”可以使人認識到立體圖形的投影是什么樣的平面圖形，“由圖想物”可以使人把相關的平面圖形在頭腦中綜合成為相應的立體圖形，兩者是互相聯系的，同樣的投影規則（規律）在兩類問題中都是考慮問題的依據，“由物畫圖”可以看成是一個分解（或不同角度分析）的過程，而“由圖想物”是一個綜合的過程.解決問題有時需要分解，有時需要綜合，有時需要兩者結合，主視圖反映物體的長和高，俯視圖反映物體的長和寬，左視圖反映物體的寬和高.畫三視圖時，主視圖、俯視圖要長對正，主視圖、左視圖要高平齊，俯視圖、左視圖要寬相等，要把物體的邊緣、棱、頂點都體現出來，看得見的部分的輪廓線畫成實線，看不見的部分的輪廓線畫成虛線，判斷平行投影與中心投影時，分別過每個物體的頂端及其影子的頂端作一條直線，若兩直線平行，則為平行投影：若兩直線相交，則為中心投影，其交點處就是光源位置.

重要考點題型例析

一、簡單組合體的三規圖

例1 （2014.株洲）下列幾何體中，有一個幾何體的主視圖與俯視圖的形狀不一樣，這個幾何體是（）.A.正方體

B.圓柱

C.圓錐

D.球

解析：選項A主視圖、俯視圖都是正方形，故A不符合題意；選項B主視圖、俯視圖都是矩形，故B不符合題意；選項C主視圖是三角形、俯視圖是圓形，故C符合題意；選項D主視圖、俯視圖都是圓，故D不符合題意，故選C.

反思：本題考查簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖.

例2（2014.自貢）如圖1.是由幾個小立方體所搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數字表示在該位置上的立方體的個數，這個幾何體的主視圖是（）.

解析：由俯視圖可知，小正方體只有2排，前排從左至右個數依次為l，1，l；后排右側為2個.故選D.

反思：本題考查簡單組合體的三視圖，由三視圖判斷幾何體，是常考的基礎題型，考查空間想象能力、繪圖能力.由俯視圖，想象出幾何體的特征形狀，然后按照三視圖的要求，得出該幾何體的主視圖和俯視圖，

例3（2014.淄博）如圖2是三個大小不等的正方體拼成的幾何體，其中兩個較小正方體的棱長之和等于大正方體的棱長.該幾何體的主視圖、俯視圖和左視圖的面積分別是S1，S2，S3，則S1，S2，S3的大小關系是（）.

A.S1>S2>S3

B.S3> S2>S1

C.S2>53>S1

D.S1>S3>S2

解析：主視圖的面積是i個正方形的面積之和，左視圖的面積是兩個正方形的面積之和，俯視圖的面積是一個正方形的面積，S1>S3>S2，故選D.

反思：本題考查簡單組合體的三視圖，分別得出三視圖是解題關鍵，根據從正面看得到的圖形是主視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖，從左面看得到的圖形是左視圖，根據面積的大小，可得答案.

三，由三視圖確定幾何體的體積

例4（2014.呼和浩特）如圖3是某幾何體的三視圖，根據圖中數據，求得該幾何體的體積為（）.

A.60π

B.70π

C.90π

D.160π

解析：觀察三視圖發現該幾何體為空心圓柱，其內圓半徑為3，外圓半徑為4，高為10，所以其體積為lOx（42π-32π）=70π，故選B.

反思：本題考查由三視圖判斷幾何體的知識，解決本題的關鍵是得到此幾何體的形狀，易錯點是得到計算所需要的相關數據.易得此幾何體為空心圓柱，圓柱的體積：底面積x高，把相關數值代入即可求解，

三。確定小立方塊的塊數

例5（2014.青島）如圖4，是由一些小立方塊所搭幾何體的三種視圖，若在所搭幾何體的基礎上（不改變原）何體中小立方塊的位置），繼續添加相同的小立方塊，搭成一個大正方體，至少還需要

個小立方塊.

解析：由俯視圖易得最底層有7個小立方體，由主視圖、左視圖易得第二層有2個小立方體，第三層有1個小立方體，那么共有7+2+1=10（個）小立方體組成，若搭成一個大正方體，共需4x4x4=64（個）小立方體，所以還需64-10=54（個）小立方體，故答案為54.

反思：本題考查由三視圖判斷幾何體.首先根據該幾何體的三視圖確定需要的小立方塊的塊數，然后確定搭成一個大正方體需要的塊數.考查學生對三視圖的掌握程度和靈活運用能力，同時也體現了對空間想象能力方面的考查.

中考命題預測

1.下列立體圖形中，俯視圖是正方形的是（）.

2.如圖5.從左面觀察這個立體圖形，能得到的平面圖形是（）.

3.如圖6.由四個小正方體組成的幾何體中，若每個小正方體的棱長都是1，則該幾何體俯視圖的面積是______.

4.如圖7，一個幾何體由5個大小相同、棱長為l的正方體搭成，下列關于這個幾何體的說法正確的是（）.

A.主視圖的面積為5

B.左視圖的面積為3

C.俯視圖的面積為3

D.三種視圖的面積都是4

5.在桌上擺著一個由若干個相同正方體組成的幾何體，其主視圖和左視圖如圖8所示，設組成這個幾何體的小正方體的個數為n，則n的最小值為_____.