焦點(diǎn)三角形的面積公式與性質(zhì)探究

何蕾

在圓錐曲線中，焦點(diǎn)三角形的面積，橢圓周角是非常重要的幾何量，與其相關(guān)的問(wèn)題在歷年高考中經(jīng)常出現(xiàn).在解決有關(guān)焦點(diǎn)三角形問(wèn)題中，如果能巧妙地應(yīng)用焦點(diǎn)三角形的面積公式與性質(zhì)，就可以避免大量的推理和運(yùn)算，使實(shí)際問(wèn)題得到完美解決，從而節(jié)省解題時(shí)間.本文僅以橢圓焦點(diǎn)三角形為例，就這方面進(jìn)行初步探究.

定義：在圓錐曲線中，P是橢圓 + =1（a>b>0）上異于長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn) 、F 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，我們稱三角形∠F PF 為橢圓周角，△F PF 為焦點(diǎn)三角形.

橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式：

設(shè)∠F PF =θ，S =b tan .

證明：由余弦定理知，在三角形△F PF 中

|F F | =|PF | +|PF | -2|PF ||PF |cosθ

=（|PF |+|PF |） -2|PF ||PF |（1+cosθ）

所以|PF |·|PF |= = =

所以S = |PF |·|PF |·sinθ

= sinθ=b tan

性質(zhì)1：如圖1，設(shè)橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為A ，A ，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為B ，B ，當(dāng)點(diǎn)P從B 沿橢圓第一象限部分運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A 的過(guò)程中，θ遞減.

圖1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖2

證明：如圖2，設(shè)P （x ，y ），P （x ，y ）是橢圓在第一象限中的弧上不同的兩點(diǎn)0≤x

S = ·y ·2c=y c

同理S =y c

∵y >y ≥0

∴y c>y c，即S >S .

又S =b tan ，S =b tan

∴b tan >b tan ，∴tan >tan

∴0< < ，0< <

∴ > ，即θ >θ

∴當(dāng)點(diǎn)P從B 沿橢圓第一象限部分運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A 的過(guò)程中，θ遞減.

推論：根據(jù)橢圓對(duì)稱性，可以得出結(jié)論.當(dāng)點(diǎn)P在短軸頂點(diǎn)B 或B 的位置時(shí)，θ取得最大值，此時(shí)cosθ= -1.

例1：橢圓 + =1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F 、F ，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F PF 為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為？搖？搖 ?？搖？搖.

解析：不少同學(xué)習(xí)慣用余弦定理解不等式求解，但運(yùn)算量比較大，容易產(chǎn)生錯(cuò)誤.

根據(jù)性質(zhì)1橢圓周角單調(diào)性可知：當(dāng)∠F PF =90°，頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)之間的坐標(biāo)值就是題目所求值.

設(shè)當(dāng)∠F PF =90°時(shí)，直角頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x ，y ）

由S =b tan =4tan45°=4

又S = ×|y |·|F F |= |y |

∴ |y |=4，y =±

∴ + =1，x =±

∴當(dāng)∠F PF 為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為-

性質(zhì)2：P是橢圓 + =1（a>b>0）上任意一點(diǎn)，F(xiàn) 、F 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)∠F PF =θ，則|PF |·|PF |= .

證明：由橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式S =b tan 和三角形面積公式S = |PF |·|PF |·sinθ

得 |PF |·|PF |·sinθ=b tan

∴|PF |·|PF |·sin cos =b

∴|PF |·|PF |=

例2：橢圓 + =1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F 、F ，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F PF =60°時(shí)，則|PF |·|PF |的值？搖？搖 ? ？搖？搖.

解析：由性質(zhì)2易求

|PF |·|PF |= = =12.

性質(zhì)3：P是橢圓 + =1（a>b>0）上任意一點(diǎn)，F(xiàn) 、F 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)∠F PF =θ，則sin ≤e<1.

證明：由基本不等式可知

|PF |·|PF |≤ ?=a

由性質(zhì)2，得|PF |·|PF |= ≤a

∴ ≤cos ?，∴ ≤cos ?，

∴1-e ≤cos ?，1-cos ?≤e

∴sin ?≤e ，即sin ≤e

又橢圓的離心率e<1，得sin ≤e<1.

例3：已知F 、F 是橢圓 + =1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)P使得∠F PF =90°，則橢圓的離心率e存在的范圍是？搖？搖 ?？搖？搖.

解析：由性質(zhì)3易知e∈ ，1.

性質(zhì)4：P是橢圓 + =1（a>b>0）上任意一點(diǎn)，F(xiàn) 、F 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，I為△F PF 的內(nèi)心，如果|PI|=λ，則λcos =a-c.

證明：設(shè)三角形△F PF 的內(nèi)切圓半徑為r，

易知sin = ，即r=λsin .

由橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式S =b tan 和三角形面積公式S = （2a+2c）r，

∴ （2a+2c）r=b tan ，即（a+c）r=b tan

∴（a+c）·λsin =b tan

∴（a+c）·λcos =b

∴（a+c）·λcos =a -c

∴λcos =a-c.

例4：橢圓 +y =1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F 、F ，點(diǎn)M為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F MF =2θ，△F MF 的內(nèi)心為I，則|MI|cosθ=？搖 ?？搖？搖？搖.

解析：由性質(zhì)4易知|MI|cosθ=2- .

本文僅僅得出了橢圓有趣性質(zhì)中的小部分，從證明中可以發(fā)現(xiàn)在探討焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，使用焦點(diǎn)三角形面積公式與三角形的面積結(jié)合，可以挖掘出很多有關(guān)橢圓的有趣性質(zhì)，更方便快速地解決問(wèn)題.