挖掘隱含的不等關系解決問題

余丹丹

其實現實生活中同類量之間的不等關系比相等關系更為普遍，不等式是現實世界中不等關系的一種數學表示形式，它不僅是初中生學習的重點內容，而且也是學生后續學習的重要基礎. 有些實際問題中有明確的表示不等關系的文字，如“超過”、“不足”、“少于”、“不到”等，這種類型問題的不等關系非常明顯，只需要把這樣的文字轉化為數學符號，就可以列出不等式或不等式組. 但更多的實際問題中沒有明確的表示不等關系的文字，那么哪些文字隱含著不等關系，如何挖掘題中隱含的不等關系，列不等式或不等式組解決實際問題呢？現舉例如下：

一、 根據實際問題的要求建立不等關系

例1 抗洪搶險，向險段運送物資，共有120千米原路程，需要1小時送到，前半小時已經走了50千米后，后半小時速度多大才能保證及時送到？

【分析】題目中的要求是保證及時送到，所隱含的不等關系是：前半小時和后半小時走的路程之和至少應該是120公里，抓住了這個不等關系就可以建立不等式.

解：設后半小時的速度為x千米/小時，50+12x≥20，

解得x≥140.

答：后半小時速度至少為140千米/小時才能保證及時送到.

同類練習1 一個工程隊原定在10天內至少要挖掘600 m↑3的土方. 在前兩天共完成了120 m↑3后，接到要求要提前2天完成掘土任務. 問以后幾天內，平均每天至少要挖掘多少土方？

同類練習2 用錘子以相同的力將鐵釘垂直釘入木塊，隨著鐵釘的深入，鐵釘所受的阻力也越來越大. 當未進入木塊的釘子長度足夠時，每次釘入木塊的釘子長度是前一次的12. 已知這個鐵釘被敲擊3次后全部進入木塊（木塊足夠厚），且第一次敲擊后鐵釘進入木塊的長度是2 m，若鐵釘總長度為a m，則a的取值范圍是______.

二、 含在數學問題中的不等關系

例2 等腰三角形的周長為20，求腰長x的取值范圍.

【分析】題目中涉及到的是三角形，因而隱含在題目里不等關系是三角形的兩邊之和大于第三邊. 需要首先利用周長為20這一等量關系將等腰三角形的底邊長表示出來，然后利用三角形的兩邊之和大于第三邊列不等式.

解：∵等腰三角形的周長為20，腰長為x，

∴底邊長為20-2x，根據題意得：2x>20-2x，

20-2x>0.

解得：5

同類練習3 若周長為1的四邊形的四條邊長為a、b、c、d且a≥b≥c≥d，求a的取值范圍.

三、 實際問題中有“住不滿”、“住不下”、“不空不滿”、“盈利”、“虧損”等關鍵詞

例3 某校八年級的213名同學去科技館參觀，租用了某公交公司的幾輛公共汽車. 如果每輛車坐30人，則最后一輛車不空也不滿. 他們共租了多少輛公共汽車？

【分析】該題中的“不空也不滿”就表示了不等關系. 那么如何表示“不空也不滿”呢？根據題意分析，“不空也不滿”表示最后一輛車坐的人數大于0人且小于30人. 最后一輛車若按0人算，則租的車少一輛，總數比213人少；若按30人算，則總人數大于213人. 所以該題有兩個不等關系：30×（租車輛數-1）<213，

30×租車輛數>213.

解：設租x輛車. 根據題意得：30（x-1）<213，

30x>213.

解得：7110

∵x只能取正整數，

∴x=8.

答：他們共租了8輛汽車.

同類練習4 若干名學生，若干間宿舍，若每間住4人將有20人無法安排住處；若每間住8人，則有一間宿舍不足8人，問學生有多少人？宿舍有幾間？

（要注意題中“不足8人”的隱含意思就是不空也不滿，包含的也是兩個不等關系，這是分析本類問題時易忽略的問題. ）

同類練習5 如圖，函數y=f（x）反映了某公司的銷售收入y萬元與銷售x噸的函數關系，y=g（x）反映了該公司產品的銷售成本與銷售量的函數關系.試問：當銷售量為多少時，該公司盈利？

四、 設計方案

例4 在“5·12大地震”災民安置工作中，某災民安置點計劃用24 000 m↑2的甲種板材和12 000 m↑2的乙種板材搭建A、B兩種型號的板房共400間，在搭建過程中，按實際需要調運這兩種板材. 已知建一間A型板房和一間B型板房所需板材及能安置的人數如下表所示：

板房型號＼&甲種板材＼&乙種板材＼&安置人數＼&A型板房＼&54 m↑2＼&26 m↑2＼&5＼&B型板房＼&78 m↑2＼&41 m↑2＼&8

問：這400間板房最多能安置多少災民？

【分析】該題中要求能安置多少災民，需要找到A、B兩種板房的數量. 而這些數量既要滿足題中共400間的等量關系，又要滿足用材量不超過甲類原材總量24 000 m↑2，乙類原材總量12 000 m↑2這些不等關系. 這樣若設A型板房x間，由等量關系可以表示B型板房為（400-x）間，由不等關系確定x的取值范圍，再由總人數與x之間的函數關系確定x的取值.

解：設A型板房x間，則B型板房為（400-x）間，根據題意知：0≤x≤400，

54x+78（400-x）≤24 000，

26x+41（400-x）≤12 000.

解得：300≤x≤400，

∵安置的總人數為5x+8（400-x）=-3x+3 200，

∴當x取最小值300時，總人數最多為2 300人.

答：這400間板房最多能安置2 300名災民.

同類練習6 北京和上海都有某種儀器可供外地使用，其中北京可提供10臺，上海可提供4臺，已知重慶需要8臺，武漢需要6臺. 從北京、上海將儀器運往重慶、武漢的費用如下表所示（單位元），請你設計一種方案，使武漢、重慶都能得到所需要的儀器，且使運費最低.

＼&武漢＼&重慶＼&北京＼&400＼&800＼&上海＼&300＼&500

（注意該題中要求最低的運費，需要找到有北京、上海運往武漢、重慶的儀器的臺數都有哪些可能. 而這些臺數既要滿足題中北京可提供10臺，上海可提供4臺，已知重慶需要8臺，武漢需要6臺的等量關系，又要滿足由實際意義得到的保證送往重慶、武漢的臺數大于等于0，這樣若設由北京送往武漢x臺，由等量關系可以表示出送往其他各地的臺數，由不等關系確定x的取值范圍，再由x只能取正整數確定x的取值. ）

總之，實際問題中暗含的不等關系，需要通過結合實際意義分析挖掘出不等關系，列出不等式或不等式組，一般設計方案的問題列出的是不等式組.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區實驗初級中學）