用二元一次方程組解決實際問題的方法探究

李軍華

二元一次方程組是刻畫現實世界的有效數學模型，與現實世界有著十分密切的關系.用二元一次方程組解決實際問題的一般方法是根據具體問題中的數量關系列出二元一次方程組并求解并檢驗所得問題的結果是否符合實際意義.這對同學們分析問題和解決問題的能力有較高的要求.在學習二元一次方程組以前同學們已具備有關一元一次方程的知識和經驗，應該有能力通過自主探索和合作交流列出二元一次方程組解決簡單的實際問題. 學習用二元一次方程組解決實際問題關鍵是如何尋找實際問題中的相等關系的分析，只要多經歷一些知識的行成和應用過程，多經歷一些模型化的過程，體現自己在學習過程中的主動性、獨立思考與認真程度，不是機械套用，而是要循序漸進的培養自己思維的準確性、廣闊性、靈活性.這樣不但使實際問題得到了有效的解決，同時也進一步提高了解方程組的技能.

“雞兔同籠”問題是我國古代數學著作《孫子算經》中的名題，暗示著我國古代數學的杰出成就.它不僅趣味性強，而且“雞兔同籠”問題可以用算術方法、一元一次方程等方法求解，但用二元一次方程組求解是最為直接的方法.原題：今有雞兔同籠上有35頭，下有94足.問雞兔各幾何？（題意為：籠里有雞和兔，共有35只頭，94只足.問雞和兔各幾只？）用方程組表達實際問題的意義時要突出解決問題的過程，即設未知數，找出兩個相等關系，列出方程組.現將分析的思維方法展示如下：設雞有x只，兔有y只，得相等關系兩個，雞頭+兔頭=35，雞足+兔足=94.將雞頭、兔頭、雞足、兔足分別用x、y代數式表示則得到一個二元一次方程組x+y=35，

2x+4y=94.解之得x=23，

y=12.則問題得到解決.像這樣的問題不勝枚舉，現再舉一例：我國明朝程大位所著《算法統宗》中有一道“百僧問題”. 原題：一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾人？（題意為：有100個饅頭和100個和尚，大和尚每人吃三個，三個小和尚分一個.問大小和尚各有幾人）思維方法：設大和尚x人，小和尚y人，得相等關系兩個，大和尚+小和尚=100，大和尚所吃饅頭+小和尚所吃饅頭=100.將大和尚、小和尚、大和尚所吃饅頭、小和尚所吃饅頭分別用x、y代數式表示則得到一個二元一次方程組x+y=100，

3x+13y=100.解之則問題得到解決.當然這個問題也可以用一元一次方程的相關知識加以解決（解法：設大和尚x人，則小和尚有（100-x）人，根據題意列方程：3x+13（100-x）=100，解得x=25，即大小和尚分別為25人和75人.）通過對比同學們可以體會用二元一次方程組解決實際問題比用一元一次方程解決問題思路更加直接，方法也較簡單.

既然如此，那么從實際問題到方程組，問題的探究經歷了那些過程呢？答案就是從實際問題開始首先是到數學問題，再從數學問題到列出方程組，正確列出方程組的關鍵在于弄清題意，恰當地設未知數，找出問題中的兩個相等關系.方法就是化實際問題到數學中的二元一次方程組問題來解決.通過對上面2個例子的學習，你是否覺得自己還有很多潛力沒有挖掘出來呢？這里再舉幾個題目供大家思考并解決.

（1） 小明買了80分與1元的郵票共10枚，花了9元.80分與1元的郵票各買了多少枚？

（2） “百錢百貨”古算題：柑三梨四，一錢棗子買14. 百錢買百貨，問柑、梨、棗各買幾何？

（3） 著名數學家歐拉的著作中的百蛋問題：兩個農婦一共帶著100個雞蛋到市場去賣.兩個人的蛋數不同，但賣得的錢數一樣.第一個農婦對第二個說：“如果你的雞蛋換給我，我可以賣得15個銅幣.”第二個回答道：“如果你的雞蛋換給我，我就只能賣得20/3個銅幣.”問她們各有雞蛋多少個？

其實，探究實際問題的分析和解決，除了解題，自編問題交流解答更能挑戰思維，同時鍛煉我們的獨創和探索精神，建立對數學的自信，讓自己的思維能力產生一輪又一輪的飛躍.