“二元一次方程組”在生活中的應用

王軍

17世紀法國數學家、哲學家笛卡爾（1596～1650）曾經說過，“一切問題都可以轉化為數學問題，一切數學問題都可以轉化為代數問題，而一切代數問題又都可以轉化為方程，因此，一旦解決了方程問題，一切問題將迎刃而解.”那么下面我們一起來研究幾個有關二元一次方程組的運用事例.

例1 《一千零一夜》中有這樣一段文字：有一群鴿子，其中一部分在樹上歡歌，另一部分在地上覓食，樹上的一只鴿子對地上覓食的鴿子說：“若從你們中飛上來一只，則樹下的鴿子就是整個鴿群的三分之一，若從樹上飛下去一只，則樹上、樹下的鴿子就一樣多了.”你知道樹上、樹下各有多少只鴿子嗎？

【分析】要求樹上、樹下各有多少只鴿子嗎？就要設樹上有x只鴿子，樹下有y只鴿子，然后根據若從你們中飛上來一只，則樹下的鴿子就是整個鴿群的三分之一；列出一個方程，再根據若從樹上飛下去一只，則樹上、樹下的鴿子有一樣多，列一個方程組成方程組，解方程組即可.

解：設樹上有x只鴿子，樹下有y只鴿子.

由題意可：y-1=13（x+y），

x-1=y+1.解得x=7，

y=5.

答：樹上原有7只鴿子，樹下有5只鴿子.

解應用題的關鍵是弄清題意，合適的等量關系，列出方程組. 所以做這類題讀懂題意是關鍵，最主要的是從實際問題中找到兩個相等關系，通過設適當的兩個未知數，用含有未知數的代數式表示數量關系，列出兩個二元一次方程.

例2 《群鴉棲樹》

棲樹一群鴉，鴉樹不知數；

三個坐一棵，五個地上落；

五個坐一棵，閑了一棵樹；

請你動腦筋，鴉樹各幾何？

大意是：一群烏鴉落在一片樹上，如果三個烏鴉落在一棵樹上，那么就有五個烏鴉沒有樹可落；如果五個烏鴉落在一棵樹上，那么就有一棵樹沒有落烏鴉. 請問烏鴉和樹各多少？

解：設烏鴉有x只，樹有y棵. 由題意，得3x+5=x，

5（y-1）=x，解得x=20，

y=5.

答：烏鴉有20只，樹有5棵.

【說明】古今中外流傳著許多歌謠趣題，題目新穎別致，魅力無限，不僅內容朗朗上口，蘊含數學問題，而且需要具有一定的解題能力.

例3 八張撲克牌恰好可拼成一個大的長方形（圖1），用同樣的這八張牌可拼成一個大正方形，但中間留下一個邊長為2 cm的小正方形（圖2）. 你能算出每張撲克牌的長和寬嗎？

解：設撲克牌的寬為x厘米，長為y厘米.

由題意，得3y=5x，

y+2=2x，解得x=6，

y=10.

答：撲克牌的寬為6厘米，長為10厘米.

通過三個例題的分析后，引導學生發現解決問題的方法，關鍵是由實際問題向數學問題的轉化過程. 讓學生學會用數學建模的思想和方程的思想來解決問題. 從實際出發，讓學生初步體會到數學與人們的日常生活的密切關系，并體會數學在社會生活中所起的作用，使學生學會從數學的角度去分析和解決簡單的實際問題.

中考中的二元一次方程（組）

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆區外國語學校）

許 峰

二元一次方程（組）是初中數學的重要內容，也是中考的必考內容，各省市的中考試題中各種題型都有出現這部分內容試題，綜合分析試題，一般考查這幾方面：（1） 二元一次方程的定義的考查；（2） 二元一次方程解的不定性的考查；（3） 二元一次方程組的解的概念的考查；（4） 二元一次方程組的兩種解法的考查掌；（5） 二元一次方程組綜合與實際應用的考查. 下面分別就這幾個方面舉例分析，希望能夠幫助同學的學習.

一、 二元一次方程的定義的考查

1. （2013·安順）4xa+2b-5-2y3a-b-3=8是二元一次方程，那么a-b=______.

解：根據題意得：a+2b-5=1，

3a-b-3=1，解得：a=2，

b=2. 則a-b=0. 故答案是：0.

【點評】主要考查二元一次方程的概念與解二元一次方程組，要求熟悉二元一次方程的形式及其特點：含有2個未知數，未知數的項的次數是1的整式方程. 根據二元一次方程的定義即可得到x、y的次數都是1，則得到關于a，b的方程組求得a，b的值，則代數式的值即可求得.

二、 對二元一次方程解的不定性的考查

2. （2014·黑龍江龍東地區）小明帶7元錢去買中性筆和橡皮（兩種文具都買），中性筆每支2元，橡皮每塊1元，那么中性筆能買______支.

【解】設買中性筆x支，橡皮y支. 則由題得：2x+y=7，變形為y=7-2x因為兩種文具都買，所以x、y皆為正整數，解得x=1，

y=5，x=2，

y=3，x=3，

y=1.

【點評】此題主要考查了列二次元一次方程與二元一次方程解的不定性的考查，根據小明所帶的總錢數以及中性筆與橡皮的價格，可以列出方程，再根據限制兩種文具都買，得出符合題意的答案. 正確分類討論是解題關鍵.

3. （2014·濱州）王芳同學到文具店購買中性筆和筆記本，中性筆每支0.8元，筆記本每本1.2元，王芳同學花了10元錢，則可供她選擇的購買方案的個數為（兩樣都買，余下的錢少于0.8元）（ ）.

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

解：設購買x只中性筆，y只筆記本，根據題意得出9.2<0.8x+1.2y≤10，

當x=2時，y=7，當x=3時，y=6，當x=5時，y=5，當x=6時，y=4，當x=8時，y=3當x=9時，y=2，當x=11時，y=1，故一共有7種方案. 故選：B.

【點評】此題主要考查了列二次元一次方程與二元一次方程解的不定性的考查，得出不等關系是解題關鍵.

三、 對二元一次方程組解的考查

4. （2014·威海）解方程組：3x-5y=3，

x2-y3=1.

解：方程組整理得：3x-5y=3，①

3x-2y=6.②

②-①得：3y=3，即y=1，將y=1代入①得：x=83，則方程組的解為x=83，

y=1.

【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法.

5. （2014·山東東營）如果實數x，y滿足方程組x+3y=0，

2x+3y=3.那么代數式xyx+y+2÷1x+y的值為______.

解：原式=xy+2x+2yx+y·（x+y）=xy+2x+2y，

方程組x+3y=0，

2x+3y=3.解得：x=3，

y=-1.當x=3，y=-1時，原式=-3+6-2=1. 故答案為：1.

【點評】此題考查了分式的化簡求值與解二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵. 原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，求出方程組的解得到x與y的值，代入計算即可求出值.

四、 對二元一次方程組與學科內的結合的考查

6. （2014·畢節地區）若-2a↑mb↑4與5a↑n+2b↑2m+n可以合并成一項，則m↑n的值是（ ）.

A. 2

B. 0

C.-1

D. 1

解：若-2a↑mb↑4與5a↑n+2b↑2m+n可以合并成一項，可知是同類項，由同類項概念可知m=n+2，

2m+n=4.解得m=2，

n=0.m↑n=2↑0=1，故選：D.

【點評】本題考查了同類項的概念與列解二元一次方程組，同類項是字母相同且相同字母的指數也相同是解題關鍵. 根據同類項是字母相同且相同字母的指數也相同，列出方程組，得m、n的值，根據乘方，可得答案.

7. （2014·孝感）已知x=-1，

y=2.是二元一次方程組3x+2y=m，

nx-y=1.的解，則m-n的值是（ ）.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

解：將x=-1，y=2代入方程組得：-3+4=m，

-n-2=1.解得：m=1，n=-3，

則m-n=1-（-3）=1+3=4. 故選D.

【點評】此題主要考查了二元一次方程組的解的概念與解法，解方程組的基本思想是消元，正確解方程組是關鍵. 將x與y的值代入方程組求出m與n的值，即可確定出m-n的值.

8. （2014·貴州安順）已知等腰三角形的兩邊長分別為a、b，且a、b滿足2a-3b+5+（2a+3b-13）↑2=0，則此等腰三角形的周長為（ ）.

A. 7或8

B. 6或11

C. 6或7

D. 7或10

【解】∵2a-3b+5+（2a+3b-13）↑2=0，

∴2a-3b+5=0，

2a+3b-13=0.解得a=2，

b=3.

當a為底時，三角形的三邊長為2，3，3，則周長為8；

當b為底時，三角形的三邊長為2，2，3，則周長為7；

綜上所述此等腰三角形的周長為7或8. 故選A.

【點評】本題考查了非負數的性質、等腰三角形的性質以及解二元一次方程組，是基礎知識要熟練掌握. 先根據非負數的性質求出a，b的值，再分兩種情況確定第三邊的長，從而得出三角形的周長.

五、 對二元一次方程組應用的考查

9. （2014·蘇州）某地準備對一段長120 m的河道進行清淤疏通. 若甲工程隊先用4天單獨完成其中一部分河道的疏通任務，則余下的任務由乙工程隊單獨完成需要9天；若甲工程隊先單獨工作8天，則余下的任務由乙工程隊單獨完成需要3天. 設甲工程隊平均每天疏通河道x m，乙工程隊平均每天疏通河道y m，則（x+y）的值為______.

解：設甲工程隊平均每天疏通河道x m，乙工程隊平均每天疏通河道y m，由題意，得

4x+9y=120，

8x+3y=120.解得：x=12，

y=8.∴x+y=20.

故答案為：20.

【點評】本題考查了列二元一次房產界實際問題的運用，二元一次方程組的解法的運用，工程問題的數量關系的運用，解答時由工程問題的數量關系建立方程組求出其解是關鍵. 設甲工程隊平均每天疏通河道x m，乙工程隊平均每天疏通河道y m，就有4x+9y=120，8x+3y=120，由此構成方程組求出其解即可.

10. （2014·益陽）某電器超市銷售每臺進價分別為200元、170元的A、B兩種型號的電風扇，下表是近兩周的銷售情況：

銷售時段＼&銷售數量＼&銷售收入＼&銷售數量＼&A種型號＼&B型號＼&第一周＼&3臺＼&1 800元＼&5臺＼&第二周＼&4臺＼&3 100元＼&10臺

（進價、售價均保持不變，利潤=銷售收入-進貨成本）

（1） 求A、B兩種型號的電風扇的銷售單價；

（2） 若超市準備用不多于5 400元的金額再采購這兩種型號的電風扇共30臺，求A種型號的電風扇最多能采購多少臺？

（3） 在（2）的條件下，超市銷售完這30臺電風扇能否實現利潤為1 400元的目標？若能，請給出相應的采購方案；若不能，請說明理由.

解：（1） 設A、B兩種型號電風扇的銷售單價分別為x元、y元，

依題意得：3x+5y=1 800，

4x+10y=3 100.解得：x=250，

y=210.

答：A、B兩種型號電風扇的銷售單價分別為250元、210元；

（2） 設采購A種型號電風扇a臺，則采購B種型號電風扇（30-a）臺.

依題意得：200a+170（30-a）≤5 400，解得：a≤10.

答：超市最多采購A種型號電風扇10臺時，采購金額不多于5 400元；

（3） 依題意有：（250-200）a+（210-170）（30-a）=1 400，

解得：a=20，∵a>10，∴在（2）的條件下超市不能實現利潤1 400元的目標.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次方程的應用、一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系和不等關系，列方程組和不等式求解.

（1） 設A、B兩種型號電風扇的銷售單價分別為x元、y元，根據3臺A型號5臺B型號的電扇收入1 800元，4臺A型號10臺B型號的電扇收入3 100元，列方程組求解；

（2） 設采購A種型號電風扇a臺，則采購B種型號電風扇（30-a）臺，根據金額不多余5 400元，列不等式求解；

（3） 設利潤為1 400元，列方程求出a的值為20，不符合（2）的條件，可知不能實現目標.