感悟“二元一次方程組”中的數學思想

仲玲玲

數學思想是從數學內容中提煉出來的數學學科的精髓，是將數學知識轉化為學習能力的橋梁. 在二元一次方程組及其解法中，蘊含著豐富的數學思想，下面結合例題一起感受數學思想的無窮魅力.

一、 “消元”思想

消元思想是解方程組的基本思想，其實質就是由構成方程組的多個方程經過變形、代換、加減運算等，最終得到一個一元一次方程，解出一個未知數，再逐漸解出其他未知數，從而得到方程組的解. 深刻領會這一思想是靈活、簡捷的解方程組的關鍵.

例1 求二元一次方程組

（1） x+2y=1，

3x-2y=11.

（2） x+y=34，

x=2y+1.的解.

【解析】（1） x+2y=1，①

3x-2y=11.②

根據方程組中y的系數互為相反數，

用加減消元法求解即可，①+②得，4x=12消去了未知數y， 解得x=3.

把x=3代入①得，3+2y=1，解得y=-1.

∴方程組的解是 x=3，

y=-1.

（2） x+y=34，①

x=2y+1.②

方程②中x恰好用y的代數式表示，

所以可將x=2y+1代入到方①中，

得到2y+1+y=34，從而消去了x，解得y=11.

把y=11代入②得，x=23，

∴方程組的解是x=23，

y=11.

【感悟】本題考查的是二元一次方程組的解法，當方程組中一個未知數的系數較小且可以由另一個未知數的整系數代數式表示出來時通常用代入消元法解比較簡便，當某個未知數的系數相等或互為相反數時用加減消元法解較簡單.

二、 “轉化”的思想

轉化思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決問題的一種方法. 一般總是將復雜問題通過變換轉化為簡單問題；將難解的問題通過變換換轉化為容易求解的問題；將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題. 解二元一次方程組中就滲透著這一類重要思想方法.

例2 已知x-3y+7z=0，

x-2y+4z=0.（xyz≠0）

則x∶y∶z=______.

【解析】此方程組中含有三個未知數，只有兩個方程，是一個不定方程組，要直接解出三個未知數值，無法實現. 我們可以化“未知”為“已知”把它轉化成關于x、y的二元一次方程組，字母z看作“已知數”來解決該問題.

解：x-3y+7z=0，①

x-2y+4z=0.②

由②-①得：y-3z=0，

∴y=3z，

把y=3z代入②，

解得：x=2z，

∴x∶y∶z=2∶3∶1.

【感悟】本題借助了轉化的數學思想，化未知為已知，化三元為二元，化復雜為簡單等一系列轉化方法，從而很簡捷的把問題解決，由此，我們可以發現轉化是一種重要的思想方法，尤其把生疏化成熟悉，復雜化成簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗等一系列轉化，是我們學習數學，甚至在生活中都要經常使用的一種思維方法，這也是辯證唯物主義的基本觀點.

總之，數學的精神和本質在于它的思想和方法，讓我們一起感悟思想，體驗思想，應用思想，提升解題的思維層次，最后讓我們都能形成自覺應用數學思想解決問題的意識.