連接體運動的隱性力學特征及其應用

黃健康

兩個或多個物體緊靠在一起、疊在一起或用不可伸長的線連接在一起的運動，統稱為連接體運動.沿運動方向或繩子軸線方向相連的物體速度和加速度大小時時刻刻都相等，這是大家都普遍知道的顯性特征.但是，很多人卻不知道連接體運動還隱藏著其它典型的力學特征，也就無法靈活運用這些特征快速解決相關物理問題了.

下面，我們通過對連接體運動的深入探討研究，尋找并把握其隱性力學特征，以便靈活運用這些特征快速解決相關物理問題.

1 連接體運動隱性力的特征的探尋

情形1：物體緊靠在一起或牽拉著一起沿斜面運動

當兩物體緊靠在一起沿斜面向上運動（如圖1），或者牽拉著一起沿斜面向上運動（如圖2）時，設兩物體與斜面的動摩擦因數分別為μ1、μ2，兩物體間相互作用力大小為F12.對整體和物體m2建立牛頓第二定律關系式，可知

F12=F1-μ1m1gcosθ）m2+（F2+μ2m2gcosθ）m1m1+m2.

通過分析可知，F1′=F1-μ1m1gcosθ實質是將作用在物體1上的摩擦力視為F1的一部分；F2′=F2+μ2m2gcosθ，實質是將作用在物體2上的摩擦力視為F2的一部分.故兩物體間相互作用力存在

F12=F1′m2+F2′m1m1+m2關系.

當兩物體緊靠在一起沿斜面向下運動或者牽拉著一起沿斜面向下運動時，對整體和物體m2建立牛頓第二定律關系式，可知

F12=（F1+μ1m1gcosθ）m2+（F2-μ2m2gcosθ）m1m1+m2.

通過分析可知，F1′=F1+μ1m1gcosθ實質也是將作用在物體1上的摩擦力視為F1的一部分；F2′=F2-μ2m2gcosθ實質也是將作用在物體2上的摩擦力視為F2的一部分.因此兩物體間相互作用力也存在F12=F1′m2+F2′m1m1+m2關系.

當μ1=μ2時，F12=F1m2+F2m1m1+m2，可以看出兩物體間相互作用力大小F12與重力、傾角θ及動摩擦因數μ大小均無關.

情形2：物體疊在一起沿斜面運動

如圖3，兩物體無論以加速度a沿斜面向上加速運動還是沿斜面向下加速運動時，兩物體間的平行斜面方向的相互作用力F12其實都是靜摩擦力.

物體m2沿斜面向上加速運動時，作用在其下表面的滑動摩擦力沿斜面向下，作用在其上表面的摩擦力沿斜面向上，作用在物體m1下表面的摩擦力方向沿斜面向下，對整體和物體m2建立牛頓第二定律關系式，可知

F12=F1m2+[F2+μ（m1+m2）gcosθ]m1m1+m2.

通過分析可知，F2′=F2+μ（m1+m2）gcosθ實質是將物體2下表面的滑動摩擦力看成F2一部分結果，因此兩物體間的平行斜面方向的相互作用力也存在F12=F1m2+F2′m1m1+m2關系.

同理，當兩物體以加速度a沿斜面向下加速運動時，對整體和m1（或m2）建立牛頓第二定律關系式，可知

F12=F1m2+[F2-μ（m1+m2）gcosθ]m1m1+m.

通過分析可知，F2′=F2+μ（m1+m2）gcosθ，實質也是將物體2下表面的滑動摩擦力看成F2一部分，疊體間沿運動方向的相互作用力大小同樣滿足F12=F1m2+F2′m1m1+m2關系.

從上面探討可以看出，只要我們將作用在物體上的滑動摩擦力“移離”斜面，看成作用在本身物體上推力（或拉力）的一部分，則連接體運動的物體間沿運動方向的相互作用力大小，均滿足F12=F1m2+F2m1m1+m2關系.這無疑是連接體運動隱含的作用力關系特征.

知道連接體運動隱含的作用力關系特征，我們可以快速解決相關物體問題.

例1 如圖4所示，兩矩形物塊A、B質量均為m，疊放在一個豎立著的彈簧上，彈簧的勁度系數為k，質量可忽略不計.今用一豎直向下的力F壓物塊A，彈簧在F作用下又縮短了Δl（仍在彈性限度內），突然撤去外力F，此時A對B的壓力大小為

①F ②F+mg ③kΔl2-mg ④kΔl2+mg

分析與解 本題相當于圖1兩物體互相靠在一起運動情形，而且屬于μ=0、θ=90°特殊情形，故A、B之間作用力滿足FAB=FAmB+FBmamA+mB關系.

設物塊A、B疊放在彈簧上時彈簧壓縮量為x，不施加力F時2mg=kx；施加力F后整體力平衡，F+2mg=k（x+Δl），F=kΔl.突然撤去外力F瞬間，作用在B上的彈簧彈力大小仍為k（x+Δl）=F+2mg=kΔl+2mg.

將圖4與圖1對比可看出FA=0、FB=k（x+Δl）=kΔl+2mg，故A對B的壓力大小

FAB=FAmB+FBmAmA+mB=kΔl2+mg=F2+mg

，選項④正確.

例2 如圖5，質量為 的物體A 放置在質量為 的物體B上，B與彈簧相連，它們一起在光滑水平面上作簡諧振動，振動過程中A、B之間無相對運動.設彈簧的勁度系數為 .當物體離開平衡位置的位移為 時，A、 圖5

B間摩擦力的大小等于

（A） 0； （B） ；

（C） ； （D） .

解：將圖5與圖3對比，可知 ， ， ， ， ， .故A、B間摩擦力大小 ，選項（D）正確.

2 連接體運動隱性能量特征的探尋

連接體運動時，有可能運動的高低位置發生變化，也有可能會額外牽引或擠壓彈簧，這些過程，往往會造成系統能量變化，運動形式也可能表現出某些特征.了解并把握這些特征，有助問題的分析解決.

對于系統，從能量守恒角度來說，做多少功，便要轉化多少能.設想系統受到人為外界拉力F作用，則人為外界拉力的做功，便等于系統總能量的增量.也即

WF=ΔE總=E總′-E總=（Q+Ek′+Ep′+Ep彈′+ε′）-（Ek+Ep+Ep彈+ε），

也即WF=ΔE總=E總′-E總=Q+ΔEk+ΔEp+ΔEp彈+Δe.

這是連接體運動表現出的通用能量關系式，這可以說是連接體運動的另一個重要的隱性力學特征.該式通過對系統內兩個物體各自建立動能定理表達式，也可獲得.

該式有極強的通用性和易操作性.不過，為防止列式時出現重復量，列式時要注意以下幾點：

（1）式中等號右邊的變化量均是后來能與原來能之差.

（2）如果已經將某系統中某部分重力視為外界拉力F，則該部分重力對應部分的勢能變化量就不能包含在ΔEp內；若是全部重力視為外界拉力，則等號右邊就不能包含全部勢能變化量ΔEp.

（3）物體摩擦發熱Q=f·s相對.式中s相對是物體相對接觸面移動的距離.

（4）沒有摩擦發熱，等號右邊式中Q不能列入；沒有彈簧，等號右邊式中ΔEp彈不能列入；沒有電場，等號右邊式中電勢能變化量Δε不能列入.

利用連接體運動通用的隱性能量關系式，我們可以快速解決相關物理解決問題.

例3 如圖6所示，一輕質彈簧下端與固定擋板相連，上端與放在傾角θ=30°的光滑斜面上的小車A相接觸（未連接）.小車A質量M=3 kg，內有質量m0=1 kg的砝碼，小車A又與 一跨過定滑輪的不可伸長的輕繩一端相連，繩另一端懸掛著物體B，B的下面又掛著物體C，B和C質量均為m=1 kg，A，B，C

均處于靜止狀態.現剪斷B和C之間的繩子，則A和B開始做振幅為d=5 cm的簡諧運動，斜面足夠長且始終靜止.（g取10 m/s2） 試求：（1）剪斷繩子的瞬間小車A的加速度大小；（2）剪斷繩子后彈簧的最大彈性勢能；（3）當小車A運動到最低點時，取走小車內的砝碼，此后小車A沿斜面上滑的最大距離.

分析與解 （1）（本小題過程略）

（2）小車沿斜面向下運動到2d距離處，速度為零，彈性勢能最大.設該彈性勢能為Ep彈.不妨將物體B的重力視為外界恒定拉力，則

WF=-mg·2d，ΔEk=0，

ΔEp=0-（M+m0）g·2dsin30°，

ΔEp彈=Ep彈-0，

將上述量代入WF=ΔE總=E′-E總=ΔEk+ΔEp+ΔEp彈，

可求得ΔEp彈=1 J.

（3）取走小車內砝碼，小車A沿斜面上滑會脫離彈簧，彈性勢能會減小為零.設小車上滑距離為s.不妨仍將小車B的重力視為外界恒定拉力，則

WF=mg·s， ΔEk=0，

ΔEp=Mg·ssin30°-0，

ΔEp彈=0-Ep彈=-1 J.

將上述量代入

WF=ΔE總=E總′-E總=ΔEk+ΔEp+ΔEp彈，

可求得s=0.2 m.