從圓周運動看參考系的選擇

成杰

筆者在進行圓周運動教學的過程中，遇到兩個題目，絕大多數學生對此都無從下手，少數學生做出來也都是錯解，為什么會出現這樣普遍而帶有共性的錯誤呢？思索之后獲得一點心得，拿出來與大家分享.

例1 如圖1是自行車傳動機構的示意圖.假設腳踏板每2 s轉一圈，要知道在這種情況下自行車前進的速度有多大，還需要測量哪些量？請在圖中用字母標注出來，并用這些量推導出自行車前進速度的表達式.

利用你家的自行車實際測量這些數據，計算前進速度的大小，然后實測自行車的速度.對比一下，差別有多大？

先看教參上的解析：

解 如圖2所示，需要測量r1、r2、r3.自行車前進的速度大小，v=2πr1Tr2r3.

說明 本題的用意是讓學生結合實際情況來理解勻速圓周運動以及傳動裝置之間線速度、角速度、半徑之間的關系.但是，車輪上任意一點的運動都不是圓周運動，其軌跡都是滾輪線.所以在處理這個問題時，應該以輪軸為參考物，地面與輪軸接觸而不打滑，所以地面向右運動的速度等于后輪上一點的線速度.

從解析中可以看出，其思路是：

大齒輪角速度ω1=2πT，

由ω1r1=ω2r2小齒輪角速度ω2=ω1r1r1=2πr1Tr2，

車輪角速度ω3=ω2，

由v=ωr車輪線速度v=2πr1Tr2r3.

可見，解析中認為自行車前進的速度大小就等于車輪轉動的線速度大小.

例2 在水平地面上勻速行駛的拖拉機，前輪直徑為0.8 m， 后輪直徑為1.25 m， 兩輪的軸水平距離為2 m， 如圖3所示.在行駛的過程中，從前輪邊緣的最高點A處水平飛出一小塊石子，0.2 s后從后輪的邊緣的最高點B處也水平飛出一小塊石子，這兩塊石子先后落到地面上同一處，求拖拉機行駛的速度的大小.（g取10 m/s2）

解析 由題設知，從A處水平飛出的石子和0.2 s后從B處水平飛出的石子均做平拋運動，拋出的初速度大小相等，且均為拖拉機行駛速度的2倍.如圖4所示，有

xA=2vtA=2v2dAg，

xB=2vtB=2v2dBg，

x0=vt0，

xA+d=xB+x0，

聯立以上各式解得拖拉機行駛的速度

v=d22dBg-22dAg+t0

=22×2×1.2510-2×2×0.810+0.2 m/s

=5 m/s.

我們知道，石子拋出時的速度與車輪線速度相同，而由例一中可知線速度大小與拖拉機速度大小相等，而這里卻提到線速度是“拖拉機行駛速度的二倍”，這兩題之間是否存在矛盾呢？

為了解決這個問題，還是讓我們從最基本的參考系和線速度概念來尋找原因吧！

參考系是高中物理開篇第一節就介紹的物理概念，所謂參考系，是指在描述物體運動中“用來作為參考的物體”.參考系雖然簡單，但是其在運動學中的地位卻極其重要，它是我們在描述物體運動中首先要考慮的因素.不確定一個參考系，就無法描述一個物體的運動.而我們在描述物體運動的時候也都是在確定了一個參考系之后描述的，雖然有些時候我們在描述的時候并不明確的說出參考系，但也都暗含了參考系.

那么如何選擇參考系呢？參考系的選擇一般遵循以下幾個原則：

（1）任意原則：任何物體都可以選做參考系；

（2）方便原則：選擇方便研究問題的物體為參考系；

（3）默認原則：通常選擇地面為參考系.

在這幾個原則中，高中階段最常用的還是第三個即選地面為參考系.因為高中階段所研究的運動問題都是基本的、簡單的、不涉及復雜的運動，更多的還是放在慣性參考系中研究，所以通常都是以地面為參考系.

正是由于描述運動時參考系的暗含性和其選擇的默認性，以至于課本在描述一些速度和位移時并不明確指明其參考系.像我們用于描述圓周運動的一個物理量——線速度v=ΔlΔt，課本中是這樣表述的ΔlΔt：（物體通過的弧長Δl與所用時間Δt的比值）反映了物體運動的快慢，叫做線速度.這里就沒有明確提到其參考系是什么，但是若再結合角速度的描述“物體圍繞圓心轉動的快慢”，就可以發現：線速度的參考系是圓心！很多人忽略了這一點，再加上在很多圓周運動的問題中，圓心都是不動的，所以導致了很多人認為線速度v是相對于地面的，從而才產生了例題中的疑問.

當確定了這一點之后再來看這兩個問題就很明確了.

問題一中，如圖5（a）設車輪線速度為v，故與地面接觸點相對車軸速度為v，方向向后，車輪頂點速度也為v，方向向前；而若以地面為參考系，如圖5（b）則車軸速度為v，即車速與線速度大小相等為v，方向向前，而車輪頂速度為2v，方向向前.

問題二中，如圖6（a），以車軸為參考系，設線速度為v，則A點速度為v，方向向前，地面接觸點速度為v，方向向后；而若以地面為參考系，如圖6（b），則車軸速度為v，方向向前，A點速度2v，方向向前，即：拋出速度為拖拉機行駛速度的2倍.同理B點也是如此.

（當然，例2也可把輪子的觸地點看做輪子的瞬時轉動中心，A點（或B點）的轉動半徑為其輪軸轉動半徑的2倍，由v=ωr可知其線速度亦為輪軸運動速度，即拖拉機行駛速度的2倍.這也依然建立在以地面為參照系的基礎上的）

可見，這兩個問題其實是統一的，其主要原因還是在參考系的選擇上.參考系選擇好與壞，直接影響到我們對運動的理解和描述，甚而解不出題目，描述運動我們一定要慎重選擇參考系.而本文這兩題正是由于沒有明確參考系的選擇才導致了理解上的歧義.

綜上可以發現，參考系是我們在描述問題、理解問題、處理問題過程中首先要考慮的東西，它貫穿于整個高中物理課程中，從運動到能量，再到動量，都能夠看到參考系選擇的影子.以上就是筆者由圓周運動所想到的關于參考系的幾點看法，但愿能給讀者帶來一點啟示.