等效替代思想在共點力平衡處的另辟蹊徑

戴麗娜　焦勇

我們在講解力的合成與分解時知道合力與分力是一種等效替代的關系，其實平時只要處處留心，一些用常規方法解起來較復雜的問題用上“等效替代”的思想會讓人眼前一亮，既然該思想是在“力”這一章第一次出現，那我們就來看看它在研究共點力平衡處的應用.

例1 用輕質細線把兩個質量未知的小球懸掛起來，如圖1所示.現對小球a持續施加一個向左偏下30°的恒力，并對小球b持續施加一個向右偏上30°的同樣大的恒力，最后達到平衡，表示平衡狀態的圖可能是

分析 本題的關鍵在于上面那根繩方向的確定，筆者在講解該題時用到整體-隔離法，但課上發現學生的反映并不理想，而且學生第一個想到的并不是把ab看成整體，反而是單獨分析.

先分析小球b的受力，如圖3，得到下面繩的拉力只能斜向左上方，設為T1.其中F1與G1的合力與T1等值反向記為T1′，如圖4所示.即可以用T1′代替F1及G1.

再對小球a分析，其中已經確定方向的受力情況如圖5所示.由上面可知T1′可用F1及G1代替，如圖6，F1與F2等值相抵，而G1及G2都豎直向下，故上面繩子的拉力只能豎直向上.故選A.當然我們也可以將其他的力進行等效替代.

例2 如圖7，輕繩的一端系住質量為M的物體A，另一端通過定滑輪系住質量為m的物體B，在水平地面右側有足夠深的井，要使物體A放在水平地面上的任何位置都能保持靜止，求物體A與地面間的動摩擦因數μ應滿足的條件（滑輪質量及一切摩擦不計）.

分析 常規方法用到數學三角函數知識，較復雜，我們可

以等效替代.

此處我們將N和f等效為F，通過等效替代后物體A相當于只受三個力作用，Mg、T、F（如圖8），通過三角形法則，F、將F、Mg和T首位相連.當物體A位置發生變化時，T的末端相當于以末端為圓心，以T的大小為半徑畫的圓，由圖9可知當F與圓弧相切時θ角最大.

當物體即將滑動時

μ=tanθ=mg（Mg）2-（mg）2，

得μ≥mM2-m2.

例3 如圖10所示，xOy為直角支架，兩根細繩的一端都拴在重物P上，另一端分別固定于支架的A、B兩點.開始時，桿Ox、繩BP水平，桿Oy豎直，繩PA與水平方向夾角為60°.現使支架繞過O點的水平軸在豎直平面內順時針方向緩慢轉動至桿Oy水平，在上述過程中，繩AP、BP的拉力TA、TB的變化情況是

A.TA減小，TB先減小后增大

B.TA減小，TB先增大后減小

C.TA先減小后增大，TB增大

D.TA先增大后減小，TB增大

分析 在整個轉動過程中，重物P受三個力TA、TB、G平衡，任兩個力的合力與第三個力等值反向，且這三個力中只有G大小不變，題目的意思是TA、TB旋轉，但我們可以等效為TA、TB的合矢量的終端從豎值方向逆時針轉到水平方向，如圖11所示，從①到②：TA減小、TB增大；從②到③：TA、TB均減小.故選B.