正弦型“和角”公式逆運算在物理計算中的典型運用

李文科

1 直角支架兩端連接小球，繞固定軸O在豎直平面內無摩擦轉動，系統滿足機械能守恒定律，系統重力勢能減少量最大時，系統動能增加量最大

例1 一質量不計的直角形支架兩端分別連接質量為m和2m的小球A和B.支架的兩直角邊長度分別為2L和L，支架可繞固定軸O在豎直平面內無摩擦轉動，如圖1所示.開始時OA邊處于水平位置，由靜止釋放，則

A.A球的最大速度為2gL

B.A球速度最大時，兩小球的總重力勢能最小

C.A、B兩球的最大速度之比為2∶1

D.A球速度最大時，兩直角邊與豎直方向的夾角為45°

解析 直角支架繞固定軸O在豎直平面內無摩擦轉動，A、B兩球瞬時角速度ω總相同，線速度v=ω·r，即v∝r，選項C正確；支架系統只有重力做功，系統機械能守恒，所以系統重力勢能減少最大時，系統動能增加量最大.設支架系統順時針旋轉θ時，如圖2所示，此位置時系統重力勢能減少量為

ΔEp↓=mg·2Lsinθ-2mg·L（1-cosθ），

即ΔEp↓=2mgL（sinθ+cosθ-1），

根據正弦型“和角”公式的逆運算，

ΔEp↓=2mgL·[2（12sinθ+12cosθ）-1]，

即 ΔEp↓=2mgL·[2（cos45°sinθ+sin45°cosθ）-1]=2mgL·[2sin（θ+45°）-1].

由此可以看出當θ=45°時，系統重力勢能減少量ΔEp↓取得最大值，為ΔEpmax↓=2（2-1）mgL；那么系統動能增加量最大，且相等

ΔEk↑=12·2mv2B+12m（2vB）2=3mv2B

=ΔEpmax↓=2（2-1）mgL，

得vB=2（2-1）3gL，

vA=22（2-1）3gL.

所以選項A錯誤，選項B、D正確.

析評 系統機械能守恒，列出方程，符合正弦型和角公式，系統順時針旋轉45°重力勢能減少最多，系統動能增加最大，即按正弦函數“和角”公式運算處理是解決問題的關鍵所在.

2 慣性系中加速運動的乒乓球的加速度按正弦型和角公式化簡，得到慣性系球拍與水平面的夾角（傾角）

例2 （2012年重慶）某校舉行托乒乓球跑步比賽，賽道為水平直道，比賽距離為s.比賽時，某同學將球置于球拍中心，以大小為a的加速度從靜止開始做勻加速直線運動，當速度達到v0時，再以v0做勻速直線運動跑至終點.整個過程中球一直保持在球拍中心不動.比賽中，該同學在勻速直線運動階段保持球拍的傾角為θ0，如圖3所示.設球在運動中受到的空氣阻力大小與其速度大小成正比，方向與運動方向相反，不計球與球拍之間的摩擦，球的質量為m，重力加速度為g.求：（1）求空氣阻力大小與球速大小的比例系數k；

（2）求在加速跑階段球拍傾角θ隨速度v變化的關系式；

（3）整個勻速跑階段，若該同學速度仍為v0，而球拍的傾角比θ0大了β并保持不變，不計球在球拍上的移動引起的空氣阻力變化，為保證到達終點前球不從球拍上距離中心為r的下邊緣掉落，求β應滿足的條件.

解析 （1）如圖4所示，球拍在勻速運動階段有kv0=mgtanθ0，得比例系數k=mgtanθ0v0.

（2）如圖5所示，球拍在加速階段，取相同加速度的物體為非慣性參考系，加上慣性力f*=ma，空氣阻力Ff′=kv，則Ff′+f*=mgtanθ，即kv+ma=mgtanθ，即

v=1k（mgtanθ-ma），

由比例系數k=mgtanθ0v0得v=v0（gtanθ-a）gtanθ0.

（3）球拍傾角為θ0+β，以速度v0勻速跑階段，乒乓球在球拍這個慣性系中沿球拍表面向下做初速度為零的勻加速直線運動，球拍沿比賽軌道以速度v0勻速運動到終點時，乒乓球在球拍上運動位移x≤r，需要時間t=sv0-v02a.在球拍參考系中，乒乓球運動的加速度

a′=gsin（θ0+β）-kv0-cos（θ0+β）m，

由比例系數k=mgtanθ0v0，

得a′=gsin（θ0+β）-gtanθ0cos（θ0+β）；

整理得a′=g1+tan2θ0（11+tan2θ0sin（θ0+β）-tanθ01+tan2θ0cos（θ0+β）

=g1+tan2θ0sin（θ0+β-α）.

如圖7所示，角α=arctan（tanθ0）=θ0，

所以a′=g1+tan2θ0sinβ，

即在球拍上乒乓球的位移x=12a′t2≤r，

即12g1+tan2θ0sinβ（sv0-v02a）2≤r，

sinβ≤2rv20g（sv0-v02a）21+tan2θ0=2rcosθ0g（sv0-v02a）2.

析評 乒乓球的加速度的表達式是關于球拍傾角增量的函數，就表達式進行化簡，來確定球拍傾角的具體值，得到加速度的具體值是題設的絕妙之處，也是解題的最佳方法.

3 沿斜面向上運動的小木塊的加速度a=-g（sinθ+μcosθ），位移x=v202a存在極小值

例3 如圖8所示，木板與水平地面間的夾角θ可以隨意改變，當θ=30°時，可視為質點的一小木塊恰好能沿著木板勻速下滑.若讓該小木塊從木板的底端每次都以v0的速度沿木板向上運動，隨著θ的改變，小木塊沿木板滑行的距離將發生變化，重力加速度為g.

（1）求小木塊與木板間的動摩擦因數μ；

（2）當θ角滿足什么條件時，小木塊沿木板滑行的距離最小，并求出此最小值.

解析 （1）由平衡態知μ=tan30°=33；

（2）根據牛頓第二定律，當小木塊向上運動時，加速度為

a=-g（sinθ+μcosθ），

由公式2ax=v2-v20，

知小木塊上滑的位移 x=v202a=v202g（sinθ+μcosθ）；

即 x=v202g（sinθ+μcosθ）

=v202g1+μ2（11+μ2sinθ+μ1+μ2cosθ），

又μ=tan30°，

因此x=v202g1+μ2sin（θ+30°），

所以xmin=v202g1+μ2=3v204g.

析評 此情況下，小木塊沿斜面向上運動的加速度存在極大值，與動摩擦因數μ有關，位移與加速度有關，可見位移大小由動摩擦因數μ決定.

物理學家費米曾經說過這樣一段話：“計算的途徑有兩種，第一種，是我愿意采用的，即一副清晰的圖像；第二種，是嚴格的數學架構.”