一題多解的數學價值

林柯

在高二數學課本“不等式”一章中關于不等式的證明，教材上列舉了證明不等式的四種方法：公式法、比較法、數學歸納法及分析法.在實際應用過程中，只有這四種方法往往是不夠的，還應通過實際例題向學生介紹反證法、放縮法、換元法及判別式法等常用的方法.另外還有幾何法、構造函數法等方法.學生必須理解掌握這些思想方法，做題才能得心應手，游刃有余.

現舉例說明：

例題：已知a，b，m∈R ，且a

求證： > .

證法1（比較法）：

因為a，b，m∈R ，a

所以 - = >0，故 > .

證法2（分析法）：

欲證 > ，由于a，b，m∈R ，aa（b+m），

即證am

證法3（綜合法）：

能用分析法證明的題目，一般也能用綜合法證明（略）.

證法4（反證法）：

假設 ≤ ，

因為a、b、m∈R ，

所以（a+m）b≤a（b+m），即bm≤am，

所以b≤a，這與題設a

所以假設不成立，故 > .

證法5（放縮法）：

因為a，b，m∈R ，a

所以 = = < = .

證法6（構造函數法）：

構造函數f（x）= （0

因為f（x）=1- 在[0，+∞]上是增函數，

所以f（m）>f（0），即 > .

注：利用函數單調性證明不等式具有優越性.高中實驗教材已把微積分列入必修內容，用導數研究函數的單調性很方便，故對此法應予以高度重視.

證法7（增量法）：

因為a0），

所以 = = < = = .

證法8（斜率法1）：

在直角坐標系中， = 表示經過A（b，a）和B（-m，-m）兩點所在直線的斜率，設其傾斜率為α，而 = 表示點A（b，a）和原點O（0，0）所在直線的斜率，設其傾斜角為β，如圖1.

圖1

由a .

證法9（斜率法2）：

在直角坐標系中，設A（b，a），B（m，m），則AB的中點C（ ， ），如圖2.

圖2

由于OA、OB、OC三線的斜率滿足k

證法10（三角法）：

如圖3，在直角三角形ABC中，∠B=90°，BC=a，AB=b，延長BA至E，BC至D，使CD=AE=m.

設CA、DE交于F，則有tan∠DEB= ，tan∠CAB= .

因為∠CAB<∠DEB，所以tan∠CAB

圖3

練習（請讀者完成以下兩道題）

1.若a +b =1，x +y =1，求證：ax+by≤1.

2.已知a，b，c為直角三角形ABC的三邊長，c是斜邊，當n∈N，n≥3時，求證：a +b

從以上例題及練習的證法體驗可知，一道數學題因思考的角度不同可得到多種不同的解題思路.數學問題的解決應尋求多種解法，有利于拓寬解題思路，發展觀察、想象、探索思維能力，進一步讓人們感受到數學的神奇，數學的美，體現數學的價值.