讓學生走向舞臺，讓教師退向幕后

吳艷華

摘 要： 《折三角形的三線》是七年級下冊《數學實驗手冊》上的第四個實驗。實驗內容看似簡單，但實際操作時學生還是有困難的。首先如何引導學生折三角形的三線，其次學生要在會折的基礎上能簡單地說理。特別是在折鈍角三角形的高線時，教材只是簡單地說明了鈍角三角形只能折出一條高線，并沒有進一步探究。而本節課對這部分進行了深入探究，讓學生自己想辦法折出鈍角三角形的三條高線。

關鍵詞： 折三角形“三線” 角平分線 高線 中線

一、教學內容

《折三角形的“三線”》是蘇科版七年級下冊《數學實驗手冊》上的第四個實驗。

二、設計思路

在此之前，學生已經學習了三角形的角平分線、高線、中線的定義及性質，本節課的內容則是側重于讓學生通過動手“折”，重新認識三角形的“三線”。所以首要任務是讓學生“會折”，要給學生充分的動手操作時間。而“會折”的前提是學生能夠聯系前面所學的“三線”、簡單的軸對稱知識，進一步內化，所以在一開始引入時，我們就從認識三角形的“三線”開始。考慮到難度要逐層遞增，所以我們從最簡單的角平分線開始，然后是中線，最后是高線，對教材的順序做了調整，難度依次遞增。在折三角形的高線時，學生能很快折出銳角三角形的三條高線，對于直角三角形學生能很快認識到它只能折出一條斜邊上的高線，另外兩條高線就是它的兩條直角邊，所以在設計時就簡單展示了一下。但對于折鈍角三角形的高線，書上并沒有要求折出它的三條高線，很多學生也認為只能折出一條，實際上鈍角三角形的三條高線是可以折出來的，我們增設了如何折鈍角三角形的三條高線這一環節是對學生發現問題、解決問題能力的考驗。

三、教學目標

1.知識與技能：能夠在不借助任何工具的情況下，會折出三角形的“三線”。在動手操作中重新認識三角形的“三線”（所在的直線）相交于一點及該點的位置。

2.過程與方法：經歷折三角形的角平分線、中線、高線的過程，加深對這“三線”的認識。

3.情感態度與價值觀：在小組合作、交流中讓學生經歷發現問題、解決問題，體會數學學習的樂趣。

四、教學重點

會動手折三角形的“三線”，通過實驗感知三角形三條角平分線、三條中線交于三角形內一點。三角形的三條高線（延長線）相交于一點，以及點的位置。

五、教學難點

用折紙的方法找出鈍角三角形的三條高線，并進一步體會銳角三角形的三條高線交于三角形內一點，直角三角形的三條高線交于直角所在的頂點，鈍角三角形的三條高線的延長線交于三角形外一點。

六、教學過程簡錄

片斷一：引入

師：同學們，在三角形中有三條非常重要的線段，你們知道嗎？請看投影儀。在△ABC中，線段AD我們稱之為三角形的什么？

生：角平分線。

師：你是怎么看出來的？

生：因為AD平分了∠BAC。

師：是的，因為AD是過∠BAC的頂點并且平分了∠BAC。

師：那線段AE我們稱之為三角形的什么？

生：高線。

師：你是怎么看出來的？

生：因為AE⊥BC。

師：對的，因為AE是過A點并且垂直于BC的。

師：那AF我們稱之為三角形的什么？

生：中線，因為它是平分BC邊的。

師：很好，因為AF是連接頂點和對邊的中點的線段。

師：通過前面的學習我們已經能夠借助于直尺、三角板、量角器等工具畫出三角形的“三線”，那今天這節課就是要在不利用任何工具的情況下折出三角形的“三線”。

【評析】雖說數學實驗課是沒有復習舊知這一環節的，但筆者在設計時覺得，學生動手折三角形“三線”的前提是在能夠將“三線”的定義、性質內化的基礎上進行的，而且在提問時反復強調三角形的“三線”是一定過三角形的一個頂點的。一來為后面的動手操作服務，二來當組內有成員能折出“三線”時，其他組員可以進行評判操作是否正確，有了判斷的依據。

片斷二：折三角形的三條角平分線

師：那我們就從三角形的角平分開始，請同學們看清活動要求：以小組為單位，在不利用任何工具的情況下，在①號三角形（每個小組的三角形形狀是不同的）中折出它的三條角平分線，先思考討論，然后再動手操作。

小組實驗

小組展示

發言員：我們將這個角翻折，使得它的兩條邊重合。

師：為什么這條折痕就是角平分線？

發言員：首先它是過這個角所在的頂點，并且這個角翻折是能夠重合的，說明它們是相等的。

師：請各個小組觀察一下，你有什么發現嗎？

生：三角形的三條角平分線相交于形內一點。

【評析】折三角形的三條角平分線是比較容易的，學生都能完成，但在說理的時候可能會說不清，這就是為什么一開始引入的時候要強調三角形角平分線的定義，這是學生將定義進一步內化的一個過程。通過操作發現三角形的三條角平分線交于三角形內一點，與三角形的形狀無關。其實這個知識點學生在之前畫三角形角平分線的時候就已經知道了，這里只是又驗證了一下。

片斷三：折三角形的三條中線

師：接下來讓我們一起探索三角形的中線，請看活動要求：在不利用任何工具的情況下，請在②號三角形中折出它的三條中線。

小組實驗

小組展示

發言員：我們首先把邊對折，得到一個點，這個點就是這條邊的中點，然后連接頂點和這個中點的折痕就是這個三角形的一條中線。

師：很好，折三角形中線的關鍵是找到邊的中點。剛才老師發現有一個小組是這樣折的（展示剛才折錯的小組），你們看這條折痕是三角形的中線嗎？

生：不是，因為它沒有過三角形的頂點。

師：很好，看來同學們已經很牢固地掌握了三角形的中線，那請你們觀察一下，有什么發現嗎？

生：我發現三角形的三條中線相交于形內一點。而且當我用手指頂著這個交點時，這個三角形是不會掉下來的。

師：你的回答太精彩了，三角形的三條中線是交于三角形內一點的。這位同學還發現了當我用手指頂著這個交點時，三角形是不會掉下來的，讓我們一起來試試。

師：這真是一個“驚人”的發現呀！這個交點我們要給它一個名稱叫做重心，這是我們初三要學習的一個內容。

【評析】在折三角形的中線時，有學生會遇到一些困難，如直接將邊對折，將折痕誤認為中線，但很快小組內的學生自己能意識到這并不是三角形的中線，然后再做出調整，直到解決問題。這個過程體現了小組的分工合作。對于學生提出的“重心”的新發現，我也感到很意外，因為不是本課的內容，所以只是讓學生在簡單的體驗之后，提了一下它的名稱“重心”。

片斷四：折三角形的高線

師：接下來我們來挑戰一下三角形的高線，請看活動要求：請在③號三角形中折出它的三條高線。

小組實驗

師：有些小組已經很快折出了三角形的三條高線，我們請他們展示一下。

小組展示（請拿到銳角三角形的小組展示）。

發言員：我們將它的邊翻折，使得它的邊重合在同一直線上。

師：只要邊重合在同一直線上就可以了嗎？（展示錯誤的折痕）這樣可以嗎？你們組還有什么補充嗎？

生：這條折痕要過這條邊所對的頂點。

師：老師手里拿的是什么三角形？

生：直角三角形。

師：直角三角形中能折出幾條高線？

生：一條，因為有兩條高就是它的直角邊，所以不用折。

師：很好，剛才我看到有些小組很快折出了三條，有些小組還沒有折出來，我們一起來幫幫忙吧。

師：請問你們組剛才折了幾條高了？

生：因為我們拿到的是鈍角三角形，它有兩條高線是在三角形的外部的，所以我們只能折出一條。

師：很好，前面通過畫三角形的高線，我們知道了鈍角三角形有兩條高線是在三角形外部的，所以我們暫時沒有辦法把它折出來。那今天我們就要想辦法，在不借助任何工具的情況下，折出鈍角三角形的三條高線。

小組討論

提示：可以回想一下，剛才我們是怎么折三角形的高線的。我們是過頂點，并且使它的邊翻折后能在同一直線上。

生：我們要延長邊長。

師：怎樣延長邊長，怎樣使它的邊及延長線呈現在我們的面前？

生：給我一張紙（該學生已經在嘗試）。

師：好，我現在就給你一張紙，請組長打開錦囊一，看看錦囊里有什么妙計嗎？

生：一張玻璃紙。

師：好，給了一張玻璃紙，怎樣使得它的邊及延長線呈現出來？

小組繼續討論

有學生提出：要是有膠水就好了。

師：好的，現在就給你。請打開錦囊二，看看錦囊二里的東西對你有幫助嗎？

小組繼續實驗

小組展示

發言員：我們沿著三角形的邊把玻璃紙翻折，這條折痕就是邊及它所在的直線，然后按照剛才折高線的方法繼續折，折痕過對邊的頂點，并且使得邊翻折后能夠與延長線在同一直線上。

師：很好！很多組已經完成了。請同學們觀察一下你有什么發現？

生：三角形的三條高線或高線的延長線相交于一點。

師：你能說得具體些嗎？比如點的位置。

生：銳角三角形的三條高線交于三角形內一點，直角三角形的三條高線交于直角所在的頂點，鈍角三角形的三條高線的延長線交于三角形外部。

師：很好！由于時間的關系，我們今天這節課就到這了，如果你還有什么疑惑，可以在小組內討論解決，解決不了的時候可以尋求外部的幫助。

【評析】折銳角三角形的三條高線學生基本能很快折出來，但過程中可能會犯一些錯誤，但小組合作交流時都能發現問題，并提出正確的解決方案。直角三角形并沒有給學生親自動手折，而只是老師拿出來作了展示，這樣設計主要考慮到一來時間比較緊，二來學生在折銳角三角形的高線時已經掌握方法，直角三角形兩條直角邊上的高線，學生都能發現就是直角邊。在設計鈍角三角形時，書本上只是簡單地說明鈍角三角形只能折出一條高線，另外兩條是折不出來的。本節課對教材進行了修改，將三角形紙片貼在紙上時，它就轉換成了平面幾何問題，學生就可以折出鈍角三角形的三條高線。關鍵是如何引導學生發現問題、解決問題。

七、幾點思考

1.說實話數學老師很“怕”上數學實驗課，數學實驗課是新生事物，很多老師沒上過，又因為平時教學任務重、時間緊，所以在平時的教學中，數學實驗課往往被自動“忽略”。但通過這節課，我發現學生很愛上實驗課，數學不僅僅是解幾道題，數學是有用的，是可以動手操作的，是好玩的。

2.是告訴學生答案還是讓學生自己想辦法解決問題，老師對這個問題總是很糾結。老師就像媽媽一樣，對孩子總有那么多的“不放心”，怕學生找不到解決問題的方案，怕學生操作的失誤，恨不得替學生都包辦了。可這種“不放心”讓我們的學生錯失了很多成長的機會。當我們真正放手，把舞臺還給學生的時候，你會發現學生會給你一個大大的驚喜。

3.預設是備課中的一個重要環節，如何在教學過程中埋下“問題”，如何引導學生在學習過程中發現問題、解決問題，是值得每位數學老師深究的課題。