向量教學中兩種思維的滲透

楊斌

摘 要： 向量是高中數學引入之后極為重要的章節，其主要體現在思維靈活度的考查上成為近年考查的熱點.向量教學最主要的是兩種思維方式的滲透，即圖形化和代數化.

關鍵詞： 向量 思維 圖形化 代數化

向量自引入高中數學之后，漸漸成為高中數學考查的熱點和難點.向量以其獨特不同于代數的運算方式，又介于代數和方向之間的特點，形成了連接兩者的紐帶.吳文俊先生說過：向量真是個好東西，我實在想不出除了向量之外，還有什么武器可以把泛函問題做得如此簡潔.

中學數學中的向量基本只涉及兩維，除了向量基本概念、運算之外，還介紹了向量之間的加減合成及向量的數乘和數量積運算，這些向量知識構成了中學數學向量的主體.問題千萬變，思想兩主線.向量教學是筆者非常喜歡的章節教學，學生常常反映向量問題做不好、想不來，其實主要原因在于學生對于向量問題的方向把握還不明確，對于向量自由性的理解依舊不深刻，對于向量的運算也未達到應有的要求.以平面向量基本定理為例，作為唯一的分解，其實很多學生只理解在正交分解的前提下，正交分解是自由向量分解的一種特殊情形，所以學生對于很多自由化的向量問題無從下手，正是因為平面向量基本定理知識的缺失，此為圖形化方式掌握得不扎實；以笛卡爾直角坐標系中的向量，可以使用向量的正交分解下的坐標運算來實現，但是學生又對具備一定運算量的代數化運算有所擔憂，此為坐標化代數運算的缺失.筆者建議，向量教學試題要以精為主，具備一題兩方向的教學，是兩種思維方式滲透的有效手段，勢必在思維導向上引導學生有方向地解決向量問題.

問題1：已知 · =0，向量 滿足（ - ）·（ - ）=0，| - |=5，| - |=3，則 · 的最大值為？搖 ？搖？搖？搖.

圖形化：設| |=a，| |=c，則有已知條件 · =0，（ - ）·（ - ）=0如左下圖易得Rt△ABC和Rt△OAB中，∠AOB=∠ACB=90°且OACB四點共圓，圓的直徑就是5，又由圓的性質可設∠AOC=∠ABC=θ，在Rt△ABC中cosθ= ，則在△OAC中由余弦定理及基本不等式得3 =|AC| =a +c -2accosθ≥2ac-2ac = ac，∴ac≤ = ，∴ · =a·c·cosθ≤ × =18.

代數化：以C為坐標原點CA為y軸，CB為x軸建立直角平面坐標系，易得A（0，3），B（4，0）.設O（x，y），則 =（-x，3-y）， =（4-x，-y）， =（-x，-y）即y -3y=4x-x ，∵ · =-4x+x -3y+y =0，即y -3y=4x-x ，∴ · =x +y -3y=x +4x-x =4x.而O（x，y）橫坐標x的取值范圍為[- ， ]，所以4x∈[-2，18]，從而 · 的最大值為18.

問題2：設 ， 為單位向量，非零向量 =x +y ，xy∈R，若 ， 的夾角為 ，則 的最大值等于？搖 ？搖？搖？搖.

分析：該題考查了對于平面向量的基本概念的綜合運用，涵蓋了單位向量、平面向量的基本定理、夾角、向量的模等反應向量特點的概念和定理.最值問題求解，體現了靜中有動，題目簡約而不簡單.

圖形化：不妨設x≠0，由 =x +y ，x，y∈R = + ，∴| |=| + |（ ∈R），結合平行四邊形法則，| | = （垂直時），所以 的最大值為2.

說明：利用圖形化，掌握圖形變化的本質，結合數形結合，直觀而簡潔.

代數化： =| | =（x +y ） =x +y + xy，

說明：代數法手段是從函數入手，通過相關運算得到一個兩元函數，然后換元轉換為一元函數求解最值.

問題3：設向量 ， ， 滿足| |=| |=1， · =- ，< - ， - >60°，則| |的最大值等于？搖？搖 ？搖？搖.

圖形化：向量 ， 滿足夾角120°，且 - 與 - 夾角是60°，以四點共圓建構圖形.設 = ， = ， = ，則CB= - ， = - ，∠AOB=120°，∠ACB=60°，可知點C的軌跡是優弧 上一動點，顯然當點C為優弧 中點時，| |=| |取到最大值，即為O，A，B，C四點所在圓直徑.易得| |=| - |= ，在△ABC中，由正弦定理：2R= = =2.

代數化：可以從< - ， - ≥60°及數量積出發，利用不等關系及均值不等式求| |的最值.由題意| + |= =1，由（ - ）·（ - ）= · -（ + ）· +| |，

又（ - ）·（ - ）= | - |·| - |≤ [（ - ） +（ - ） +（ - ）]= [1-（ + ）· +| | ]，

結合上述兩式： · -（ + ）· +| |≤ [1-（ + ）· +| | ]，

化簡得：| | ≤2+（ + ）· ≤2+| + |·| |=2+| |，得：| | -| |-2≤0？圯| |≤2，即最大模長為2.

本題的代數方法獨樹一幟，既要考慮一般性展開，又要利用數量積公式，再利用不等式進行放縮求得.筆者認為平時教學要多考慮“代數化”，有利于學生解題方向感的培養.

從上述三個問題可以看出，向量問題一般均可以從兩個思維角度入手考慮，筆者對上述問題常常采用圖形化和代數法的思維角度教學，不斷通過教學引導學生向量問題的兩種解決思路，這是培養中學數學向量問題解決的兩個重要導向.通過問題我們可以感受到，向量代數法的思維方式主要是以運算來解決的，側重少思考多運算，圖形化的思維方式偏重于思考、輕運算，教學時應以學生學情因材施教、兩法并舉，讓學生在薄弱環節得到提升，從而實現向量教學的高效性.值得注意的是，向量教學兩種思維方式的培養要循序漸進，筆者建議是以代數化為主的方式比較適合初學者，圖形化思維方式更適應高三復習教學，這樣安排教學是為了適應新課程螺旋式上升的教學理念，讓思維發展有一個循序漸進的過程.兩種思維滲透，更有利于學生思維發散性的培養.

參考文獻：

[1]宋衛東.從生“動”到生動，詮釋思維品質的提升[J].中學數學月考，2013，5.

[2]方厚石.向量教學詮釋思維品質[J].數學通訊，2014，1.