例談數(shù)學(xué)解題中的模型構(gòu)造

楊歆

摘 要： 數(shù)學(xué)解題中有很多問題具備模型特征，即所謂模式識別.解題正是將陌生情境下的問題不斷轉(zhuǎn)化為熟悉背景而解決，這需要教學(xué)對數(shù)學(xué)模型的不斷歸納和更新.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)解題 模型 模式識別 轉(zhuǎn)化化歸

根據(jù)問題的條件和結(jié)論、性質(zhì)和特征，構(gòu)造出某種模型，通過對模型的解釋和研究，實(shí)現(xiàn)問題的解決.這是數(shù)學(xué)中的常用思想方法，它對人們進(jìn)一步認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在規(guī)律和聯(lián)系，提高抽象概括能力，都大有裨益.數(shù)學(xué)中的這種模型構(gòu)造解決問題方式，一般稱之為模式識別.模式識別是數(shù)學(xué)教學(xué)中很常見的一種方式，其優(yōu)點(diǎn)將與相關(guān)知識點(diǎn)聯(lián)系的問題、變式、可能考查方向均一一進(jìn)行了識別，可以提高學(xué)生對于單一知識點(diǎn)、整合知識考查的理解力，使學(xué)習(xí)更簡潔和高效.

1.構(gòu)造方程模型

方程是解數(shù)學(xué)問題的一個(gè)重要工具，許多數(shù)學(xué)問題可以根據(jù)其數(shù)量關(guān)系，在已知和未知之間搭建方程的橋梁，通過建立數(shù)量關(guān)系的方程，將問題輕松地解決.方程思想貫穿于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，如何利用好方程模型是函數(shù)等章節(jié)教學(xué)的關(guān)鍵.

例1：已知： =1，求證：b ≥4ac.

分析：考慮問題的結(jié)論，很自然由b 、4ac容易聯(lián)想到方程的判別式，因此不妨由已知條件提供的一個(gè)等式，把它轉(zhuǎn)化為方程，則結(jié)論便成為方程性質(zhì)的討論.考慮到b ≥4ac，因此構(gòu)建的方程應(yīng)該是存在實(shí)根的方程，因此可以設(shè)法構(gòu)造一個(gè)二次方程.

解析：已知等式可化為 b-2c=a，在等式兩邊同除以2可得： - b+c=0，我們可以把它看成a（- ）+b（- ）=0，這表明二次方程ax +bx+c=0有實(shí)根x=- ，從而判別式非負(fù)，得b ≥4ac.

2.構(gòu)造平面模型

根據(jù)題目提供的信息，構(gòu)造出符合題設(shè)或結(jié)論的圖形，如三角形、正方形、曲多邊形，借助于圖形，化代數(shù)條件為長度、面積等幾何結(jié)論，模型構(gòu)造中常用到諸如勾股定理、正余弦定理、邊角關(guān)系等.

例2：若p∈R，|log p|<2時(shí)，不等式px+1>2x恒成立，求x取值范圍.

分析：由|log p|<2可得：

，所以使不等式px+1>2x恒成立的x取值范圍為-

例3：若a，b，c均是小于1的正數(shù)，求證：

+ + + ≥2

分析：從題型上看這是個(gè)純代數(shù)題.但用代數(shù)法證非常難.如果把左邊的式子用幾何意義來理解，可以看做是直角三角形的斜邊，按如圖2構(gòu)造一個(gè)正方形，并按圖劃分為四個(gè)矩形.顯然OD= ，OC= ，AO= ，OB= ，可知：AO+OC+OD+OB≥AC+BD=2 ，當(dāng)且僅當(dāng)O為AC與BD交點(diǎn)時(shí)，即：a=b= 時(shí)取等號.即：原不等式成立.且當(dāng)a=b= 時(shí)取等號.

說明：構(gòu)造平面模型本質(zhì)上是數(shù)形結(jié)合思想中以數(shù)解形的一種運(yùn)用，如何將數(shù)形結(jié)合思想方法積極滲透、合理落實(shí)到教學(xué)中，這需要教師用一些具備思維開拓性的問題加以引領(lǐng)，通過這些構(gòu)造類問題，學(xué)生能漸漸理解數(shù)學(xué)問題解決的多樣性和開放性，體現(xiàn)以形解數(shù)的重要性，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)散思維和主動(dòng)性.

3.構(gòu)造不等式模型

不等式是最體現(xiàn)學(xué)生思維能力的章節(jié)，很多高考難題或競賽難題都是以不等式為背景編制，新課程高考中既靈活又方法多樣，既區(qū)分學(xué)生基本功又能找到能力出眾的學(xué)生，是利用什么數(shù)學(xué)知識判別的呢？筆者認(rèn)為是不等式和向量.可以發(fā)現(xiàn)，不等式靈活度非常大，而且著名的不等式層出不窮，歷來受到競賽考試的青睞，成為區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要知識.

例4：解方程[sin x+sin （ -x）][cos （ -x）]=

分析：左邊具有（a +a ）（b +b ）形式，因此以柯西不等式為相似模型.

解析：以柯西不等式為相似模型，有[sin x+sin （ -x）][cox x+cos （ -x）]

≥[sinxcos（ -x）+xin（ -x）cos] =sin （x+ -x）= ，當(dāng)且僅當(dāng) = 時(shí)取等號，故sin2x=sin（ -2x），從而解得x= + （k∈Z）.

說明：本題是以三角為背景編制的柯西不等式問題，是屬于柯西二維形式的基本運(yùn)用，合理地運(yùn)用不等式，利用等號成立的條件，解決原題等式問題.這種處理方式對于學(xué)生而言，是構(gòu)造思維的一種極大的跳躍和提升，能促進(jìn)優(yōu)秀學(xué)生對于知識的整合使用有更深的認(rèn)識和學(xué)習(xí)，對于其知識的運(yùn)用有著較大的幫助.

4.構(gòu)造解析幾何模型

例5：求函數(shù)y= 的最值.

解析：令u= v= ？圯 + =1，（0≤u≤2，0≤v≤ ）（*），構(gòu)造橢圓曲線，則表示橢圓（*）（第一象限部分，包括M ，M ）上一點(diǎn)M（u，v）與點(diǎn)A（-2，- ）兩點(diǎn)連線的斜率.由圖可知，MA的斜率范圍是： ≤y≤ ，即當(dāng)x=1時(shí)y = ，當(dāng)x=2時(shí)y = .

說明：函數(shù)問題利用橢圓解決，是構(gòu)造模型中換元思想的具體展示，以整體思想介入后的換元，足以將變量之間的原型表露無遺，是一種優(yōu)秀的構(gòu)造方式.

總之，構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)問題是立足于扎實(shí)的雙基之上的數(shù)學(xué)解題技巧和思維靈活轉(zhuǎn)換的體現(xiàn)，教師要在教學(xué)中積極引導(dǎo)學(xué)生將問題不斷轉(zhuǎn)化化歸，將其陌生背景下的數(shù)學(xué)本質(zhì)通過轉(zhuǎn)化表現(xiàn)出來，利用頭腦中存儲(chǔ)的模式識別模型選擇合理的解決方式，引入熟悉的問題情境去解決，是構(gòu)造法使用的主要思想依據(jù).限于筆者才疏學(xué)淺，本文未對很多其余模型做出構(gòu)造說明，請讀者補(bǔ)充和指正.

參考文獻(xiàn)：

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